用配方法求解一元二次方程(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.用配方法解下列方程,配方正确的是 ( )
A.3x2-6x=9可化为(x-1)2=4
B.x2-4x=0可化为(x+2)2=4
C.x2+8x+9=0可化为(x+4)2=25
D.2y2-4y-5=0可化为2(y-1)2=6
【解析】选A.B可化为(x-2)2=4;C可化为(x+4)2=7;
D可化为(y-1)2=.
【易错提醒】把二次项的系数化为1时,方程两边应除以二次项的系数,而不提取系数,本题易错选D.
2.若代数式3x2的值与-4x-1的值互为相反数,那么x的值是 ( )
A.-1
B.-
C.1或
D.或
【解析】选D.由题意得3x2-4x-1=0,
移项,得3x2-4x=1,
方程两边都除以3,得x2-x=,
配方,得x2-x+=+.
即=,∴x-=±,
∴x1=,x2=.
3.不论x为何实数,代数式-2x2+4x+3的值总 ( )
A.≤5
B.≥5
C.≤8
D.≥8
【解析】选A.-2x2+4x+3=-2(x2-2x+1)+5=-2(x-1)2+5,
∵(x-1)2≥0,∴-2x2+4x+3≤5.
【变式训练】若x为任意实数,求3x2-6x+5的最小值.
【解析】3x2-6x+5=3(x2-2x)+5
=3(x2-2x+1)+5-3
=3(x-1)2+2,
∵3(x-1)2≥0,∴3(x-1)2+2≥2,
因此3x2-6x+5的最小值为2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.三角形两边的长是2和5,第三边的长是方程x2-x+2=0的根,则该三角形的周长为 .
【解析】解方程x2-x+2=0,得x1=2,x2=5,当x=2时,∵2+2<5,此时不能构成三角形,∴该三角形的周长为2+5+5=12.
答案:12
【易错提醒】解与三角形三边有关的问题时,要注意三角形的三边关系,本题易遗漏舍去x=2这种情况.
5.若代数式2x2-6x+b可化为2(x-a)2-1,则a+b的值是 .
【解析】∵2(x-a)2-1=2(x2-2ax+a2)-1=2x2-4ax+2a2-1,
∴4a=6,b=2a2-1,
∴a=1.5,b=3.5,
∴a+b=1.5+3.5=5.
答案:5
【一题多解】∵2x2-6x+b=2(x2-3x)+b=2(x-1.5)2-4.5+b,
∴a=1.5,b=3.5,
∴a+b=1.5+3.5=5.
6.已知一元二次方程ax2-2abx-ab2=7的两根为±,则a+b= .
【解题指南】解答本题的两个关键
(1)用配方法解含有字母系数的一元二次方程.
(2)对比方程的根,确定a,b的值.
【解析】∵ax2-2abx-ab2=7,
两边同时除以a得:(x-b)2=,
两边直接开平方得:x-b=±,
则x=b±,
∵两根为±,∴a=4,b=,∴a+b=4=.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(8分)用配方法解方程:
(1)2x2-7x-2=0.
(2)4x2-3=4x.
【解析】(1)方程两边除以2,得x2-x-1=0,
移项,得x2-x=1,
配方得:x2-x+=1+,即=,
开方,得x-=±,
所以x1=,x2=.
(2)移项得4x2-4x=3,
方程两边除以4得x2-x=,
配方,得x2-x+=+,
即=1,
开平方,得x-=±1,
所以x1=,x2=-.
8.(8分)若|m|=1,求关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m+5)x+2=0的解.
【解析】∵|m|=1,∴m=±1,
又∵该方程是一元二次方程,∴m-1≠0,
∴m≠1,∴m=-1,
∴原方程为-2x2+4x+2=0,∴x2-2x-1=0,
∴x2-2x+1=1+1,即(x-1)2=2,
∴x-1=±,∴x1=1+,x2=1-.
【培优训练】
9.(10分)阅读下面的材料并解答后面的问题:
小力:能求出x2+4x+3的最小值吗 如果能,其最小值是多少
小强:能.求解过程如下:因为x2+4x+3=x2+4x+4-4+3=(x2+4x+4)+(-4+3)=(x+2)2-1,而(x+2)2≥0,
所以x2+4x+3的最小值是-1.
问题:(1)小强的求解过程正确吗
(2)你能否求出x2-8x+5的最小值 如果能,写出你的求解过程.
【解析】(1)正确.
(2)能.过程如下:
x2-8x+5=x2-8x+16-16+5=(x-4)2-11,
∵(x-4)2≥0,∴x2-8x+5的最小值是-11.
