22.3 实际问题与二次函数 预习作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
22.3实际问题与二次函数预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将一根长的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为．当水面离桥拱拱顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
3．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）
A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元
4．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过t（单位：s）时球距离地面的高度h（单位：m）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A． B． C． D．
5．某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A．90元 B．85元 C．80元 D．55元
6．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（ ）秒才能停下来？
A．10 B．15 C．20 D．30
7．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
8．已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．小宇在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为 ．
10．如图所示的是一个用长的铝合金条制成的矩形窗框．若要使窗户的透光面积最大，则AD的长为 m．
11．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩的收益是480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加1亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．该大户今年计划承租土地的最大收益是 元．
12．如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶．
13．如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ．
14．一汽车停车棚棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，如图所示，点在图象上．若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）
三、解答题
15．某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量）
(1)求与之间的函数关系式；
(2)根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？
(3)若总利润为元时，销售单价是多少？
16．商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨2元，则每周就会少卖出10件，但每件售价不能高于50元；设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．
(1)求x与y的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2400元？
17．跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米．
(1)请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？
18．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标；
(3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值．
19．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)由图象写出满足的自变量的取值范围；
(3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
《22.3实际问题与二次函数预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D B C C C A
1．A
【分析】设出矩形一边长，利用周长2米表示出矩形的宽，然后表示出面积公式，利用顶点式算出面积的最大值
【详解】设矩形的一边长为，面积为
矩形的另一边长为，
，
围成的矩形的最大面积为
【点睛】考察二次函数实际应用中面积最值的问题，化为顶点式是关键
2．D
【分析】本题考查二次函数实际应用，已知函数值求自变量值等．根据题意可得点得纵坐标为，将其代入中即可求出的长，继而得到本题答案．
【详解】解：∵水面离桥拱拱顶的高度为时，
∴点得纵坐标为，
∵函数表达式为，
∴将点得纵坐标为代入中得：，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．设每床每晚收费应提高个5元，旅店每天营业收入为元，然后根据题意可得函数解析式：，再根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】解：设每床每晚收费提高个5元，旅店每天营业收入为元，
根据题意得：
，
当时，最大，最大值为1280元，
该旅店每天营业收入最多为1280元，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查二次函数实际应用．当球回到地面时，高度，代入中，解方程即可得到时间．
【详解】解：∵球弹起后又回到地面时，
∴令，
整理得：，
解得：（舍）或，
∴球弹起后回到地面所花的时间为3秒，
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．根据题意，利润由销售量乘以每件利润得到建立利润关于售价的二次函数，利用顶点式求出最大值对应的售价．
【详解】解：设每月利润为元，则，
展开得：，
此为开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为：
，
因，符合条件，
故售价定为80元时利润最大，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴当时，有最大值，
即飞机着陆后滑行20秒才能停下来．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值．
观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D．
【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误；
当时，矩形ABCD的面积取最大值4，
，
，
故C选项正确，D选项错误．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可．
【详解】解：把点代入得：，
解得：，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示：
∴，，
∴，
∴的周长最小值为；
故选A．
9．
【分析】把抛物线的表达式转化为顶点式，利用顶点的函数值求最大高度
【详解】抛物线
∴它的顶点坐标为
∴他能跳过的最大高度为
10．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设，则，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【详解】解：设透光面积为，，则，
窗户的透光面积．
，
当时，y取得最大值，
当的长为时，窗户的透光面积最大．
故答案为：．
11．96800
【分析】设承租m亩土地，利用总收益=亩数×单亩收益的等量关系列出关系式，然后利用二次函数的顶点式求出最大值
【详解】设该大户今年计划承租m亩土地，收益是W元，
则，
该大户今年计划承租土地的最大收益是96800元．
【点睛】本题考查了二次函数实际应用的最值问题，列出正确的等量关系式是关键
12．
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案．
【详解】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为，
，
，
抛物线解析式为：，
当时，，
当时，，
桶高米，设可以摆放个桶
，
解得，
故至少要摆个桶，
故答案为：．
13． 40 1200
【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，读懂题意解不等式确定的长，再根据二次函数的性质计算出最大面积即可．
【详解】解：设，根据题意得，
，
解得：，
四边形的面积 ，
，
，
根据二次函数的图象的性质可知，二次函数图象 开口向下，抛物线的对称轴
当时，
∴时，S值最大，
∴．
故答案为：40，1200．
14．能
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：，
，在中，
当时，．
，
∴货车能完全停到车棚内．
故答案为：能．
15．(1)
(2)时，的值最大，最大值为
(3)总利润为元时，销售单价是或元
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）根据总利润每件利润销售量即可列出与之间的函数关系式；
（2）根据（1）的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解；
（3）令，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：由（1）可得
当时，取得最大值为：，
答：时，的值最大，最大值为
（3）解：依题意，
方程整理得：
解得：
答：总利润为元时，销售单价是或元．
16．(1)
(2)售价为46元时，每周利润为2400元
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系．
（1）根据销售利润每件的利润销售数量，构建函数关系即可；
（2）令，列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意得：
，
∵每件售价不能高于50元，
∴，
∴，
∴，
∴x与y的函数关系式为；
（2）由题意得：
解之得：或（不符合题意，舍去），
∴售价为元．
答：售价为46元时，每周利润为2400元．
17．(1)
(2)甩绳内部最多可容纳8名学生
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
（1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，用待定系数法可求得答案；
（2）求出时x的值，再用两者之间的差除以0.4，取整得出答案．
【详解】（1）解：以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
设抛物线的函数表达式为，
由题意可知和在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令得：
，
解得，
∵，
∴甩绳内部最多可容纳8名学生．
18．(1)
(2)或或或
(3)点时，的值最大为，
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标．
（3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：；
（2）解：设，
设的解析式为：，
则，
解得：，
则 的解析式为：，
当时，则，
解得：，
侧，
∴
∵
∴，
解得：或或或（舍去），
此时点，或，
当时，则直线为，平行于x轴
此时，
，满足题意，
综上：则或或或．
（3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图，
则，
∴，
当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，
设直线的直线方程为，
则，解得，
∴直线的直线方程为，
当时，，
那么，点时，的值最大，．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性．
19．(1)，
(2)或
(3)或，
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标；
（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标．
【详解】（1）解：将点坐标代入，得，
解得，
二次函数的解析式为，
点坐标为；
（2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或，
或时，；
（3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接，
由垂直平分线性质得，，，
，，
，，
设，，
在中，，
，解得，
，
设，
，，
，解得，
，
综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)