第一章 勾股定理（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学北师大版（2024）

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预习衔接.夯实基础 勾股定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 鄞州区期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝7：25：24 B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．（2024秋 惠城区期中）制作一直角三角板，下列长度可以采用的是（　　）
A．4cm，5cm，6cm B．3cm，4cm，5cm
C．8cm，9cm，10cm D．1cm，2cm，3cm
3．（2024秋 江阴市期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　）
A．56 B．60 C．65 D．75
4．（2024秋 荥阳市期中）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为16cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为（　　）cm（不计壁厚）．
A．4 B．2 C．10 D．20
5．（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　）
A．100 B．80 C．48 D．24
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 江阴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，BC＝15，则AB的长为 　 　．
7．（2024秋 宝安区期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　 　．
8．（2024秋 萍乡期末）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为　 　cm（不计壁厚）．
9．（2024秋 杭州期中）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝ 　 　．
10．（2024秋 碑林区校级期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm，在AE中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 宝安区期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离；
（2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭．
12．（2024秋 江阴市期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
13．（2024秋 闽侯县期中）在数学实验课上，老师拿出一块如图所示的残缺圆形工件，让同学们运用已学知识，借助一些实验器材测出此残缺圆形工件的半径，小明的做法是：在工件圆弧上取A，B两点，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点C，交AB于点D，测出AB＝20cm，CD＝5cm，请你根据小明的做法，求出圆形工件的半径．
14．（2024春 宣化区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
15．（2024秋 浑南区期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
预习衔接.夯实基础 勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 鄞州区期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝7：25：24 B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：A、设a＝7x，b＝25x，c＝24x，则a2+c2＝（7x）2+（24x）2＝625x2＝（25x）2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，则b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠C+∠B，
∴∠A+∠C+∠B＝2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项不符合题意；
D、设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
2．（2024秋 惠城区期中）制作一直角三角板，下列长度可以采用的是（　　）
A．4cm，5cm，6cm B．3cm，4cm，5cm
C．8cm，9cm，10cm D．1cm，2cm，3cm
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】在三角形中，若两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此求解即可．
【解答】解：A、∵42+52≠62，
∴4cm，5cm，6cm这三个长度不符合直角三角形三边关系，不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴3cm，4cm，5cm这三个长度符合直角三角形三边关系，符合题意；
C、∵82+92≠102，
∴8cm，9cm，10cm这三个长度不符合直角三角形三边关系，不符合题意；
D、∵12+22≠32，
∴1cm，2cm，3cm这三个长度不符合直角三角形三边关系，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是关键．
3．（2024秋 江阴市期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　）
A．56 B．60 C．65 D．75
【考点】勾股定理的证明．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】如解答图，易得BD＝5，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
由题意可知，AB＝CD＝4，BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，
则中间小正方形的面积为5×5＝25，
小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝440，
∴阴影部分的面积为25+40＝65．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．
4．（2024秋 荥阳市期中）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为16cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为（　　）cm（不计壁厚）．
A．4 B．2 C．10 D．20
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：∵高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝8cm，BD＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B4（cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为4cm．
故选：A．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
5．（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　）
A．100 B．80 C．48 D．24
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2＝82+62＝100，
∴正方形的面积＝AB2＝100，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 江阴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，BC＝15，则AB的长为 　20　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】20．
【分析】由勾股定理求出AC2，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图，连接AC，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD2＝72+242，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
7．（2024秋 宝安区期中）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　2.6米　．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】2.6米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得DE＝AC＝2.4，AE＝CD＝0.3，DE＝1，再根据勾股定理求解即可
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米，
∴BE＝AB﹣AE＝1米，
∴BD2.6（米）．
所以此时牵狗绳BD的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．
8．（2024秋 萍乡期末）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为　13　cm（不计壁厚）．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B13（Cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13Cm．
故答案为：13．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
9．（2024秋 杭州期中）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，则BC＝ 　3或　．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】3或．
【分析】分两种情况，①当AB为斜边时，②当AB为直角边时，分别由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：分两种情况：
①当AB为斜边时，由勾股定理得：BC3；
②当AB为直角边时，由勾股定理得：BC；
综上所述，BC的长为3或，
故答案为：3或．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和分类讨论是解题的关键．
10．（2024秋 碑林区校级期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、6cm，在AE中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 　cm　．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；几何直观；运算能力．
【答案】cm．
【分析】分三种情况将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：分三种情况展开：
①如图1，展开前面和右侧面，连接GM，
在Rt△GEM中，GE＝GF+EF＝5+4＝9（cm），EMAE＝3（cm），
由勾股定理，得GM（cm）；
②如图2，展开下面和后面，连接GM，
在Rt△GFM中，GF＝5cm，FM＝FE+EM＝4+3＝7（cm），
由勾股定理，得GM（cm），
③如图3，展开下面和右侧面，连接GM，
在Rt△GFM中，GH＝4cm，HM＝HE+EM＝5+3＝8（cm），
由勾股定理，得GM（cm），
∵，
∴从G处爬到M处的最短路程是cm，
故答案为：cm．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是分情况画出图形，并知道应求出哪一条线段的长．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 宝安区期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离；
（2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭．
【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；
（2）着火点C能被扑灭，理由见解析．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出CD的长，与500比较即可得出结论；
（2）当EC＝FC＝500m时求出ED的长，进而得出EF的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，
∴AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABCAC BCAB CD，
∴CD480（m），
因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480＜500，
所以着火点C受洒水影响；
（2）如图，当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
∴ED＝DE，
在Rt△CDE中，ED140（m），
所以EF＝2ED＝280m．
因为飞机的速度为14m/s，
所以280÷14＝20（s），
20秒＞15秒，
答：着火点C能被扑灭．
【点评】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键．
12．（2024秋 江阴市期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）CH是从村庄C到河边的最近路，理由见解析；
（2）原来的路线AC的长为千米．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°，则CH⊥AB，然后由垂线段最短即可得出结论；
（2）设AC＝x千米，则AB＝x千米，AH＝AB﹣HB＝（x﹣3）千米，然后在Rt△ACH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）CH是为从村庄C到河边的最近路，理由如下：
∵42+32＝52，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，则AB＝x千米，
∴AH＝AB﹣HB＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
13．（2024秋 闽侯县期中）在数学实验课上，老师拿出一块如图所示的残缺圆形工件，让同学们运用已学知识，借助一些实验器材测出此残缺圆形工件的半径，小明的做法是：在工件圆弧上取A，B两点，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点C，交AB于点D，测出AB＝20cm，CD＝5cm，请你根据小明的做法，求出圆形工件的半径．
【考点】勾股定理的应用；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】cm．
【分析】连接OA，设圆的半径为r cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：连接OA，设圆的半径为r cm，
则：OA＝OC＝r cm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣5）cm，ADAB20＝10（cm），
在Rt△AOD中，AO2＝AD2+DO2，
∴r2＝102+（r﹣5）2，
∴rcm；
∴圆形工件的半径为cm．
【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理和勾股定理构造方程是解题关键．
14．（2024春 宣化区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）13．
【分析】（1）由勾股定理得出AC、CD、AD的长，再由勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：，，．
∵．
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形．
（2）．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
15．（2024秋 浑南区期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】几何图形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝10cm，根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x，
即ADcm；
（2）AB＝AC12（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出∠BDC＝90°是解此题的关键．
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