1.2 证明
（4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 定理、基本事实的判断 题型二 根据证明过程填写推理依据 题型三 代数问题的证明 题型四 线段、角问题的证明
题型一 定理、基本事实的判断
1.1.下列句子中，是基本事实的是（ ）
A、若a=b，b=c，则a=c；
B、对顶角相等
C、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
D、相等的角一定是对顶角.
2.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、基本事实
C、定义 D、假命题
下列真命题中不是定理的是（ ）
A.对顶角相等.
B.同角或等角的补角相等.
C.同角或等角的余角相等.
D.在一个三角形中，两内角平分线所成的角等于第三个角的一半与90°的和.
题型二 根据证明过程填写推理依据
1．如图所示，，那么 ，依据是 ．
2．完成下面的证明（在括号内填写推理的依据）
如图，直线与交于点，过作，平分，若．求的度数．
解：∵（已知）
∴__________（ ）
∵平分（已知）
∴__________（ ）
∵（ ）
∴
∴．
3．直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧．
求证：若平分，一定平分．
证明：平分，（ ）．
（ ）．
，（ ）．
________（垂直定义）
（ ）．
即________（ ）．
________（对顶角相等）
________（等量代换）
平分（ ）．
请在括号内填写每一步的依据。
题型三 代数问题的证明
1．证明：两个奇数之和是偶数．
2．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由.
3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
题型四 线段、角问题的证明
1．如图所示，直线，相交于O，平分，，．
求证：平分．
2．已知：如图，，和分别平分和．求证：．
3．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题：
试判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
4．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
5．如图，与互为补角，OD平分，．试说明：．
1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
2．已知，在内部，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若平分，请说明：；
(3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由．
1．如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点．
(1)若，则______．
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
(3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和．
①若，，求；
②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
2．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．1.2 证明
（4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 定理、基本事实的判断 题型二 根据证明过程填写推理依据 题型三 代数问题的证明 题型四 线段、角问题的证明
题型一 定理、基本事实的判断
1.1.下列句子中，是基本事实的是（ ）
A、若a=b，b=c，则a=c；
B、对顶角相等
C、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
D、相等的角一定是对顶角.
【答案】A
【解析】由基本事实的定义即可得出正确答案。
2.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、基本事实
C、定义 D、假命题
【答案】B
【解析】由基本事实的定义即可得出正确答案。
下列真命题中不是定理的是（ ）
A.对顶角相等.
B.同角或等角的补角相等.
C.同角或等角的余角相等.
D.在一个三角形中，两内角平分线所成的角等于第三个角的一半与90°的和.
【答案】D
【解析】由定理的定义即可得出正确答案。
题型二 根据证明过程填写推理依据
1．如图所示，，那么 ，依据是 ．
【答案】 ， 同角的余角相等
【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.
【详解】解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为，同角的余角相等.
【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.
2．完成下面的证明（在括号内填写推理的依据）
如图，直线与交于点，过作，平分，若．求的度数．
解：∵（已知）
∴__________（ ）
∵平分（已知）
∴__________（ ）
∵（ ）
∴
∴．
【答案】90；垂直的定义；；角平分线的定义；对顶角相等
【分析】本题考查了几何图形的角度运算，垂直的定义，角平分线的定义，先由得，因为平分，故，再结合角的和关系进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（对顶角相等），
∴，
∴．
3．直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧．
求证：若平分，一定平分．
证明：平分，（ ）．
（ ）．
，（ ）．
________（垂直定义）
（ ）．
即________（ ）．
________（对顶角相等）
________（等量代换）
平分（ ）．
请在括号内填写每一步的依据。
【详解】证明：
平分，（ 已知 ）．
（角平分线的定义）．
，（ 已知 ）．
（垂直定义）
（ 等式的基本性质 ）．
即，（角的和差的定义 ）．
（对顶角相等）
（等量代换）
平分，（角平分线的定义 ）．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直的定义、对顶角的性质以及角的和差关系，熟练掌握这些角的相关概念和性质，准确进行角的推导与运算，是解决此类角度证明问题的关键．
题型三 代数问题的证明
1．证明：两个奇数之和是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证．
【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则
．
因为，，都为整数，
所以为整数．
所以是偶数．
所以两个奇数之和是偶数．
2．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由.
【答案】正确，理由见解析.
【分析】运用完全平方公式计算，根据计算结果判断题意中的说法是否正确．
【详解】正确，理由如下：
.
故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确.
【点睛】本题考查了命题真假的判断和完全平方公式，通过完全平方公式对所给式子进行化简计算是判断命题真假的前提．
3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？
【答案】正确
【分析】两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断．
【详解】解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：
∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（），
∴原两位数为，新两位数为.
∵，是11的整数倍，
∴这两个两位数的和能被11整除.
∵，一定不是11的整数倍，
∴这两个两位数的差不能被11整除，
∴上述说法正确.
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型四 线段、角问题的证明
1．如图所示，直线，相交于O，平分，，．
求证：平分．
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键。
由，可得，即可根据求出，再根据求出，得出，即可完成证明．
【详解】证明：：直线，相交于，，
，，
，
平分，
∴∠AOE=∠AOD=70°
，
,
，
，
，
平分．
2．已知：如图，，和分别平分和．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求得，，进而即可得到答案
【详解】证明：∵和分别是和的平分线，
∴，，
∵，
∴．
3．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题：
试判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
【答案】)
【分析】根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可；
本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键．
【详解】，理由：
∵M、N分别是线段、的中点，
∴，，
∴；
4．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，几何中角度的计算，掌握角平分线的定义及计算是关键．
（1）根据角平分线的定义得到即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义即可求解．
【详解】（1）解： ，
分别是的平分线
，
，
；
（2）解：平分，
，
由（1）知，
．
5．如图，与互为补角，OD平分，．试说明：．
【答案】见解析
【详解】解：因为与互为补角，
所以，
即．
又因为，
所以，即与互余，与互余．
因为平分，
所以，
所以，
即．
1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
【答案】C
【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（等量代换）．
∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．
故选C．
【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．
2．已知，在内部，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若平分，请说明：；
(3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键．
（1）根据即可得出答案；
（2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可；
（3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系．
【详解】（1）解：在内部，，
，
，
；
（2）解：设，
，
平分，
，
，
，
；
（3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下：
设，则，
，
，
又，
．
1．如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点．
(1)若，则______．
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
(3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和．
①若，，求；
②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
【答案】(1)15
(2)不变，理由见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
（1）根据线段中点的性质得出，根据线段的和差关系得出，进而根据即可求解；
（2）根据（1）的方法进行求解即可求解．
（3）①根据角平分线的定义得出，，根据，即可求解．②根据①的方法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，分别是，的中点，
∴，，
∴；
（2）解：的长度不变．理由如下：
、分别是、的中点，
，，
，，
；
（3）解：①、分别平分和，
，，
．
②、分别平分和，
，，
∴．
2．综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
【答案】（1）①，，； ②，
（2）成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键．
（1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解；
（2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得；
（3）利用周角定义得，而，即可得到．
【详解】（1）解：①，
，
故答案为：，，；
②∵，
∴，
∵，
∴，
（2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
