1.3 几何证明举例
（4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用 题型二 三角形内角和定理及其推论的应用 题型三 平行线的性质与判定的应用 题型四 利用反证法证明一个命题的正确性
题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用
1．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【详解】解：在中，，
则，
∵，
∴．
故选：B ．
2．在中，为边上的高，，，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时，
，，
，
，
又，
；
如下图所示，当为钝角三角形时，
，，
，
，
又，
．
故答案为：或．
3．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可．
【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意；
②∵，，
∴，，，
∴为直角三角形，故②符合题意；
③设，
∵，
∴，解得：，
∴，，，
∴是直角三角形，故③符合题意；
④设，
∵，
∴，解得：，
∴，，，
∴不是直角三角形，故④符合题意；
综上，正确的有②③共2个．
故选D．
4．如图，直线于点A，若，则的度数 ．
【答案】/58度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得，根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
5．如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
题型二 三角形内角和定理及其推论的应用
1．如图，直线，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：D．
2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与得出，然后根据角平分线的性质得出和的外角和，进而得出，即可得解．
【详解】
、是的外角角平分线
（）
故选：D．
3．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：，，平分，平分，
，
．
故选：C．
4．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
．
5．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
6．如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点．
(1)若，的面积为20，求的长．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先根据三角形的面积公式以及已知条件求得，再根据三角形中线的定义即可解答；
（2）根据三角形的高、三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，即；再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和的定理即可解答．
【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为20，
，
．
是边上的中点，
．
（2）解：是边上的高，，
．
，且，
，
平分，
．
．
题型三 平行线的性质与判定的应用
1．如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先对顶角定义得到，再由平行线的性质得到，然后由角平分线定义、对顶角相等得到，最后由直角三角形两锐角互余确定，再数形结合表示出求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
,
直线平分，
,
则，
，
,
,
故选：B．
【点睛】本题考查求角度，涉及平行线的性质、角平分线定义、直角三角形两锐角互余、对顶角相等等知识，数形结合，准确表示出所求角度是解决问题的关键．
2．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论：
①若，则；
②若，则
③若，则；
④若，则 ；
⑤ ．
其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③⑤
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据得到，可得，据此可判断①；先证明，进而得到，则，再证明，即可判断②；根据题意得到，则，可得，据此可判断③；由平行线的性质得到，则，据此可判断④；根据，，即可判断⑤．
【详解】解：∵，
∴，
当时，则，
∴此时有，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
若，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，故②正确；
若，则，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
若，则，
∵，
∴，
∴，故④错误；
∵，，
∴，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
3．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，求的度数．
【答案】/121度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键．
根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
4．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明；
（2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，射线平分，
∴，
∵，
∴．
5．如图，，平分与相交于F，．求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．根据平分得，根据，，推出，即可求证；
【详解】证明：∵平分
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
6．如图，，是中点，平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出．
【详解】证明：过M作于E，
∵平分，，，
∴，，
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．
，
∴，
，
，
，
．
即．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．
题型四 利用反证法证明一个命题的正确性
1．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查的是反证法，平行线的性质与判定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线外一点，有两条直线和与直线平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得到答案．
【详解】解：命题：“如果，那么”．
若假设b与c相交于点P，
，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行，
则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，
故选：C．
2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于
B．直角三角形有一个锐角大于
C．直角三角形的每个锐角都大于
D．直角三角形有一个锐角小于
【答案】A
【分析】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于．
故选：A．
3．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空：
证明：假设a，b，c都不是 ，
不全为0，
中至少有一个为正数，
0，这与已知相 ，
∴ ，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
【答案】 负数 矛盾 假设不成立
【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键．
首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解．
【详解】证明：假设a，b，c都不是负数，
不全为0，
中至少有一个为正数，
，这与已知相矛盾，
∴假设不成立，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
故答案为：负数，，矛盾，假设不成立．
4．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）
【答案】见解析
【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明．
【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数，
设（n为整数），则．
因为为偶数，
所以为奇数，与为偶数矛盾，
所以假设不成立，故m为偶数．
5．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设______，那么它们相交于一点．
因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以．
【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可．
【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点．
∵，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立．所以．
6．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交．
证明：假设与不相交，则______________________．
这与与直线不垂直相矛盾．
假设与不相交___________．
与___________．
【答案】，，不成立，必相交
【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可．
【详解】证明假设与不相交，则．
这与与直线不垂直相矛盾．
假设与不相交不成立．
与必相交．
1．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，再根据得，再根据角度和差即可求解．
【详解】解：由折叠性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °．
【答案】68
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
根据对顶角相等，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：68．
3．如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质．
由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律．
【详解】解：∵、分别平分和，
∴，，
而，，
∴，
∴，
同理可得，
即，
∴，
∴，即．
∴
故答案为：．
4．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”；
（2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数．
【答案】（1）；6；（2），理由见解析，（3），
