菱形的性质与判定 同步练习(第1课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为 ( )
A.15°或30° B.30°或45°
C.45°或60° D.30°或60°
【解析】选D.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC,∠BAC=∠CAD,AD∥BC,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=180°-∠BAD
=180°-120°=60°,
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.
∴剪口与折痕所成的角的度数应为30°或60°.
2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,∠D=∠B,AD∥BC,
∴∠BAD+∠B=180°,
∵∠BAD=2∠B,∴∠B=60°,∴∠D=∠B=60°,
∴△ABC与△ACD是全等的等边三角形.
∵E,F分别为BC,CD的中点,
∴BE=CE=CF=DF=AB.
在△ABE与△ACE中,
∵AB=AC,∠B=∠ACB=60°,BE=CE,
∴△ABE≌△ACE(SAS),
同理,△ACF≌△ADF≌△ABE,
∴图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有3个.
【变式训练】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC≠BD,则图中全等三角形有( )
A.4对 B.6对 C.8对 D.10对
【解析】选C.图中全等三角形有:△ABO≌△ADO,△ABO≌△CDO,△ABO≌△CBO,△AOD≌△COD,△AOD≌△COB,△DOC≌△BOC,△ABD≌△CBD,△ABC≌△ADC,共8对.
3.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,则△BDE的面积为 ( )
A.22 B.24 C.48 D.44
【解析】选B.∵AD∥BE,AC∥DE,
∴四边形ACED是平行四边形,∴AC=DE=6,
在Rt△ABO中,BO===4,∴BD=2BO=8.
又∵BE=BC+CE=BC+AD=10,
∴△BDE是直角三角形,
∴△BDE的面积=DE·BD=24.
【一题多解】本题在说明△BDE是直角三角形时,除了可以利用勾股定理的逆定理,还可以根据下面的方法得到:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,∵AC∥DE,∴∠BDE=∠BOC=90°,
∴△BDE是直角三角形.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于 .
【解题指南】本题考查的三个知识点
(1)菱形的四条边相等.
(2)菱形的对角线互相平分.
(3)三角形的中位线等于第三边的一半.
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=8,AC与BD交点O是BD的中点,∵E是CD中点,∴OE是△DBC的中位线,∴OE=BC=4.
答案:4
【互动探究】如果把本题中的已知条件AB=8改为OE=4,那么菱形ABCD的周长是多少?
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴点O是BD的中点,∵E是CD中点,∴OE是
△DBC的中位线,∴BC=2OE=8,∴菱形ABCD的周长=4BC=4×8=32.
5.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点B的坐标为(8,4),则C点的坐标为 .
【解析】过点B作BD⊥OA于D,
∵四边形OABC是菱形,
∴OC=OA=AB=BC,BC∥OA,
设AB=x,则OA=x,AD=8-x,
在Rt△ABD中,
AB2=AD2+BD2,
即x2=(8-x)2+16,
解得:x=5,∴BC=5,∴C点的坐标为(3,4).
答案:(3,4)
【特别提醒】C点的横坐标为点B的横坐标减去BC的长,不能误认为C点的横坐标是B点横坐标的一半.
6.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是 .
【解析】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D=60°,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°,∠BAE=∠DAF=30°,∴AE=AF,
∵∠B=60°,∴∠BAD=120°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,
∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF,∠AEF=60°,
∵AB=4,∴AE=2,∴EF=AE=2,
过A作AM⊥EF,
∵∠AEF=60°,∴∠EAM=30°,
∴EM=AE=.
AM==3,
所以△AEF的面积=×2×3=3.
答案:3
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC.
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.
【解析】(1)连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴BD垂直平分AC,
∴AE=EC.
(2)点F是线段BC的中点.
理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB,
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
∵AE=EC,∴∠EAC=∠ACE,
∵∠CEF=60°,∴∠EAC=30°,
∴AF是△ABC的角平分线,∴BF=CF,
∴点F是线段BC的中点.
8.(8分)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.
求证:OE=BC.
【证明】∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.∴CE=OD,CE∥OD.
∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB.
∴CE=OB,CE∥OB.∴四边形OBCE是平行四边形.
∴OE=BC.
【培优训练】
9.(10分)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD交于点O,过点O的直线EF交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:△AOE≌△COF.
(2)若∠EOD=30°,求CE的长.
【解析】(1)在菱形ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,
又∵∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△AOE≌△COF(AAS).
(2)在菱形ABCD中,∵∠BAD=60°,AB=AD=2,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=2,∠ADB=60°,
∵AC⊥BD,∴∠AOD=90°,OB=OD=1,
∵∠EOD=30°,∴∠EOD+∠ADB=90°,
∴∠OED=90°,∴DE=OD=,
∴OE=,AE=,∴EF=2OE=,
由(1)知△AOE≌△COF,∴CF=AE=,
∵AD∥BC,∴∠BFO=∠OED=90°,∴∠CFO=90°,
∴CE===.
菱形的性质与判定 同步练习(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若∠B=30°,AE=3,则菱形ABCD的面积为 ( )
A.18 B.9 C.9 D.18
【解析】选A.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,
∵∠B=30°,AE=3,∴AB=6,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=6,
∴菱形ABCD的面积=BC·AE=6×3=18.
