矩形的性质与判定(第1课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论不正确的是 ( )
A.△AOB≌△BOC
B.△BOC≌△EOD
C.△AOD≌△EOD
D.△AOD≌△BOC
【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°,
∵AD=DE,∴BC=DE.
在△BOC与△EOD中,∠EDO=∠C=90°,BC=DE,∠BOC=∠DOE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.
在△AOD和△EOD中,∠ADO=∠EDO=90°,AD=DE,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.
由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.
而A选项找不到全等的元素.
2.如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M,N分别在边AD,BC上,连接BM,DN,若四边形MBND是菱形,则等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设AM=a,AB=b,则AD=2b,BM=MD=2b-a,在Rt△ABM中,BM2=AB2+AM2,即(2b-a)2=a2+b2,得到b=a,则MD=2b-a=a,
∴==.
【互动探究】若四边形MBND是菱形,那么△ABM≌△CDN吗 为什么
【解析】△ABM≌△CDN.∵四边形MBND是菱形,
∴BM∥ND,BN∥MD,∴∠NBM=∠CND,∠NBM=∠AMB,∠AMB=∠CND,又∵∠A=
∠C,AB=CD,
∴△ABM≌△CDN.
3.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 ( )
A.12
B.24
C.12
D.16
【解题指南】连接BE,先由AD∥BC,可得∠AEF=120°,∠DEF=60°,再根据翻折求出∠BEF=∠DEF,可得∠AEB=60°,最后由勾股定理求出AB后即可得解.
【解析】选D.如图,连接BE,
在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°,
∠DEF=∠EFB=60°,
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,∴∠BEF=∠DEF=60°,
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°,
在Rt△ABE中,BE=2AE=4,
AB===2,
∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,
∴矩形ABCD的面积=AB·AD=2×8=16.
【知识归纳】折叠问题
1.概念:折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果.
2.实质:折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠前后重合部分一定全等,折叠前后重叠的线段相等,角相等.
3.解决方法:在解决与折叠问题有关的题目时,要注意相等的量,有时亲手折叠一下,也可以打开思路.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若∠AOB=
60°,AC=10,则AB= .
【解析】如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,AC=10,
∴OA=OB=AC=5.
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=5.
答案:5
【一题多解】∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,
∴∠BCO=∠CBO,∵∠AOB=∠BCO+∠CBO,
∴∠BCO=∠AOB=30°,∴AB=AC=5.
答案:5
【变式训练】如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
∠AOB=120°,AD=2,则AC的长是 ( )
A.2 B.4 C.2 D.4
【解析】选B.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵∠AOB=120°,∴∠AOD=
60°,∴△AOD是等边三角形,
∴AC=2AO=2AD=4.
5.如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,CN,MN,若AB=2,BC=2,则图中阴影部分的面积为 .
【解析】∵E,F分别是AB,CD的中点,∴四边形EBFD是平行四边形.∵M,N分别是DE,BF的中点,
∴△AEM的面积是△AED面积的一半,△BCN的面积是△BCF面积的一半,平行四边形DFNM的面积是平行四边形EBFD面积的一半,∴阴影部分的面积是矩形面积的一半=AB·BC=2.
答案:2
6.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE,若AE=6.5,AD=5,则AC= ;△ABE的周长是 .
【解析】∵AD⊥AB,∴△ABD为直角三角形.
又∵点E是BD的中点,
∴BD=AE=BE=6.5,∴∠EAB=∠B,
∴∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B=∠C,
即∠AEC=∠C,∴AE=AC=6.5.
在Rt△ABD中,AD=5,BD=2AE=2×6.5=13,
∴AB=12,∴△ABE的周长是AB+AE+BE=12+6.5+6.5=25.
答案:6.5 25
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.
(1)求证:△BEC≌△DFA.
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,BC=AD,AB=CD,
又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴BE=AB,DF=CD.∴BE=DF.
∴△BEC≌△DFA(SAS).
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥CF,AB=CD,
又E,F分别是边AB,CD的中点,
∴AE=AB,CF=CD.∴AE=CF.
又AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
【互动探究】本题的第(2)小题中,除了可以通过证明AE与CF平行且相等证明四边形AECF是平行四边形,还有哪些方法可以证明四边形AECF是平行四边形
【解析】还可以通过证明AF与EC平行且相等或两组对边分别相等(平行)或两组对角相等来证明.
8.(8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF.
