2024-2025学年河北省石家庄市高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省石家庄市高二下学期期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下是某离散型随机变量的分布列，则实数( )
A. B. C. 或 D.
2.下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是( )
A. B. 为自然数的底数
C. D.
3.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法中正确的是( )
A. 回归直线至少经过一个样本点
B. 在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
D. 当样本相关系数时，成对样本数据正相关
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.一个箱子中有个大小相同的球，其中有个黄球，个红球，从中随机的摸出个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知随机事件、满足，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若展开式中二项式系数和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 所有项的系数和为
C. 展开式中的有理项共有项 D. 第三项的二项式系数最大
10.、、、、五名同学安排值日，下列说法正确的是( )
A. 五人值五天，每人值一天，、两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有种
B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法
C. 五人值五天，每人值一天，要求、、三人值日的先后顺序固定，则一共有种安排方法
D. 、、三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有种安排方法
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 此函数的最大值为为自然对数的底数
B.
C. ，使
D. 若，有两个不等实根，则为自然对数的底数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：
13.用为自然对数的底数拟合一组数据时，为了求出回归方程，令，变换后得到的线性回归方程为，则
14.甲、乙、丙、丁、戊五名同学玩邮件漂流瓶游戏，规则为：首先由甲同学把一封邮件随机的发送给其他四名同学中的一名，接到邮件的同学再随机的把邮件发送给另外四名同学中的一名，如此传递下去，则第次发送后乙接收到邮件的概率 ，记前次的发送中乙接到邮件的次数为，则 附：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了份调查问卷，得到的数据如下：
男生 女生 合计
满意
不满意
合计
Ⅰ依据的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联
Ⅱ在被调查的名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共人，再从人中随机抽出人作为代表与食堂负责人座谈，设人中男生人数为，求及．
附：，．
16.本小题分
一组实验数据如下：
Ⅰ根据表中数据，计算，．
Ⅱ根据表中数据计算样本相关系数保留两位小数．
Ⅲ由数据用最小二乘法可得线性回归方程为，统计学中常用决定系数刻画回归效果，例如假设，就说明响应变量的差异有由解释变量引起请计算本题的保留两位小数，并指出本题中响应变量的差异在多大程度上由解释变量引起．
附：， ，，
17.本小题分
某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节抢答环节有一道题目在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到抢到题目且回答正确者得分，同时没抢到者得分抢到题目且回答错误者得分，同时对方得分必答环节每人一题，答对得分，答错得分甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响．
Ⅰ记抢答环节甲同学累计得分为，求的分布列
Ⅱ记两个环节结束甲同学累计得分为，求．
18.本小题分
有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球其中甲袋中有个红球个白球，乙袋中有个红球个白球从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束．
Ⅰ求首次摸球后试验就结束的概率
Ⅱ在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率
Ⅲ在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：
方案一：从原袋中摸球
方案二：从另外一个袋子中摸球．
请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大．
19.本小题分
已知曲线在点处切线方程为，其中，为常数，为自然对数的底数．
Ⅰ求，的值证明：只有一个零点
Ⅱ若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ零假设为：学生性别与其对食堂的满意情况无关，
根据，
给定时，临界值，
由于，故拒绝原假设，
即认为学生性别与其对食堂的满意情况有关；
Ⅱ男生占比，女生占比，
抽取人时，男生抽取数人，女生抽取数人，
服从超几何分布，参数总样本，男生数，抽取数，
，
由超几何分布期望公式，代入得：．
16.解：Ⅰ，
；
Ⅱ ，
，
，
所以
；
Ⅲ，
，
所以
，
响应变量的差异有由解释变量引起．
17.解：Ⅰ抢答环节中，甲的得分的可能取值为或，
甲抢到题目且答对，或者乙抢到题目且答错时，甲得分，
因为甲乙两人抢到题目的概率均为，甲答对的概率为，乙答错的概率为，
则，
所以，
故的分布列为：
Ⅱ设必答环节甲的得分为，则．
必答环节中，甲答对的概率为，得分；答错的概率为，得分，
则的期望为：．
抢答环节的期望为：，
所以．
18.解：Ⅰ 设事件表示“选甲袋”，事件表示“选乙袋”，事件表示“首次摸球为白球”由题意，，甲袋中摸白球的概率，乙袋中摸白球的概率．
根据全概率公式：
Ⅱ首次摸红球条件下选到乙袋的概率设事件表示“首次摸球为红球”，则 乙袋中摸红球的概率，
因此．
根据条件概率公式：
Ⅲ方案一与方案二的概率比较设首次摸红球后，
选甲袋的条件概率为，选乙袋的条件概率为．
方案一原袋摸球：甲袋中摸白球的概率，乙袋中摸白球的概率，
因此第二次结束的概率：
方案二换袋摸球：若原袋为甲袋，换乙袋后摸白球的概率；
若原袋为乙袋，换甲袋后摸白球的概率，
因此第二次结束的概率：比较与，
显然，故方案二的概率更大．
19.解：Ⅰ由，得，
曲线在点处的切线斜率，
从而，解得，则，
把，代入切线方程得，
即，解得；
证明：由知，定义域为，
令，即，变形为，
设，则，
则在上，恒成立，
在上单调递增，
又，而，
所以由零点存在定理知：存在唯一零点，使得，
从而只有一个零点；
Ⅱ因为存在正实数，使得成立，
所以存在正实数，使得成立，
即存在正实数，使得成立．
令，则，，
由知，有唯一解，在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以．
由，得，即，
即，亦即，
易得在上单调递增，
由，得，所以，即，，
所以，
故，即的取值范围为．
第1页，共1页