板块综合融会 圆锥曲线的综合问题
1.浸润的核心素养
圆锥曲线包含的数学核心素养是多方面的，包括直观想象、逻辑推理、数学运算等.直观想象是指学生学习圆锥曲线时需要对几何图形有一定的想象能力，能够通过几何图形来理解和推导圆锥曲线的特征.逻辑推理是指学生能够通过探究、实验、发现等方式深入理解圆锥曲线复杂的性质和应用.数学运算是指学生在学习圆锥曲线时需要具备一定的代数运算能力，能够进行代数式的化简、因式分解、配方等操作.
2.渗透的数学思想
圆锥曲线中问题的解决往往需要应用数形结合、转化方程、特殊与一般数学思想，来有效降低思维难度，简化解题过程，尤其是数形结合思想.尽管解析几何用方程来研究曲线，但借助图形、利用曲线的几何性质仍是解决解析几何问题的有效手段.
融通点(一) 最值与范围问题
[例1] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：y2＝4x上，求直线l的斜率k的取值范围.
听课记录：
[方法技巧] 圆锥曲线中最值与范围的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
[针对训练]
1.已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若A，B为抛物线E上的两个动点(异于点P)，且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围.
融通点(二) 定点与定值问题
[例2] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的中点为P，求证：kMN·kOP(O为坐标原点)为定值.
听课记录：
解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用.
[针对训练]
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上.
(1)求C的方程；
(2)过点(3,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过定点.
融通点(三) 探索性问题
[例3] 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，＝λ，＝λ均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
听课记录：
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则不存在.
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
[针对训练]
3.已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
板块综合融会 圆锥曲线的综合问题
[融通点(一)]
[例1] 解：(1)由已知e＝＝，又椭圆过点P，因此有＋＝1，又a2＝b2＋c2，联立可解得a＝2，b＝.故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0).
由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，即4k2－m2＋3>0①.
又x1＋x2＝－，
故M，
将M代入y2＝4x，
得m＝－(k≠0)②.
将②代入①得162k2(3＋4k2)<81，
解得－即k∈∪.
[针对训练]
1.解：(1)依题意得F，
设P(2，y0)，y0＝2－，
又点P是E上一点，所以4＝2p，
得p2－4p＋4＝0，解得p＝2，
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y.
(2)由题意知P(2,1),
设A，B，
则kAP＝＝(x1＋2)，因为x1≠－2，所以kAB＝－，直线AB的方程为
y－＝(x－x1)，联立x2＝4y.
因为x≠x1，得(x＋x1)(x1＋2)＋16＝0，
即x＋(x＋2)x1＋2x＋16＝0，
因为Δ＝(x＋2)2－4(2x＋16)≥0，
即x2－4x－60≥0，故x≥10或x≤－6，
经检验，当x＝－6时，不满足题意.
综上，x2<6或x2≥10.所以点B的横坐标的取值范围是(－∞，－6)∪[10，＋∞).
[融通点(二)]
[例2] 解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
∴椭圆C的半焦距为c＝1，
又e＝＝，得a＝2，b＝＝.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
Δ>0，即m2<4k2＋3，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
∴P，
∴kOP＝＝－.
∴kMN·kOP＝－为定值.
[针对训练]
2.解：(1)由题意可知点M3，M4两点关于原点对称，所以M3，M4一定在双曲线上，而M1，因为6>4，但<，所以点M1不在双曲线上，所以点M2，M3，M4在双曲线上，
则解得a2＝3，b2＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则A(1，y1)，
当y1＝y2时，直线l：y＝0，易知直线AQ：y＝0.
当y1≠y2时，设直线PQ的方程为x＝my＋3(m≠±)，代入双曲线方程可得(m2－3)y2＋6my＋6＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以直线AQ的方程为y－y1＝(x－1)，即y－y1＝(x－1)，令y＝0，
则x＝＋1＝，
由y1＋y2＝，y1y2＝，
得my1y2＝＝－(y1＋y2)，
所以x＝＝＝2，
综上，直线AQ过定点(2,0).
[融通点(三)]
[例3] 解：(1)由已知C：－＝1(a>0，b>0)，点A的坐标为(6,4)，得c＝4，焦点F1(0,4)，F2(0，－4)，2a＝|AF2|－|AF1|＝ －6＝4.所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，故C的方程为－＝1.
(2)设l的方程为y＝2m(m>1)，
则D(0,2m)，
故M(0，m)，
由已知得直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为
y＝kx＋m(k≠0)，
故N.
直线PQ的方程与双曲线方程联立得
(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
由已知得3k2≠1，Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝①.
由＝λ，＝λ，
得x1＝λ，x2＝λ，
消去λ得x2＝x1，
即2x1x2－(x1＋x2)＝0②.
由①②得k(m2－2)＝0，由已知m＝，
故存在定直线l：y＝2满足条件.
[针对训练]
3.解：(1)因为过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，所以＝tan，即＝，
过点A(－a,0)，B(0，b)的直线方程为y＝(x＋a)，故原点到该直线的距离为＝，解得a＝，故b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)记P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，
则Δ＝144k2－36(3k2＋1)>0，
解得k>1或k<－1，设PQ的中点为M，
则xM＝＝－，
yM＝kxM＋2＝.