(2)若BC=2,求AB的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴CD∥AB,∴∠FCO=∠EAO,
在△FCO与△EAO中,
∴△FCO≌△EAO(AAS),∴OF=OE.
(2)如图,连接OB,
∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF.
∵△FCO≌△EAO,∴OA=OC,OB=AC=OA,
∴∠BAC=∠ABO.
在Rt△BEO中,∠BEF=2∠BAC,∠BAC=∠ABO,
∴2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°.
∵BC=2,∴AC=2BC=4,AB==6.
【培优训练】
9.(10分)定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∵AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是“友好三角形”,∴S△AOB=S△AOE.
∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.矩形的性质与判定(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在□ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AB=AD
B.OA=OB
C.AC=BD
D.DC⊥BC
【解析】选A.当DC⊥BC时,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形ABCD是矩形;当OA=OB或AC=BD时,根据对角线相等的四边形是矩形可证四边形ABCD为矩形;当AB=AD时,可证四边形ABCD为菱形,不能证四边形ABCD为矩形.故选A.
2.在数学活动课上,同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案,其中正确的是 ( )
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
【解析】选C.根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形,故A选项错误;根据两组对边分别相等,只能得出四边形是平行四边形,故B选项错误;根据对角线相等不能得出四边形是矩形,故D选项错误.
3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.4
【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,
∴DF∥BC,∴∠C=90°,∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4.
∴AC==2.∴BE=CD=.
∴四边形BCDE的面积为2×=2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点,作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,则四边形CFEG的周长是 .
【解析】∵∠C=90°,
EF⊥AC,EG⊥BC,
∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°,
∴四边形FCGE是矩形,
∴FC=EG,FE=CG,EF∥CG,EG∥CA,
∴∠BEG=∠A=45°=∠B,∴EG=BG,
同理AF=EF,
∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12.
答案:12
5.如图,在△ABC中,BC=8,AC=6,AB=10,它们的中点分别是点D,E,F,则CF的长为 .
【解析】∵在△ABC中,BC=8,AC=6,AB=10,
∴AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90°.
又∵点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,
∴CF=AB=5.
答案:5
6.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为 .
【解析】∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2,即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP.
∵M是EF的中点,∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高,即2.4,
∴AM的最小值是1.2.
答案:1.2
【变式训练】如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF长度的最小值是 .
【解析】连接PC.∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°.
∴四边形ECFP是矩形,
∴EF=PC,∴当PC最小时,EF也最小,
即当CP⊥AB时,PC最小,∵AC=4,BC=3,∴AB=5,
∴AC·BC=AB·PC,∴PC=.
∴线段EF长度的最小值为.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称,若∠B=
90°,∠C=90°,连接EF,AD,点B,E,F,C在同一条直线上.
求证:四边形ABCD是矩形.
【证明】∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称,
∴AB=CD,
∵∠B=90°,∠C=90°,点B,E,F,C在同一条直线上,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠B=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.
8.(8分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形 请说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴ND∥AM.∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.
又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE.∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
(2)当AM的值为1时,四边形AMDN是矩形.理由如下:
∵AM=1=AD,∴AM=AE=DE,
∵∠DAM=60°,∴△AME是等边三角形,
∴EM=1=DE,∠AEM=60°,
∴∠ADM=∠AEM=30°,
∴∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=90°,
∴平行四边形AMDN是矩形.
【互动探究】当AM为何值时,四边形AMDN是菱形
【解析】当AM的值为2时,四边形AMDN是菱形,理由如下:∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=2,
∵AM=2,∴AM=AD,
∵∠DAM=60°,∴△AMD是等边三角形,∴AM=DM,
又∵四边形AMDN是平行四边形,
∴四边形AMDN是菱形.
【培优训练】
9.(10分)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 并说明理由.
【解题指南】本题涉及的三个判定和解题关键
三个判定:①直角三角形的判定,②平行四边形的判定,③矩形的判定.
解题关键:根据已知得出∠ECF=90°是解题关键.
【解析】(1)∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO,∴OF=OC,
同理可证:OC=OE,∴OE=OF.
(2)由(1)知:OF=OC,OC=OE,
∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC,
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC,
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°,
∴EF===13,
∴OC=EF=.
(3)当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形,
理由如下:由(1)知OE=OF,
当点O移动到AC中点时有OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵∠ECF=90°,∴四边形AECF为矩形.
