第二章 有理数及其运算（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学北师大版（2024）

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预习衔接.夯实基础 有理数及其运算
一．选择题（共5小题）
1．（2024 盐城）2024的相反数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（2024春 沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
3．（2024 黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011
4．（2024秋 南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024春 宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是（　　）
A．23和32 B．（﹣2）3和﹣23
C．（﹣3）2和﹣32 D．|﹣2|3和（﹣2）3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，则　 　．
7．（2024春 金山区校级期末）比较大小： 　 　﹣（﹣1.2）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
8．（2024秋 南昌期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 　 　．
9．（2024秋 子洲县期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入的数为﹣5，则计算结果为 　 　．
10．（2024秋 淮阴区校级期中）负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作　 　℃．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 天河区校级期中）将，0，﹣（+3），|﹣2|，0.5在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．
12．（2024秋 长寿区期中）计算：
（1）﹣5+（﹣17）+（+15）﹣（﹣7）；
（2）；
（3）﹣5+（﹣3）×（﹣2）+（﹣12）÷6；
（4）．
13．（2024秋 福田区期中）高速公路养护小组，乘车从A地沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16
（1）养护小组最后到达的地方在出发点A地的哪个方向？距出发点多远？
（2）若汽车耗油量为2升/千米，则这次养护共耗油多少升？
14．（2024秋 武鸣区期中）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，求6（a+b）+m﹣3xy的值．
15．（2024秋 莱西市期中）定义☆运算，观察下列运算：
①（+5）☆（+14）＝+19，②（﹣13）☆（﹣7）＝+20，③（﹣2）☆（+15）＝﹣17，④（+8）☆（﹣17）＝﹣25，⑤0☆（﹣19）＝+19，⑥（+13）☆0＝﹣13．
【类比归纳】
类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号 　 　，异号 　 　，并把绝对值 　 　；
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的 　 　．
【应用法则】
计算：
（1）（﹣2）☆（+3）＝ 　 　；
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]＝ 　 　．
预习衔接.夯实基础 有理数及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 盐城）2024的相反数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【考点】相反数．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2024春 沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵，
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
3．（2024 黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000000＝4×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．（2024秋 南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】有理数的乘方；正数和负数；相反数；绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】先判断各数的符号，再辨别、求解．
【解答】解：∵﹣10，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021是负数，
∴其中是负数的有5个，
故选：D．
【点评】此题考查了正负数概念的应用能力，关键是能准确理解和运用以上知识．
5．（2024春 宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是（　　）
A．23和32 B．（﹣2）3和﹣23
C．（﹣3）2和﹣32 D．|﹣2|3和（﹣2）3
【考点】有理数的乘方；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据乘方的意义对各个选项的式子进行计算，然后根据计算结果进行判断即可．
【解答】解：A．∵23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴（﹣2）3＝﹣23，故此选项符合题意；
C．∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2≠﹣32，故此选项不符合题意；
D．∵|﹣2|3＝23＝8，（﹣2）3＝﹣8，∴|﹣2|3≠（﹣2）3，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，则　5　．
【考点】有理数的混合运算；相反数；倒数．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】利用倒数，相反数的定义求出ab＝1，c+d＝0的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a和b互为倒数，c和d互为相反数，
∴ab＝1，c+d＝0，
∴5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了倒数，相反数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
7．（2024春 金山区校级期末）比较大小： 　＜　﹣（﹣1.2）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵，﹣（﹣1.2）＝1.2，
∴（﹣1.2）．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
8．（2024秋 南昌期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 　﹣1或﹣7或5　．