由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，
所以kDM＝＝＝－，
所以3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝，
由于k>1或k<－1，故k＝1，k＝均不能使方程有两个相异实根，故满足条件的k不存在.(共70张PPT)
板块综合融会 圆锥曲线的综合问题
(习题课—小结评价式教学)
建构知识体系
1．浸润的核心素养
圆锥曲线包含的数学核心素养是多方面的，包括直观想象、逻辑推理、数学运算等．直观想象是指学生学习圆锥曲线时需要对几何图形有一定的想象能力，能够通过几何图形来理解和推导圆锥曲线的特征．逻辑推理是指学生能够通过探究、实验、发现等方式深入理解圆锥曲线复杂的性质和应用．数学运算是指学生在学习圆锥曲线时需要具备一定的代数运算能力，能够进行代数式的化简、因式分解、配方等操作．
融通学科素养
2．渗透的数学思想
圆锥曲线中问题的解决往往需要应用数形结合、转化方程、特殊与一般数学思想，来有效降低思维难度，简化解题过程，尤其是数形结合思想．尽管解析几何用方程来研究曲线，但借助图形、利用曲线的几何性质仍是解决解析几何问题的有效手段．
CONTENTS
目录
1
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3
融通点(一) 最值与范围问题
融通点(二) 定点与定值问题
融通点(三) 探索性问题
融通点(一) 最值与范围问题
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：y2＝4x上，求直线l的斜率k的取值范围．
(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．
将②代入①得162k2(3＋4k2)<81，
方法技巧
圆锥曲线中最值与范围的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．
针对训练
1．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若A，B为抛物线E上的两个动点(异于点P)，且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y.
因为x≠x1，得(x＋x1)(x1＋2)＋16＝0，
因为Δ＝(x＋2)2－4(2x＋16)≥0，
即x2－4x－60≥0，故x≥10或x≤－6，
经检验，当x＝－6时，不满足题意．
综上，x2<6或x2≥10.所以点B的横坐标的取值范围是
(－∞，－6)∪[10，＋∞)．
融通点(二) 定点与定值问题
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的中点为P，求证：kMN·kOP(O为坐标原点)为定值．
解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
∴椭圆C的半焦距为c＝1，
(2)证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
Δ>0，即m2<4k2＋3，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用．
方法技巧
针对训练
(1)求C的方程；
(2)过点(3,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过定点．
所以点M2，M3，M4在双曲线上，
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则A(1，y1)，
当y1＝y2时，直线l：y＝0，易知直线AQ：y＝0.
综上，直线AQ过定点(2,0)．
融通点(三) 探索性问题
直线PQ的方程与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
由已知得3k2≠1，Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则不存在．
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
方法技巧
针对训练
(1)求椭圆的方程；
(2)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
(2)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，
则Δ＝144k2－36(3k2＋1)>0，
解得k>1或k<－1，
由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，
由于k>1或k<－1，
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y＋4＝0相切，则动圆必经过的定点为( )
A．(0,4) B．(4,0) C．(2,0) D．(0,2)
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解析：由抛物线x2＝16y，得准线方程为y＝－4，焦点坐标为(0,4)，
∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且动圆恒与直线y＝－4相切，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，如图所示，
∴动圆必经过定点F(0,4)．
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∴y1y2＝6，设直线l：x＝my＋b，代入抛物线方程可化为y2－2my－2b＝0，
∴y1y2＝－2b，∴－2b＝6，∴b＝－3，
∴l的横截距为－3.
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6．已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝________.
解析：不妨设P(－2,0)，过P的切线方程设为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程y2＝2px(p＞0)，得k2x2＋(4k2－2p)x＋4k2＝0，又k≠0，故x1x2＝4.
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(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△ABO面积的最大值以及此时直线l的方程．
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解：(1)抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，所以b＝1，
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因为直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，
所以Δ＝36m2－16(3m2－3)>0，解得m2<4，
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10．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y2＝2px(p>0)上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线的方程；
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解：(1)由题可知，点P到抛物线准线的距离为5，
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则Δ＝16m2＋16t>0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t<0，即t>0，
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对于D，当A，B同在双曲线右支上时，|AB|min＝6<8，当A，B在双曲线两支上时，|AB|min＝2<8，根据双曲线对称性可知，满足|AB|＝8的直线l有4条，故D正确．故选AD.
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(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有直线PA的斜率kPA和直线PB的斜率kPB满足kPA＋kPB＝0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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解：(1)设椭圆E的焦距为2c，则椭圆E的右焦点为F(c，0)．
因为直线l恒过定点(1,0)，所以c＝1.
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消去x，可得(2＋m2)y2－2my－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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所以2m(1－t)＋2m＝2m(2－t)＝0，
因为当m变化时，总有直线PA的斜率kPA和直线PB的斜率kPB满足kPA＋kPB＝0，
所以当t＝2时，上式恒成立，
所以在x轴上存在定点P(2,0)满足题设条件．
