5.3二元一次方程组的应用（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学北师大版（2024）

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预习衔接.夯实基础 二元一次方程组的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 沙坪坝区校级期中）现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据题意列关于x，y的方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2024春 龙湾区校级期中）端午节快到了，商店准备推出粽子礼盒，若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒，若2个粽子装一盒还多6个粽子．设有x个礼盒，y个粽子，x，y所满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024春 东台市期末）从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024春 聊城期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024春 海曙区期末）在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐．设有嘉宾x名，共准备了y张桌子．根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 松北区期末）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则可列方程组为　 　．
7．（2024 谷城县一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为　 　．
8．（2024春 聊城期中）根据《山东省沿黄生态廊道保护建设规划（2023﹣2030年）》要求，某市将打造集生态屏障、文化弘扬、休闲观光、生态农业于一体的复合型沿黄生态廊道，贯通近岸绿带．一块面积为180亩的荒地，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为：　 　．
9．（2024春 平罗县期末）某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里/小时，则他从出发到返回原地的平均速度是　 　里/小时．
10．（2024春 商南县期末）某次手工制作课上，要用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程组是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 深圳校级期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：
乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为 　 　．（填“甲”或“乙”）
设x为 　 　．
y为 　 　．
12．（2024春 聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？
13．（2024春 和平区校级期末）列方程组解答下列问题：有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可载乘客57名．3艘大船与6艘小船一次可载乘客多少名？
解：设1艘大船可以载乘客x名，1艘小船可以载乘客y名．
（1）根据题意，列出方程组；
（2）解这个方程组，得 　 　；
（3）答：3艘大船与6艘小船一次可载乘客 　 　名．（要求：用数字作答）
14．（2024秋 耒阳市校级期末）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解．
15．（2023春 康保县期末）如图，已知边长分别为a、b（a＞b）的两个正方形，其面积之差为32．
（1）根据题意，请你列出一个关于a、b的方程组 　 　；
（2）请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组；
（3）分别求两个正方形的面积．
预习衔接.夯实基础 二元一次方程组的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 沙坪坝区校级期中）现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据题意列关于x，y的方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“共用时20天和A施工长度+B施工长度＝360”可得答案．
【解答】解：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
根据题意列关于x，y的方程组为，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到相等关系．
2．（2024春 龙湾区校级期中）端午节快到了，商店准备推出粽子礼盒，若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒，若2个粽子装一盒还多6个粽子．设有x个礼盒，y个粽子，x，y所满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒，若2个粽子装一盒还多6个粽子”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒，
∴3（x﹣2）＝y；
∵若2个粽子装一盒还多6个粽子，
∴2x+6＝y．
∴x，y所满足的关系式为．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2024春 东台市期末）从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设坡路长为x km/h，平路长为y km/h，根据“上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min”即可列出方程组．
【解答】解：设坡路长为x km/h，平路长为y km/h，
根据题意得．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握时间＝路程÷速度是解决问题的关键．
4．（2024春 聊城期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据图1所示为，可以用相应的二元一次方程组表示出图2，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
图2所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
5．（2024春 海曙区期末）在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐．设有嘉宾x名，共准备了y张桌子．根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【答案】A
【分析】设有嘉宾x名，共准备了y张桌子．根据“若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设有嘉宾x名，共准备了y张桌子，
依题意，得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 松北区期末）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则可列方程组为　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”，列出关于x和y的一个二元一次方程，根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%”，列出关于x和y的一个二元一次方程，即可得到答案．
【解答】解：设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，
∵甲、乙两种商品原来的单价和为100元，
∴x+y＝100，
甲商品降价10%后的单价为：（1﹣10%）x，
乙商品提价40%后的单价为：（1+40%）y，
∵调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，
调价后，两种商品的单价为：100×（1+20%），
