2024-2025学年广东省云浮市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省云浮市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为虚数单位，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.设的内角，，的对边分别为，，，则( )
A. B. C. D.
5.若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.直线，互相平行的一个充分条件是( )
A. ，都平行于同一平面 B. ，与同一平面所成的角相等
C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一平面
7.如图，某河流两边有，，，在同一个平面内四点，已知，两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北岸，两个目标点间的距离，某小组测得，，，，则，两个目标点间的距离为( )
A. B. C. D.
8.掷两枚均匀的骰子，观察所得点数设“两个点数都是偶数”为事件，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则( )
A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件不相互独立 D. 事件与事件互斥
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为
10.在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中名同学化学成绩的原始分记为组与赋分记为组数据如下．
学号
原始分组
赋分组
下列结论正确的是( )
A. 组数据的极差小于组数据的极差
B. 组数据的平均数小于组数据的平均数
C. 组数据的方差小于组数据的方差
D. 组数据的中位数小于组数据的分位数
11.已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是( )
A. 正四面体外接球的表面积为 B. 正四面体内切球的体积为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.在一次招聘面试中，小明要依次回答甲、乙、丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，，，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少个问题的概率为______．
14.的内角，，的对边分别为，，，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行四边形中，，设．
用表示；
证明：，，三点共线．
16.本小题分
年底我国一家公司的发布，引起全球轰动某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩单位：分，根据这名员工的成绩成绩均在之间，将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值；
估计这名员工的竞赛成绩的平均数同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表；
在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取人，再从抽取的人中随机抽取人进行再培训，求这人的成绩都在内的概率．
17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若为的平分线且与交于点，，求面积的最小值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在中，角，，对应的边分别为，，，已知向量，且．
求．
著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式等其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
用向量证明二维柯西不等式：．
已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立若，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意知，向量可得，
又由，可得，
故．
证明：因为，可得，
所以，
且，可得，所以，，三点共线．
16.由频率和乘组距为得：，解得；
，
故可估计这名员工的竞赛成绩的平均数为；
，，
因此这名员工中成绩在的有人，分别为、、、，
这名员工中成绩在的有人，分别为、，
这名员工中随机抽取名员工的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这名员工的成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
因此参赛成绩都在内的概率为．
17.由及正弦定理，
可得，
即，
即，即，
又，所以，
由，得；
因为为的平分线且与交于点，，
所以，整理得，
由，解得，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为．
18.证明：如图，连接交于点，连接，
在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，
平面，所以平面；
证明：在直三棱柱中，，为的中点，
所以，又平面，平面，所以，
，，平面，所以平面，又平面，
所以平面
解：以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴，
如图所示，设，
又，所以，，
所以，
则，
设平面的一个法向量为
则，即，
令，所以，
可得，，，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，．
19.解：由题设及，
可得，
由正弦定理得，即，
所以，
由，可得；
证明：设，
由，
可得，
两边平方得；
解：，
又由，
，
可得，
根据三维分式型柯西不等式，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由余弦定理，得，
所以，
则，
令，则，
由，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以，则，令
令，其图象的对称轴方程为，
则在上单调递减，
当，即，即时，，
所以．
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