5.4二元一次方程与一次函数（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学北师大版（2024）

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预习衔接.夯实基础 二元一次方程与一次函数
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），则关于x、y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 历下区期中）在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 昆都仑区校级期中）若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b＝（　　）
A． B．2 C．﹣1 D．1
4．（2024秋 滕州市校级期中）下列关于一次函数y＝﹣2x+b的判断，正确的是（　　）
A．当b＜0时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点A（x1，y1），点B（x2，y2）在该函数的图象上，若x1＞x2＞0，则y1＜0＜y2
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则b＝﹣2
D．若关于x的方程2x﹣b＝0的解是x＝m，则y＝﹣2x+b的图象恒过点（m，0）
5．（2024秋 宽甸县期末）已知一次函数y1＝k1x+b1和一次函数y2＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y1 … ﹣1 0 1 2 3 …
y2 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 …
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 历下区期中）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　．
7．（2024秋 锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+1与直线y＝﹣3x+m相交于点P，若点P的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　．
8．（2024秋 麻栗坡县期末）已知方程组的解是，则直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点坐标为　 　．
9．（2024 宝山区校级二模）已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点为（﹣1，a），则这个方程组的解为 　 　．
10．（2024春 开州区期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 广安区校级期中）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　 　的解；
（2）不等式kx+b＜0的解集是 　 　；
（3）当x 　 　时，kx+b≥mx﹣n；
（4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．
12．（2024春 齐齐哈尔期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
13．（2024春 惠民县期末）【教材回顾】
在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象；
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
【解决问题】
（1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）．
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　．
【拓展延伸】
已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值．
14．（2024春 栖霞市期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求l2的解析式；
（2）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
15．（2024春 开封期末）小明在学了二元一次方程后，写出几组满足二元一次方程2x+y＝1的解．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y .. 5 3 1 ﹣1 ﹣3 …
小明把一个解用一个点表示出来，例如，用点（﹣2，5）表示，然后在平面直角坐标系中过这些点中的任意两点作直线，他发现这些点在一条直线上．若以方程2x+y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程2x+y＝1的图象，如图，方程2x+y＝1的图象是一条直线．
问题：
（1）若点A的坐标为，那么点A 　 　（填“在”或“不在”）方程2x+y＝1的图象上．
（2）表格是方程x﹣y＝﹣1的两组解，请先补全表格，然后模仿小明的方法，并在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象．
x … ﹣1 …
y … 1 …
（3）请直接写出二元一次方程组．
预习衔接.夯实基础 二元一次方程与一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），则关于x、y的方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】将点A的横坐标代入y＝x+4求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+4过点A（a，3）
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1
∴A（﹣1，3），
∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A，
∴关于x、y的方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．解题的关键是了解二元一次方程组的解与两个二元一次方程整理成的一次函数图象的交点坐标的关系．
2．（2024秋 历下区期中）在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
【解答】解：∵2x﹣y＝2，
∴y＝2x﹣2，
∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝1，
∴一次函数y＝2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0），
即可得出选项A符合要求，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数的性质，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．
3．（2024秋 昆都仑区校级期中）若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b＝（　　）
A． B．2 C．﹣1 D．1
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】将二元一次方程变形与直线解析式对比，即可求解．
【解答】解：∵x+2y﹣b＝0，
∴；
∵以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，
∴，
∴b＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程问题，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2024秋 滕州市校级期中）下列关于一次函数y＝﹣2x+b的判断，正确的是（　　）
A．当b＜0时，该函数图象经过一、三、四象限
B．点A（x1，y1），点B（x2，y2）在该函数的图象上，若x1＞x2＞0，则y1＜0＜y2
C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则b＝﹣2
D．若关于x的方程2x﹣b＝0的解是x＝m，则y＝﹣2x+b的图象恒过点（m，0）
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；推理能力．
【答案】D
【分析】利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可．
【解答】解：∵﹣2＜0，当b＜0时，
∴该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误；
∵﹣2＜0，则y随x的增大而减小，
∴当x1＞x2＞0时，y1＜y2＜b，但是y1、y2的值与0的大小不能比较，故选项B错误；
∵函数y＝﹣2x+b的图象向右平移2个单位得y＝﹣2（x﹣2）+b＝﹣2x+b+4，
∴b+4＝0，解得b＝﹣4，故选项C错误；
∵关于x的方程2x﹣b＝0的解是x＝m，则y＝﹣2x+b的图象恒过点（m，0），故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，掌握一次函数的性质和数形结合思想是解题的关键．
5．（2024秋 宽甸县期末）已知一次函数y1＝k1x+b1和一次函数y2＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y1 … ﹣1 0 1 2 3 …
y2 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 …
A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．
【答案】C
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【解答】解：由表格可知，一次函数y1＝k1x+b1和一次函数y2＝k2x+b2的图象都经过点（2，3），
