1.1.1菱形的性质与判定提升练习

菱形的性质与应用
提升练习
1.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是　(　　)
A.10　　　　　　　
B.12
C.15
D.20
【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=5,∵∠A=60°,∴△ABD为等边三角形.∴AB=BD=AD=5,
∴△ABD的周长是15.
【知识归纳】含有60°或120°内角的菱形的性质
(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形.
(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为
30°,可利用这一特殊边角关系解决问题.
(3)如果菱形的边长为a,那么菱形的面积为a2.
2.如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是　(　　)
A.24
B.16
C.4
D.2
【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=4,
∴AC⊥BD,OA=AC=3,OB=BD=2,AB=BC=CD=AD,
∴在Rt△AOB中,AB==,∴菱形的周长=4AB=4.
【互动探究】菱形ABCD的面积是多少
【解析】∵AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC·OB+AC·OD
=×6×2+×6×2=12.
3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于　(　　)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
【解析】选B.如图,连接BF,
在菱形ABCD中,∠BAC=∠BAD=×80°=40°,∠BCF=∠DCF,BC=CD,
∵∠BAD=80°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∵EF是线段AB的垂直平分线,
∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=40°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°,
∵在△BCF和△DCF中,
∴△BCF≌△DCF(SAS),∴∠CDF=∠CBF=60°.
【变式训练】如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,若∠BAC=50°,则∠ABC等于　(　　)
A.40°　　　　B.50°　　　　C.80°　　　　D.100°
【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠BAD,CB∥AD,
∵∠BAC=50°,∴∠BAD=100°,
∵CB∥AD,∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠ABC=180°-100°=80°.
4.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=　(　　)
A.35°
B.45°
C.50°
D.55°
【解析】选D.延长PF交AB的延长线于点G.可以证明△BGF≌△CPF,
∴F为PG中点.
由题可知,∠BEP=90°,∴EF=PG,
∵PF=PG,∴EF=PF,∴∠FEP=∠EPF,
∵∠BEP=∠EPC=90°,∴∠BEF=∠FPC,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°-70°)=55°,
∴∠FPC=55°.
5.如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB的顶点O在原点,点C的坐标为(4,0),点B的纵坐标是-1,则点A的坐标是　(　　)
A.(2,-1)
B.(1,-2)
C.(1,2)
D.(2,1)
【解题指南】点A的横坐标等于OC的长的一半,点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数.
【解析】选D.∵点C的坐标为(4,0),∴OC=4,
则点A的横坐标为2,∵点B的纵坐标是-1,∴点A的纵坐标为1,∴A(2,1).
6.如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的距离是　　　cm.
【解析】菱形对角线平分一组对角,且角平分线上的点到角两边的距离相等,故点P到BC的距离是4cm.
答案:4
7.如图,菱形ABCD的周长为12cm,BC的垂直平分线EF经过点A,则对角线BD的长是　　　　　cm.
【解析】连接AC,交BD于点O,∵菱形ABCD的周长为12,∴AB=3,AC⊥BD,
∵BC的垂直平分线EF经过点A,
∴AC=AB=3,
∴OA=AC=,
∴OB==,∴BD=2OB=3.
答案:3
8.如图,BD是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在边CD,DA上,且CE=AF.
求证:BE=BF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A=∠C,
在△ABF和△CBE中,∵AF=CE,∠A=∠C,AB=CB,
∴△ABF≌△CBE(SAS),∴BE=BF.
9.如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC交BC的延长线于F.求证:DE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCD=∠BAD,CD=AD,
∵∠DCF=180°-∠BCD,∠DAE=180°-∠BAD,
∴∠DCF=∠DAE,
∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠DFC=∠DEA,
∴△DFC≌△DEA,∴DE=DF.
【错在哪？】作业错例
课堂实拍
如图,已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E在边BC上,∠BAE=25°.把线段AE绕点A逆时针方向旋转,使点E落在边DC上,求旋转角α的度数.
(1)找错:从第____________步出现错误.
(2)纠错:
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答案:
(1)⑤
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转,使点B落到点C处,点E落在CD边上的E2处,此时△ABE≌△ACE2,AE=AE2,旋转角α=∠BAC=60°.综上所述,旋转角α的度数为60°或70°.