2.如图,四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若
∠C=100°,则∠BAD的大小是 ( )
A.25° B.50°
C.60° D.80°
【解析】选B.连接BD,并延长AE交BD于点O,
∵AE=BE=DE=BC=DC,
∴四边形BCDE是菱形,
又∵AB=AD,BE=DE,AE=AE,
∴△ABE≌△ADE,∴AE为∠BAD的平分线且AE⊥BD,∴EO平分∠BED.
∵∠C=100°,∴∠BED=100°,
∴∠BEO=∠BED=50°,
∴∠BAE=25°,∴∠BAD=50°.
3.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断 ( )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
【解题指南】本题的判断思路
(1)对于甲的作法,可先判定四边形ANCM是平行四边形,再根据对角线互相垂直判断其是菱形.
(2)对于乙的作法,可先判定四边形ABCD是平行四边形,再根据邻边相等判断其是菱形.
【解析】选C.甲的作法正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACN,
∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,
在△AOM和△CON中,
∠MAO=∠NCO,AO=CO,∠AOM=∠CON,
∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∵AC⊥MN,∴四边形ANCM是菱形.
乙的作法正确;
∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∴∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.
∵AF∥BE,且AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是 (写出一个即可).
【解析】根据题意可得出:四边形CBFE是平行四边形,
当CB=BF时,平行四边形CBFE是菱形,
当BE⊥CF;BC=BF时,也都可以得出四边形CBFE为菱形.
答案:CB=BF(答案不唯一)
【特别提醒】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形进而判断即可.不要出现添加BD=AE这样的错误.
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,AB∥DC,AD=BC=CD,点E为AB上一点,连接CE.请添加一个你认为合适的条件 ,使四边形AECD为菱形.
【解析】可添加的条件为AE=AD或∠CEB=∠B等(答案不唯一);
以∠CEB=∠B为例,
证明:∵∠CEB=∠B,∴BC=CE=AD;
∵∠A=∠B,∴∠A=∠CEB=∠B;
∴CE平行且等于AD,即四边形AECD是平行四边形;
又∵AD=DC,∴平行四边形ADCE是菱形.
答案:∠CEB=∠B(答案不唯一)
6.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边
△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD.
其中正确的结论为 (请将所有正确的序号都填上).
【解析】∵△ACE是等边三角形,∴∠EAC=60°,AE=AC,
∵∠BAC=30°,∴∠FAE=∠ACB=90°,AB=2BC,∵F为AB的中点,∴AB=2AF,
∴BC=AF,∴△ABC≌△EFA,
∴FE=AB,∴∠AEF=∠BAC=30°,∴EF⊥AC,故①正确,∵EF⊥AC,∠ACB=90°,
∴HF∥BC,∵F是AB的中点,
∴HF=BC,∵BC=AB,AB=BD,
∴HF=BD,故④正确;
∵AD=BD,BF=AF,∴∠DFB=90°,∠BDF=30°,
∵∠FAE=90°,
∴∠DFB=∠EAF,∵∠AEF=30°,
∴∠BDF=∠AEF,∴△DBF≌△EFA(AAS),
∴AE=DF,
∵FE=AB=AD,∴四边形ADFE为平行四边形,
∵AE≠EF,∴四边形ADFE不是菱形;故②不正确;
∵AG=AF,∴AG=AB,∵AD=AB,则AD=4AG,故③正确.
答案:①③④
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·雅安中考)在□ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,
∵在△ADE和△CBF中,
∵AD=BC,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AE=CF,∴DF=EB,∴四边形DEBF是平行四边形,
又∵DF=FB,∴四边形DEBF为菱形.
【一题多解】证明四边形DEBF为菱形时,还可以通过四边相等进行证明.过程如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵AE=CF,∴DF=EB,
∵△ADE≌△CBF,∴DE=BF,
∵DF=BF,
∴DF=EB=DE=BF,
∴四边形DEBF为菱形.
8.(8分)如图.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H.连接FH.
求证:四边形CFHE是菱形.
【证明】∵∠ACB=90°,AE平分∠BAC,EH⊥AB,
∴CE=EH,
在Rt△ACE和Rt△AHE中,AE=AE,CE=EH,
由勾股定理得:AC=AH,
∵AE平分∠CAB,∴∠CAF=∠HAF,
在△CAF和△HAF中,
∵AC=AH,∠CAF=∠HAF,AF=AF,
∴△CAF≌△HAF(SAS),
∴∠ACD=∠AHF,
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B=∠AHF,∴FH∥CE,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形,
∵CE=EH,∴四边形CFHE是菱形.
【培优训练】
9.(10分)如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm.射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时.求证:△ADE≌△CDF.
(2)填空:当t= s时,四边形ACFE是菱形.
【解析】(1)∵AG∥BC,
∴∠EAD=∠DCF,∠AED=∠DFC,
∵D为AC的中点,∴AD=CD, ∵在△ADE和△CDF中,
∠EAD=∠DCF,∠AED=∠DFC,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF(AAS).
(2)6