【分析】此题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是关键．
（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论；
（3）根据（1）中的结论和角之间的关系得到方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）∵，
而，
∴
图2中以E为交点的“8字形”有1个，以F为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有4个，共6个；
故答案为：；6；
（2），
理由：∵分别平分和，
，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴；
（3）如图；
由（1）的“8字形”得：
，
∵，
∴，
∴，
∵是的，
∴，
解得，
即．
1．如图1，在中，，D是上一点，且；
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示）
(4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)3
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可
（2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证
（3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果；
（4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
；
（3）平分，
，
，
，
，
，
；
（4），，
，
，，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键．
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定
(1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形；
(2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形；
(3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）．
【答案】(1)是
(2)是
(3)或或
【分析】（1）根据，得到，结合定义判定是灵动三角形；
（2）根据，得到，结合结合定义判定是 灵动三角形；
（3）根据，得到，分类计算解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，互余性质，分类思想，正确理解新定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴是灵动三角形，
故答案为：是．
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∵
且，
∴是灵动三角形，
故答案为：是．
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
∵是灵动三角形，，
∴，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意，舍去，
当时，，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或．
2．综合与实践
【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．
归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系．
【独立思考】
（1）如图1，，，之间的数量关系是_______．
（2）如图2，，，之间的数量关系是_______．
【问题迁移】
（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________．
【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足．
（4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键．
（1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断；
（2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论；
（3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断；
（4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图3，
∵分别是的角平分线，
∴，
由（1）得，
由（2）得，
∴，
则，
故答案为：；
（4），理由：
如图4，过C作，则，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
3．如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
【猜想证明】
（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示）
【拓展提高】
（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不变化，理由见解析，结论
（4），理由见解析
【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到；
（4）延长交于点A，将问题转化为（3）即可．
【详解】解：（1）∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
（3）不变化，理由如下：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
即
（4），理由如下：
如图，延长交于点A，
则
∴，
由（3）可得，
∴．1.3 几何证明举例
（4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用 题型二 三角形内角和定理及其推论的应用 题型三 平行线的性质与判定的应用 题型四 利用反证法证明一个命题的正确性
题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用
1．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，为边上的高，，，则的度数为 ．
3．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，直线于点A，若，则的度数 ．
5．如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
题型二 三角形内角和定理及其推论的应用
1．如图，直线，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：．
5．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数．
6．如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点．
(1)若，的面积为20，求的长．
(2)若，求的度数．
题型三 平行线的性质与判定的应用
1．如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论：
①若，则；
②若，则
③若，则；
④若，则 ；
⑤ ．
其中正确的有 （填序号）．
3．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，求的度数．
4．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
5．如图，，平分与相交于F，．求证：．
6．如图，，是中点，平分，求证：．
题型四 利用反证法证明一个命题的正确性
1．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于
B．直角三角形有一个锐角大于
C．直角三角形的每个锐角都大于
D．直角三角形有一个锐角小于
3．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空：
证明：假设a，b，c都不是 ，
不全为0，
中至少有一个为正数，
0，这与已知相 ，
∴ ，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
4．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）
5．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设______，那么它们相交于一点．
因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以．
6．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交．
证明：假设与不相交，则______________________．
这与与直线不垂直相矛盾．
假设与不相交___________．
与___________．
1．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ．
2．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °．
3．如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度．
4．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”；
（2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数．
1．如图1，在中，，D是上一点，且；
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示）
(4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果）
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定
(1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形；
(2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形；
(3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）．
2．综合与实践
【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．
归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系．
【独立思考】
（1）如图1，，，之间的数量关系是_______．
（2）如图2，，，之间的数量关系是_______．
【问题迁移】
（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________．
【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足．
（4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由．
3．如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
【猜想证明】
（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示）
【拓展提高】
（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由．