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-用配方法求解一元二次方程(第1课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.方程x2-3x-6=0配方的结果为 ( )
A.(x-3)2=
B.=
C.=6
D.=
【解析】选B.∵x2-3x-6=0,∴x2-3x=6,
∴x2-3x+=6+,
∴=.
【易错提醒】把方程x2+bx+c=0配成(x+m)2=n的形式后,m的值是等于b的一半而不等于b,本题易误选A.
2.已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≥-
B.m≥0
C.m≥1
D.m≥2
【解析】选B.(x+1)2-m=0,
(x+1)2=m,
∵一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,
∴m≥0.
3.不论a,b为任何实数,式子a2+b2-4b+2a+8的值 ( )
A.可能为负数
B.可以为任何实数
C.总不大于8
D.总不小于3
【解题指南】解答本题的四个关键
(1)将式子进行配方.
(2)任意数的平方一定是非负数.
(3)几个非负数的和一定是非负数.
(4)几个非负数与一个常数的和一定不小于这个常数.
【解析】选D.a2+b2-4b+2a+8=(a2+2a+1)+(b2-4b+4)+3=(a+1)2+(b-2)2+3,
∵(a+1)2≥0,(b-2)2≥0,
∴(a+1)2+(b-2)2+3≥3,
则不论a,b为任何实数,式子a2+b2-4b+2a+8的值总不小于3.
【变式训练】若a,b都是有理数,且a2-2ab+2b2+4b+4=0,则ab等于 ( )
A.4
B.8
C.-8
D.-4
【解析】选A.∵a2-2ab+2b2+4b+4=(a2-2ab+b2)+(b2+4b+4)=(a-b)2+(b+2)2=0,
∴a-b=0且b+2=0,解得:a=b=-2,则ab=4.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如果二次三项式x2+mx+25是一个完全平方式,则m= .
【解析】∵x2+mx+25=x2+mx+52,∴mx=±2×5×x,
∴m=±10.
答案:±10
【互动探究】如果把本题中的x2+mx+25变为x2-mx+25,那么m的值应该是什么
【解析】∵x2-mx+25=x2-mx+52,
∴-mx=±2×5×x,∴m=±10.即m的值仍为±10.
5.无论x取任何实数,代数式都有意义,则m的取值范围为 .
【解题指南】本题涉及的三个知识点
(1)二次根式有意义的条件.
(2)非负数的性质.
(3)配方法的应用.
【解析】由题意,得x2-6x+m≥0,即(x-3)2-9+m≥0,则(x-3)2≥9-m.
∵(x-3)2≥0,∴9-m≤0,∴m≥9.
答案:m≥9
6.若方程(x-m)2-12=0的两根均为正数,其中m为整数,则m的最小值是 .
【解析】∵(x-m)2-12=0,∴(x-m)2=12,
∴x=m±,又∵两根均为正数,且4>>3,
∴m的最小值是4.
答案:4
三、解答题(共26分)
7.(8分)解下列方程:
(1)3x2-2=2x2-4x-1.
(2)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
【解析】(1)移项,得3x2-2x2+4x=-1+2,
x2+4x=1,
配方,得(x+2)2=5,
开平方,得x+2=±,
∴x1=-2+,x2=-2-.
(2)(2x-1)2=x(3x+2)-7,
去括号,得4x2-4x+1=3x2+2x-7,
移项,得x2-6x=-8,
配方,得(x-3)2=1,
开平方,得x-3=±1,
∴x1=2,x2=4.
8.(8分)如图,长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
【解析】(1)剩余部分的面积=ab-4x2.
(2)根据题意可得:ab-4x2=4x2(或4x2=ab=12),
又∵a=6,b=4,∴8x2=24,∴x2=3,∴x=±.
∵x>0,∴正方形边长为.
【培优训练】
9.(10分)选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如
①选取二次项和一次项配方:x2-4x+2=(x-2)2-2;
②选取二次项和常数项配方:
x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x
或x2-4x+2=(x+)2-(4+2)x;
③选取一次项和常数项配方:
x2-4x+2=(x-)2-x2.
根据上述材料,解决下面问题:
(1)写出x2-8x+4的两种不同形式的配方.
(2)已知x2+y2+xy-3y+3=0,求xy的值.
【解析】(1)x2-8x+4
=x2-8x+16-16+4
=(x-4)2-12;
x2-8x+4
=(x-2)2+4x-8x
=(x-2)2-4x.
(2)x2+y2+xy-3y+3=0,
+(y-2)2=0,
x+y=0,y-2=0,
x=-1,y=2,
则xy=(-1)2=1.
