认识一元二次方程(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.根据下面表格中列出来的数据,可判断方程x2-bx-c=0有一个根大约是
( )
x
0
0.5
1
1.5
2
x2-bx-c
-15
-8.75
-2
5.25
13
A.0.25
B.0.75
C.1.25
D.1.75
【解析】选C.由表格可得方程的解介于1与1.5之间,因而方程x2-bx-c=0的一个根大约是1.25.
【变式训练】根据下面表格中列出来的数据,可判断方程x2+2x-100=0有一个根大约是 ( )
x
9.03
9.04
9.05
9.06
9.07
x2+2x-100
-0.400
-0.198
0.003
0.204
0.405
A.9.025
B.9.035
C.9.045
D.9.055
【解析】选C.由表格可得方程的解介于9.04与9.05之间,因而方程x2+2x-100=0的一个根大约是9.045.
2.若m是方程x2+x-1=0的根,则式子m3+2m2+2014的值为 ( )
A.2012
B.2013
C.2014
D.2015
【解题指南】解答本题的三个关键
(1)要有整体思想,把m2+m作为一个整体.
(2)要进行拆项分解,把m3+2m2拆成m3+m2+m2,并把m3+m2分解成m(m2+m).
(3)要整体代入两次,先把m2+m=1代入分解后的式子,再代入新得到的式子.
【解析】选D.∵m是方程x2+x-1=0的根,
∴m2+m-1=0,即m2+m=1,
∴m3+2m2+2014=m(m2+m)+m2+2014
=m+m2+2014=1+2014=2015.
3.已知m,n是方程x2-2x-1=0的两根,则(2m2-4m-1)(3n2-6n+2)的值等于 ( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.∵m,n是方程x2-2x-1=0的两根,
∴m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,
∴m2-2m=1,n2-2n=1,
∴2(m2-2m)=2,3(n2-2n)=3,
∴(2m2-4m-1)(3n2-6n+2)
=[2(m2-2m)-1][3(n2-2n)+2]
=(2-1)(3+2)=5,即(2m2-4m-1)(3n2-6n+2)的值等于5.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解,则6m+2n= .
【解析】把x=1代入x2+3mx+n=0得:
1+3m+n=0,∴3m+n=-1,
∴6m+2n=2(3m+n)=2×(-1)=-2.
答案:-2
【变式训练】已知关于x的方程x2+bx+c=0有一个根为1,则b+c= .
【解析】把x=1代入方程x2+bx+c=0,得12+b+c=0,
整理,得b+c=-1.
答案:-1
5.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),根据下列表格中的对应值:
x
4.10
4.11
4.12
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.09
可判断方程的一个解x的范围是 .
【解析】根据表格可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x的值在4.11～4.12之间,即4.11答案:4.116.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 .
【解析】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,
∴12+a+b=0,
∴a+b=-1,
∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.
答案:1
三、解答题(共26分)
7.(8分)在一张纸条上写着一个形如x2+bx+c=0的一元二次方程,小明和小亮两位同学争着看这道题,结果小纸条被撕成两部分,小明手里拿着的是x2+bx,小亮手里握着的是+c=0.小明不告诉小亮b的值,小亮不告诉小明c的值,老师告诉他们这个方程有一个解比b大1,小明马上说老师所说的解是-1,请你帮助他们确定b和c的值.
【解析】∵方程的解是-1,∴b=-1-1=-2,
∴这个方程可表示为x2-2x+c=0,
把x=-1代入x2-2x+c=0,
得(-1)2-2×(-1)+c=0,
∴c=-3.
∴b的值是-2,c的值为-3.
8.(8分)有一条长7.2m的木料,做成如图所示的窗框,当窗框的宽为多少时,这个窗框的面积为2m2 (精确到百分位)
【解析】设窗框的宽为xm,则窗框的长为m,
由题意可得方程x·=2,
化成一般形式,得15x2-36x+20=0.
列表计算:
x
0.8
0.9
1
…
1.5
1.6
15x2-36x+20
0.8
-0.25
-1
…
-0.25
0.8
所以0.8当1.5∴1.5进一步列表计算
x
0.85
0.86
0.87
0.88
15x2-36x+20
0.237
5
0.134
0.033
5
-0.064
由表可知x可取近似值0.87.
所以当窗框的宽为0.87
m时,这个窗框的面积为2m2.
【易错提醒】列方程解实际问题时,要注意检验方程的解是否符合实际意义,如本题中在1.5～1.6之间的解不符合题意,应该舍去.
【培优训练】
9.(10分)已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根,求m2-2014m+的值.
【解析】∵m是方程x2-2014x+1=0的一个根,
∴m2-2014m+1=0,∴m2-2014m=-1,
m2+1=2014m,
∴m2-2014m+=-1+=-1+1=0.