则（1﹣10%）x+（1+40%）y＝100×（1+20%），
即方程组为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2024 谷城县一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【解答】解：依题意得：，
故答案为：．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
8．（2024春 聊城期中）根据《山东省沿黄生态廊道保护建设规划（2023﹣2030年）》要求，某市将打造集生态屏障、文化弘扬、休闲观光、生态农业于一体的复合型沿黄生态廊道，贯通近岸绿带．一块面积为180亩的荒地，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为：　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】．
【分析】设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，根据一块面积为180亩的荒地，两队共用20天完成．列出二元一次方程组即可．
【解答】解：设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，
由题意得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2024春 平罗县期末）某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里/小时，则他从出发到返回原地的平均速度是　4　里/小时．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【专题】行程问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于平均速度＝总路程÷总时间，而总时间为5小时，所以求出此人行驶的总路程即可．为此，设平路有x里，山路有y里，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+平路用时＝5小时，即可求出x+y的值，再乘以2即为总路程．
【解答】解：设平路有x里，山路有y里．
根据题意得：，
即，
∴x+y＝10（里）．
∴此人共走的路程＝2×10＝20（里），
∴平均速度＝20÷5＝4（里/小时）．
故答案为4．
【点评】本题考查了二元一次方程在行程问题中的应用．基本关系式为：路程＝速度×时间．本题把5小时路程划分为平路和山路是解决本题的突破点，关键在于理解去时的上山路程即为回时的下山路程．
10．（2024春 商南县期末）某次手工制作课上，要用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程组是 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据95张纸板制作一批盒子，可以得到x+y＝95，再根据每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，可以得到2×4x＝11y，然后即可列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 深圳校级期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：
乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为 　甲　．（填“甲”或“乙”）
设x为 　A工程队工作的天数　．
y为 　B工程队工作的天数　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】甲，A工程队工作的天数，B工程队工作的天数．
【分析】根据题意可得甲：x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数；乙：x表示A工程队整治的河道长度，y表示B工程队整治的河道长度．
【解答】解：若选择的方程组为甲，
则x为A工程队工作的天数，y为B工程队工作的天数；
若选择的方程组为乙，
则x为A工程队整治的河道长度，y为B工程队整治的河道长度．
故答案为：甲，A工程队工作的天数，B工程队工作的天数；（或乙，A工程队整治的河道长度，B工程队整治的河道长度）．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
12．（2024春 聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返的用时不同可得到两个关于x、y的方程，求方程组的解即可，然后求x、y的和即得从出发点到香山的路程．
【解答】解：设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意得：
，
解得：．
则x+y＝6+3＝9（千米）．
答：从出发点到香山的路程是9千米．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
13．（2024春 和平区校级期末）列方程组解答下列问题：有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可载乘客57名．3艘大船与6艘小船一次可载乘客多少名？
解：设1艘大船可以载乘客x名，1艘小船可以载乘客y名．
（1）根据题意，列出方程组；
（2）解这个方程组，得 　　；
（3）答：3艘大船与6艘小船一次可载乘客 　96　名．（要求：用数字作答）
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）96．
【分析】（1）根据1艘大船与4艘小船一次可载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可载乘客57名，可以列出相应的方程组；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）根据（2）中的结果，可以得到3艘大船与6艘小船一次可载乘客多少名．
【解答】解：（1）由题意可得，
；
（2），
①×2﹣②，得：5y＝35，
解得y＝7，
将y＝7代入①得x＝18，
∴方程组的解为：，
故答案为：；
（3）由（2）可知，
3艘大船与6艘小船一次可载乘客：3x+6y＝3×18+6×7＝96，
即3艘大船与6艘小船一次可载乘客96名，
故答案为：96．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列方程组，掌握解方程组的方法．
14．（2024秋 耒阳市校级期末）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；余角和补角．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图示可得∠1和∠2互余，进而可得x+y＝90，再根据∠1的度数比∠2的度数大50°可得x﹣y＝50，然后利用加减消元法计算即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
15．（2023春 康保县期末）如图，已知边长分别为a、b（a＞b）的两个正方形，其面积之差为32．
（1）根据题意，请你列出一个关于a、b的方程组 　　；
（2）请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组；
（3）分别求两个正方形的面积．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；列代数式．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）；（2）；（3）81，49．
【分析】（1）根据两边之和等于16，面积之差等于32，列出方程组即可；
（2）根据平方差公式，将a2﹣b2分解因式得（a+b）（a﹣b），再将a+b＝16，代入即可；
（3）根据（2）直接求出a，b即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知：
，
故答案为：．
（2）∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝32，
又∵a+b＝16，
∴a﹣b＝2，
转化为一个二元一次方程组为：．
（3），
解得：，
故面积为：9×9＝81，7×7＝49．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是掌握因式分解，理解题意．
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