正方形的性质与判定(第1课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( )
A.14
B.15
C.16
D.17
【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=4,
∴正方形ACEF的周长为4AC=4×4=16.
【变式训练】如图,AC为正方形ABCD的对角线,E是DC延长线上一点,F是AB延长线上一点,且四边形ACEF是菱形,则∠CAE= .
【解析】∵AC为正方形ABCD的对角线,∴∠CAB=45°,
∵四边形ACEF是菱形,AE是它的对角线,∴∠CAE=22.5°.
答案:22.5°
2.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 ( )
A.5∶8
B.3∶4
C.9∶16
D.1∶2
【解析】选A.设小正方形的边长为1,∴阴影部分正方形的边长是=,
∴阴影部分正方形的面积是×=10,
∵正方形ABCD的面积是16,
∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.
【一题多解】利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的,∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.
3.如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT= ( )
A.
B.2
C.2
D.1
【解析】选B.∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,
∴∠BDC=∠CGE=45°,
又∵∠BDC=∠GDT=45°,
∴∠GDT=∠DGT
=45°,△DTG是等腰直角三角形,
∵GD=8-4=4,由勾股定理得,GT=2.
【互动探究】BP与EG相等吗 为什么
【解析】BP=EG,由题意可知∠BET=∠EBT
=45°,
∴△BTE是等腰直角三角形,∴BT=ET,
同理△GTP是等腰直角三角形,∴TP=TG,
∴BT+TP=ET+TG,∴BP=EG.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为 .
【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE,∴∠ABF=∠DAE,
在△AFB和△AED中,∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD,
∴△AFB≌△DEA,∴AF=DE=4,BF=AE=3,
∴EF=AF+AE=4+3=7.
答案:7
【互动探究】正方形ABCD的面积是多少
【解析】∵AF=4,BF=3,
∴AB===5.
∴正方形ABCD的面积=5×5=25.
5.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=
度.
【解析】连接EE′,
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,AE=1,BE=2,CE=3,
∴∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,
∴EE′=2,∠BE′E=45°,
∵E′E2+E′C2=8+1=9,EC2=9,∴E′E2+E′C2=EC2,∴△EE′C是直角三角形,
∴∠EE′C=90°,
∴∠BE′C=135°.
答案:135
【变式训练】点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE,连接BE,则∠CBE等于 ( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】选C.过点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,则∠F=90°,
∵线段PE是线段PD绕点P顺时针旋转90°得到,
∴PD=PE,∠DPE=90°,
∴∠APD+∠EPF=90°,
在正方形ABCD中,AD=AB,∠A=∠ABC=90°,
∴∠APD+∠ADP=90°,∴∠ADP=∠EPF,
在△APD和△FEP中,
∵∠ADP=∠FPE,∠A=∠F=90°,PD=EP,
∴△APD≌△FEP,∴AP=FE,AD=FP,
又∵AD=AB,
∴AB=PF,即AP+PB=PB+BF,
∴AP=BF,∴BF=EF,
又∠F=90°,∴△BEF为等腰直角三角形,
∴∠EBF=45°,又∠CBF=∠ABC=90°,
∴∠CBE=90°-45°=45°.
6.如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为 .
【解析】依题意,得到下图.
易发现小球是沿着E→F→G→H→M→N→E的轨迹来运动的,故需分别求出线段EF,FG,GH,HM,MN,NE的长度,同时通过观察图形,易得到EF=HM=,GH=EN=,FG=MN=,∴当小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为6.
答案:6
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状,并说明理由.
(2)若BD=8cm,求线段BE的长.
【解析】(1)四边形ACED是平行四边形.
理由如下:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,即AD∥CE,
∵DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)由(1)知,BC
=
AD
=
CE
=
CD,
在Rt△BCD中,令BC=CD=x,则x2+x2=82.
解得x=4,∴BE=2x=8(cm).
8.(8分)在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过折纸得到一些特殊图形.把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开.
(1)猜想四边形ABCD是什么四边形.
(2)请证明你所得到的数学猜想.
【解析】(1)四边形ABCD是菱形.
(2)∵△AMG沿AG折叠,使AM落在AC上,
∴∠MAD=∠DAC=∠MAC,
同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN,∠DCA=∠MCD
=∠ACM,∠ACB=∠NCB=∠ACN,
∵四边形AMCN是正方形,
∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA,
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA.
∴AD∥BC,AB∥DC,∴四边形ABCD为平行四边形,
∵∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴四边形ABCD为菱形.
【培优训练】
9.(10分)如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP.
(2)求证:∠DPE=∠ABC.
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),若∠ABC=58°,则∠DPE=
度.
【解析】(1)在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°,
∵在△BCP和△DCP中,
∴△BCP≌△DCP(SAS).
