22.2 二次函数与一元二次方程 预习作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
22.2二次函数与一元二次方程预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．如图表，已知二次函数的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（　　）
x … 0 1 2 …
y … 1 3 1 …
A．抛物线开口向上 B．方程有两个相等实数根
C．当时， D．抛物线与y轴交于负半轴
3．若二次函数的图象与轴交于两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向上
C．当时，
D．关于的方程的一个解小于
4．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
5．直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ．
10．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是
11．已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ．
12．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ．
13．如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ．
14．如图，二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，顶点为C，对称轴与x轴交于点D．
（1）的长为 ．
（2）的长为 ．
15．二次函数的图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ．
（2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
三、解答题
16．已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)求该二次函数的与轴的交点坐标．
17．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出函数的顶点坐标；
(2)写出方程的两个根；
(3)写出不等式的解集．
18．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求、点坐标，
(3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围．
19．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)并根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求n的取值范围．
20．我们约定：若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“智慧函数”，这个点为“智慧点”，例如：的图象上存在点，则是“智慧函数”，点是“智慧点”．
(1)以下三个函数：①，②，③，属于“智慧函数”的是 （填序号）．
(2)一个“智慧函数”（b，c均为常数），顶点恰好是“智慧点”，图象与x轴的两个交点之间的距离是2，求该“智慧函数”的表达式．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值．
(2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围．
《22.2二次函数与一元二次方程预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D B C D D
1．C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围．
【详解】
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
∴当时，；当时，
∴当时，自变量的取值范围是或
故答案选C
2．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，充分利用二次函数图象的对称性得出是解题关键．
结合图表可以得出当或2时，，可以求出此函数的对称轴是直线，顶点坐标为，借助两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．
【详解】解：∵由图表可以得出当或2时，，
∴此函数的对称轴是直线，顶点坐标为，
∴二次函数解析式为：，
再将点代入得：，
解得：，
∴，
∵
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵顶点坐标为，
∴抛物线与x轴有两个交点
∴方程有两个不相等实数根，故B错误；
∵当时，，故C正确；
∵抛物线经过点
∴与y轴交点坐标为，与y轴交于正半轴，故D错误；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；将代入函数解析式求出对应的函数值即可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．熟知二次函数与方程和方程组的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，
∴选项A的说法正确，不符合题意，选项B的说法错误，符合题意；
当时，，
∴选项C的说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵直线与抛物线的交点在轴的下面，
∴关于的方程即有两个解，一个解小于，一个解大于，
∴选项D的说法正确，不符合题意．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据平移规则，确定新抛物线的解析式，再联立新抛物线与直线的解析式，根据根与系数的关系，判断出的符号，进而判断出直线经过的象限即可．
【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为，
令，整理，得：，
∵新抛物线与直线交于，两点，，
∴，
∴当，时，经过一，二，四象限；
当，时，经过一，三，四象限；
故一定经过第一、四象限；
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键．
选项A∶ 二次函数最小值为 1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立．
【详解】解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误；
选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：，
若，则，
将代入一次函数方程，
，故选项B正确；
选项C：条件即，
由一次函数方程，解得：，
当时，，即与符号相反：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项C错误；
选项D：条件即，
同理，由，得，即与符号相同：
若，则，
若，则，
因此，的取值范围不唯一，选项D错误；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故②正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
，
故③正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
，故不正确．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，先求出m的值，然后把m代入，并解方程即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，
∴，
∴，
∴化简为，
解得，，
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据直线与二次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可．
【详解】解：A．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（1）符合题意；
B．由题意令得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（2）符合题意；
C．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（3）符合题意；
D．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（4）符合题意；
故选：D
9．0或2
【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可．
本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键．
【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上，
∴，
解得，
故答案为：0或2．
10．
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式等知识点，将抛物线与x轴的问题转化成一元二次方程根的问题成为解题的关键．
将抛物线与x轴的交点将问题转化为方程有2个不等实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可．
【详解】
解：依题意，当时，方程有个不等实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
11．和2
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点，
∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线，
又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3，
∴方程的另一个根为，
∵关于x的方程有两个整数根，
∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间，
∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2，
故答案为：和2．
12．
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线为，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．
由二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，然后观察图象，即可求得答案．
【详解】解：由图象可知，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点与坐标原点，
当时，的图象在下方，因此；
由与轴交于点，可知当时，；
∴当时，．
故答案为：．
14． 4 4
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，解题的关键是求出各项系数，得出函数解析式．
（1）根据对称轴求出，利用点求出；
（2）根据对称轴求出b值，利用点A求出c值，再求出点C的纵坐标，可得结果．
【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：4．
（2）图象与x轴相交于，对称轴是直线，
，，
∴，
．
当时，，
顶点C的坐标为，
的长为4．
故答案为：4．
15． 或
【分析】本题主要考查，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围求解即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数与直线有两个不同的交点进行求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知不等式的解集为或，
故答案为：或；
（2）解：解：由函数图象可知方程有两个不相等的实数根，即为二次函数与直线有两个不同的交点，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)二次函数的与轴的交点坐标为，
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，确定抛物线的表达式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，得到关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）令，则，
解得或，
该二次函数的与轴的交点坐标为，．
17．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键．
（1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标；
（2）观察图形可以看出抛物线与轴交于(和，即可解题；
（3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可．
【详解】（1）解：由图象可得函数图象的最高点坐标为，
∴函数的顶点坐标为；
（2）解：图中可以看出抛物线与轴交于(和，
∴方程的两个根为，；
（3）解：通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方，
∴不等式的解集为．
18．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解；
（2）令，解方程即可求得、点坐标；
（3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，
∴设抛物线解析式为
代入，得
解得：
∴
（2）解：当时，
解得：
∴，
（3）解：∵，
根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为．
19．(1)
(2)图见解析，或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合．
（1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式；
（2）描点连线即可作出函数图象，根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的取值范围求解即可；
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象相交于点，
∴，；
∴，
∵一次函数的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：描点作图如下：
由图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：把代入得
∵，
由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或；
20．(1)②
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，二次函数的图象和性质，一元二次方程的根与系数关系．
（1）根据题意列出方程组，解方程组即可根据新定义进行解答即可；
（2）求出顶点为．由顶点恰好是“智慧点”得到．设图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，令．则．由图象与x轴的两个交点之间的距离是2得到．解得．．即可得答案．
【详解】（1）解：由题意，根据“智慧点”的定义，将分别与①②③的关系式建立方程组、、，
∴三个方程组的解分别为无解；、；无解．
∴属于“智慧函数”的是②．
故答案为：②．
（2）“智慧函数”为，
∴对称轴是直线．
∴顶点为．
∵顶点恰好是“智慧点”，
∴．
设图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，
∴令．
∴．
又∵图象与x轴的两个交点之间的距离是2，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴该“智慧函数”的表达式为．
21．(1)① ②
(2)
【分析】（1）①由，可得，即可得抛物线的顶点坐标为．
②平移后所得抛物线为，将代入，得，即，可得．设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，可得，，进而可得，求出a的值，从而可得答案．
（2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，将，代入，得，可得，进而可得，结合，从而可得n的取值范围．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为，
将代入，得，
∴，
∴．
设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
∴，．
∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴．
（2）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
将，代入，
得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴n的取值范围为．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)