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-认识一元二次方程(第1课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,正确的是 ( )
A.4x2-4x+5=0
B.3x2-8x-10=0
C.4x2+4x-5=0
D.3x2+8x+10=0
【解析】选B.方程3x(x-1)=5(x+2),
去括号得3x2-3x=5x+10,
移项得3x2-3x-5x-10=0,
合并同类项得3x2-8x-10=0.
【变式训练】下列一元二次方程中,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,0的是 ( )
A.(x-2)(x+1)=0
B.(x-1)2=2x2+1
C.(x+2)(x-3)+6=0
D.(2x-1)2=3(x2-x)
【解析】选C.选项A可化为x2-x-2=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,-2,故本选项错误;
选项B可化为x2+2x=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,2,0,故本选项错误;
选项C可化为x2-x=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,0,故本选项正确;
选项D可化为x2-x+1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-1,1,故本选项错误.
2.关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+|m|-2=0的常数项为0,则m的值为
( )
A.0
B.2
C.-2或2
D.-2
【解析】选B.∵关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+|m|-2=0的常数项为0,∴m+2≠0且|m|-2=0,
由m+2≠0,得m≠-2,
由|m|-2=0,得m=±2,
∴m=2.
【易错提醒】在解答含有字母系数的一元二次方程时,要时刻注意二次项的系数不为0,本题易遗漏m+2≠0这一条件.
3.如图,把边长为1m的正方形木板锯掉四个角做成正八边形的桌面,设正八边形的桌面的边长为xm,则可列出关于x的方程为 ( )
A.(1-x)2=2x2
B.(1-x)2=x2
C.(1-x)2=4x2
D.(1-x)2+(1-x)2=x2
【解析】选A.∵正八边形每个外角是45°,四边形为正方形,∴锯掉的角的形状是等腰直角三角形,
∵正八边形的桌面的边长为xm,正方形的边长为1m,∴等腰直角三角形的腰长为,
∴()2+()2=x2,整理得(1-x)2=2x2.
【方法技巧】列方程解应用题时,找等量关系常用的“五种方法”
1.根据关键字或关键词找出等量关系.
2.找出不变的量,以不变的量作为等量关系.
3.根据常见的基本数量关系,建立等量关系式.
4.根据线段的和差关系,倍数关系,对应线段成比例等建立等量关系.
5.紧扣几何图形周长、面积和体积公式确定等量关系.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.下列式子:①x2-x-2=0;②-x2+x+2=0;③x2-2x=4;④-x2+2x+4=0中,其中是由方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式的是 (填写序号).
【解析】移项可得x2-x-2=0;在x2-x-2=0两边同时乘以-1可得-x2+x+2=0;在x2-x-2=0两边同时乘以-2得-x2+2x+4=0.
所以①②④都符合题意.③不是一般形式.
答案:①②④
【易错提醒】(1)任何一个一元二次方程经过整理都可以化为一般形式.
(2)同一个一元二次方程的一般形式可以是不同的,所以同一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数以及常数项也不是唯一的.
5.如图,公园原有一块正方形空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花,原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地(空白部分)面积为12m2,求原来正方形空地的边长.若设原来正方形空地的边长为xm,则可列方程 .
【解析】剩余空地的长为(x-1)m,宽为(x-2)m,
所以可列方程为(x-1)(x-2)=12.
答案:(x-1)(x-2)=12
【变式训练】学校有一块边长为10m的正方形草地,现在将它的一边减少xm,另一边增加2xm,改变后的草地面积是112m2,则可得方程 .
【解析】∵改变后的草地是长方形,其长为(10+2x)m,宽为(10-x)m,∴可得方程(10+2x)(10-x)=112.
答案:(10+2x)(10-x)=112
6.若方程(m-1)x|m|+1+2mx-3=0是关于x的一元二次方程,则m= .
【解析】由题意得∴m=-1.
答案:-1
三、解答题(共26分)
7.(6分)已知(a-1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,求不等式3a+6>0的解集.
【解析】∵(a-1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,∴a-1≠0,∴a≠1,
∵不等式3a+6>0,
∴a>-2,
∴不等式3a+6>0的解集是a>-2且a≠1.
8.(8分)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5000cm2,设金色纸边的宽为xcm,求满足x的方程(化为一般形式).
【解析】挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm;
∴(80+2x)(50+2x)=5000,
即4x2+160x+4000+100x=5000,
化为一般形式,得x2+65x-250=0.
【培优训练】
9.(12分)对于下列问题:若x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.小明、小华、小强的解法如下:
小明:依题意得解得
小华:依题意得解得
小强:依题意得或
解得或
你认为上面三个同学的解法谁对谁错 为什么 请把你的解法写出来.
【解析】三个同学的解法均不正确,因为他们对符合条件的情况考虑不周全,正确的解法如下:
欲使x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程,则需使:
或或或或分别解这5个方程组得或或或或