(2)由(1)知,△BCP≌△DCP,
∴∠CBP=∠CDP,
∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,∴∠CDP=∠E,
∵∠1=∠2(对顶角相等),
∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,
即∠DPE=∠DCE,
∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DPE=∠ABC.
(3)与(2)同理可得:∠DPE=∠ABC=58°.正方形的性质与判定(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,是真命题的是 ( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解析】选C.由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形,对角线互相平分且相等是矩形,故选项A错误;对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形,故选项B错误;对角线互相平分的四边形是平行四边形,选项C正确;对角线互相平分且互相垂直、相等的四边形是正方形,故选项D错误.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 ( )
A.BC=AC
B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
【解析】选D.∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
当BC=AC时,∠A=45°,
∵∠ACB=90°,∴∠EBC=45°,
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,
∴菱形BECF是正方形.
故添加BC=AC能证明四边形BECF为正方形;
当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故添加CF⊥BF能证明四边形BECF为正方形;
当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故添加BD=DF能证明四边形BECF为正方形;
当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形.
3.已知四边形ABCD,对角线AC与BD互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( )
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【解题指南】四边形对角线互相垂直→四个角都是直角→矩形.
【解析】选B.如图:
∵E,F,G,H分别为各边中点,
∴EF∥GH∥DB,EF=GH=DB,
EH=FG=AC,EH∥FG∥AC,
∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形.
【易错提醒】原四边形的对角线相等,得到的中点四边形是菱形;原四边形的对角线垂直,得到的中点四边形是矩形,容易混淆二者而导致错选C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,要使四边形DECF是正方形,只需增加一个条件为 .
【解析】添加条件AC=BC.
∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,∵∠ACB=90°,∴∠DEC=90°,
同理∠DFC=90°,DF=AC,∴四边形DECF是矩形,
又∵AC=BC,∴DE=DF,∴四边形DECF为正方形.
答案:AC=BC(答案不唯一)
5.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形,它的中点四边形的两条对角线长之和是 .
【解析】如图:
∵E,F,G,H分别为各边中点,
∴EF∥GH∥AC,EF=GH=AC,
EH=FG=BD,EH∥FG∥BD,
∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形,
∵EH=BD=3cm,EF=AC=4cm,
∴HF==5(cm),
∴中点四边形的两条对角线长之和是5+5=10(cm).
答案:10cm
【互动探究】四边形EFGH的周长和面积分别是多少
【解析】∵四边形EFGH是矩形,EH=3cm,EF=4cm,
∴四边形EFGH的周长是2×(3+4)=14(cm),
四边形EFGH的面积是3×4=12(cm2).
6.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1,B1,C1,D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2,B2,C2,D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,…依此类推,这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为 .
【解析】若设AC=a=8,BD=b=4,则由三角形的中位线定理可以知道:四边形A1B1C1D1是矩形且边长分别是a,b,其面积S1=ab;四边形A2B2C2D2是菱形,其对角线长分别是a,b,其面积S2=S1;四边形A3B3C3D3是矩形,其边长分别是a,b,其面积S3=S2=S1;四边形A4B4C4D4是菱形,且对角线长分别是a,b,其面积S4=S3=S1,依此规律则四边形AnBnCnDn的面积Sn=S1=.
答案:(或或,只要答案正确即可)
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,点D为线段AB的中点,点C为线段AB的垂直平分线上任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:△CED≌△CFD.
(2)若AB=2a,问当CD为多少时,四边形CEDF为正方形 请说明理由.
【解析】(1)∵点C为线段AB的垂直平分线上任意一点,∴AC=CB,
∴△ABC是等腰三角形,
∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,
∴∠EDC=∠FDC,
在△DEC与△DFC中,
∵∠ACD=∠BCD,CD=CD,∠EDC=∠FDC,
∴△DEC≌△DFC(ASA).
(2)当CD=AB=a时,四边形CEDF为正方形.
理由如下:∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵CD=AB,∴CD=BD=AD,
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,∴∠ACB=90°,
∴四边形ECFD是矩形,
∵△DEC≌△DFC,∴CE=CF,∴四边形ECFD是正方形.
8.(8分)如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形 并说明理由.
【解析】(1)∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),
∴∠CDO=90°,
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,
∴四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,
∴OD=DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形,则
四边形CDOF是正方形.
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
【培优训练】
9.(10分)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE,交边BC于点G.
(1)求证:四边形ABGD是平行四边形.
(2)如果AD=AB,求证:四边形DGEC是正方形.
【证明】(1)如图,连接AC,BE.
∵DE⊥BC,且F是DE的中点,∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCF,AB=EC,
∴∠ABC=∠ECF,∴AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=BC,
∵BC=2AD,∴AD=BG,
又∵AD∥BG,∴四边形ABGD是平行四边形.
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=AB,即得CG=DC=DG,
∴DG2+DC2=CG2,∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.