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目要求，M点为一个动点，所以需要分情况讨论MA＝MB，MA＝AB，MB＝AB，将这三种情况结合数轴分别得出x的值．
【解答】解：①当MA＝MB时，；
②当MA＝AB时，﹣3﹣m＝1﹣（﹣3）得m＝﹣7；
③当MB＝AB时，m﹣1＝1﹣（﹣3）得m＝5．
综上所述，m的值可以是﹣1或﹣7或5．
故答案为：﹣1或﹣7或5．
【点评】本题主要考查的是绝对值的几何意义以及方程的应用，掌握绝对值的几何意义和方程是解题的关键．
9．（2024秋 子洲县期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入的数为﹣5，则计算结果为 　﹣12　．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣12．
【分析】根据题目所给运算程序进行计算即可．
【解答】解：根据题意，得
．
故答案为：﹣12
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
10．（2024秋 淮阴区校级期中）负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作　﹣10　℃．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】﹣10．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作﹣10℃．
故答案为：﹣10．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 天河区校级期中）将，0，﹣（+3），|﹣2|，0.5在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．
【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．
【专题】实数；几何直观．
【答案】数轴见解析，．
【分析】根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，再根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大来求解．
【解答】解：﹣（+3）＝﹣3，|﹣2|＝2，
如下图：
∴．
【点评】本题考查了有理数大小的比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大来求解．
12．（2024秋 长寿区期中）计算：
（1）﹣5+（﹣17）+（+15）﹣（﹣7）；
（2）；
（3）﹣5+（﹣3）×（﹣2）+（﹣12）÷6；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）；
（3）﹣1；
（4）．
【分析】（1）先去括号，然后从左向右依次计算即可；
（2）先去括号，将整数和分数分开计算即可；
（3）先算乘除，后算减法即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）﹣5+（﹣17）+（+15）﹣（﹣7）
＝﹣5﹣17+15+7
＝﹣22+15+17
＝﹣17+17
＝0；
（2）
；
（3）﹣5+（﹣3）×（﹣2）+（﹣12）÷6
＝﹣5+6+（﹣2）
＝1+（﹣2）
＝﹣1；
（4）
＝（﹣81+36）÷（﹣2）
＝（﹣45）÷（﹣2）
．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
13．（2024秋 福田区期中）高速公路养护小组，乘车从A地沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16
（1）养护小组最后到达的地方在出发点A地的哪个方向？距出发点多远？
（2）若汽车耗油量为2升/千米，则这次养护共耗油多少升？
【考点】正数和负数；有理数的混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】（1）在出发点A地的东边，距出发点15千米；
（2）194升．
【分析】（1）根据正负数的意义列式计算即可求解；
（2）根据绝对值的意义求出总路程，再乘以每千米耗油量即可求解．
【解答】解：（1）+17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16＝15（千米），
答：养护小组最后到达的地方在出发点A地的东边，距出发点15千米；
（2）（|+17|+|﹣9|+|+7|+|﹣15|+|﹣3|+|+11|+|﹣6|+|﹣8|+|+5|+|+16|）×2＝194（升），
答：这次养护共耗油194升．
【点评】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键．
14．（2024秋 武鸣区期中）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，求6（a+b）+m﹣3xy的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣2或﹣4．
【分析】根据相反数，倒数的意义可得a+b＝0，xy＝1，m＝±1，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，
∴a+b＝0，xy＝1，m＝±1，
当m＝1时，原式＝6×0+1﹣3×1＝1﹣3＝﹣2；
当m＝﹣1时，原式＝6×0﹣1﹣3×1＝﹣1﹣3＝﹣4．
综上所述，代数式的值为﹣2或﹣4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，涉及到代数式求值、相反数、倒数的定义，熟练掌握相反数、倒数的意义是解题的关键．
15．（2024秋 莱西市期中）定义☆运算，观察下列运算：
①（+5）☆（+14）＝+19，②（﹣13）☆（﹣7）＝+20，③（﹣2）☆（+15）＝﹣17，④（+8）☆（﹣17）＝﹣25，⑤0☆（﹣19）＝+19，⑥（+13）☆0＝﹣13．
【类比归纳】
类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号 　得正　，异号 　得负　，并把绝对值 　相加　；
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的 　相反数　．
【应用法则】
计算：
（1）（﹣2）☆（+3）＝ 　﹣5　；
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]＝ 　23　．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】【类比归纳】得正，得负，相加，相反数；
【应用法则】（1）﹣5；（2）33．
【分析】【类比归纳】根据题目中的算式，可以总结出相应的运算法则；
【应用法则】（1）根据总结的运算法则，异号得负，并把绝对值相加计算即可；
（2）根据总结的运算法则计算即可．
【解答】解：【类比归纳】
类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的相反数，
故答案为：得正，得负，相加，相反数；
【应用法则】（1）（﹣2）☆（+3）
＝﹣（2+3）
＝﹣5；
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]
＝ （+17）☆16
＝17+6
＝23．
故答案为：（1）﹣5；（2）23．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，总结出相应的运算法则．
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