∴一次函数y1＝k1x与y＝k2x+b的图象的交点坐标为（2，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 历下区期中）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：把x＝1，y＝a代入2x﹣y+1＝0得2﹣a+1＝0，
∴a＝3，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
7．（2024秋 锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+1与直线y＝﹣3x+m相交于点P，若点P的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据直线y＝2x+1与直线y＝﹣3x+m相交于点P，点P的横坐标为1可求出点P的坐标为（1，3），然后再根据一次函数与二元一次方程组之间的关系可得出答案．
【解答】解：∵直线y＝2x+1与直线y＝﹣3x+m相交于点P，若点P的横坐标为1，
∴对于直线y＝2x+1，当x＝1时，y＝3，
∴点P的坐标为（1，3），
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：.．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数之间的关系，理解二元一次方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标是解答此题的关键．
8．（2024秋 麻栗坡县期末）已知方程组的解是，则直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点坐标为　（﹣5，﹣8）　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点坐标为（﹣5，﹣8）．
故答案为（﹣5，﹣8）．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
9．（2024 宝山区校级二模）已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点为（﹣1，a），则这个方程组的解为 　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：把（﹣1，a）代入y＝3x得a＝﹣3，
所以方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10．（2024春 开州区期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是 　　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．
【答案】．
【分析】根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【解答】解：∵一次函数yx与y＝kx+b（k≠0）的图象交于点P（﹣2，n），
∴y3，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 广安区校级期中）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　　的解；
（2）不等式kx+b＜0的解集是 　x＞3　；
（3）当x 　x≤1　时，kx+b≥mx﹣n；
（4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）x＞3；（3）x≤1；（4），1．
【分析】（1）根据函数图象即可求解；
（2）根据函数图象即可求解；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）利用待定系数法求出直线l1、l2的解析式，求出点N、M的坐标，再根据计算即可求解．
【解答】解：（1）由图象可得，交点P的坐标（1，1）是一元二次方程组的解，
故答案为：；
（2）由图象可得，不等式kx+b＜0的解集是x＞3，
故答案为：x＞3；
（3）由图象可得，当x≤1时，kx+b≥mx﹣n，
故答案为：x≤1；
（4）把P（1，1），B（3，0）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线l2的解析式为，
∴，
∴，
同理可得直线l1的解析式为y＝2x﹣1，
当y＝0时，0＝2x﹣1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OMPN的面积．
【点评】本题考查了一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
12．（2024春 齐齐哈尔期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接把P（1，b）代入y＝x+1可求出b的值；
（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；
（2）由（1）得P（1，2），
所以方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下：
因为y＝mx+n经过点P（1，2），
所以m+n＝2，
所以直线y＝nx+m也经过P点．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征对（3）进行判断．
13．（2024春 惠民县期末）【教材回顾】
在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象；
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
【解决问题】
（1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）．
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　（1，2）　，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　　．
【拓展延伸】
已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）图见解析；
（2）（1，2），；
（3）．
【分析】（1）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程2x+y＝4和x﹣y＝﹣1的左右两边相等，然后过两点画直线即可；
（2）观察图象，找出（2）中所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案；
（3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7，解方程组可得．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）观察图象，两条直线的交点坐标为（1，2），由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：（1，2），；
（3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7得：
，
解得：．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象．
14．（2024春 栖霞市期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求l2的解析式；
（2）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．
【答案】（1）yx；
（2）．
【分析】（1）利用待定系数法求直线l2的解析式；
（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：（1）∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m，
∴C（，3）；
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴yx；
（2）由图可知，关于x，y的二元一次方程组的解为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）及待定系数法，掌握待定系数法和函数与方程组的关系是解题的关键．
15．（2024春 开封期末）小明在学了二元一次方程后，写出几组满足二元一次方程2x+y＝1的解．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y .. 5 3 1 ﹣1 ﹣3 …
小明把一个解用一个点表示出来，例如，用点（﹣2，5）表示，然后在平面直角坐标系中过这些点中的任意两点作直线，他发现这些点在一条直线上．若以方程2x+y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程2x+y＝1的图象，如图，方程2x+y＝1的图象是一条直线．
问题：
（1）若点A的坐标为，那么点A 　在　（填“在”或“不在”）方程2x+y＝1的图象上．
（2）表格是方程x﹣y＝﹣1的两组解，请先补全表格，然后模仿小明的方法，并在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程x﹣y＝﹣1的图象．
x … ﹣1 …
y … 1 …
（3）请直接写出二元一次方程组．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）在；
（2）0，0；
（3）．
【分析】（1）由于x，y＝0满足方程2x+y＝1，从而可判断点（，0）在方程2x+y＝1的图象上；
（2）分别计算x＝﹣1对应的y的值和y＝1所对应的x的值，然后利用描点法画图象；
（3）找出方程2x+y＝1的图象与方程x﹣y＝﹣1的图象的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵当x，y＝0时，2x+y＝20＝1，
∴点A在方程2x+y＝1的图象上；、
故答案为：在；
（2）当x＝﹣1时，﹣1﹣y＝﹣1，
解得y＝0；
当y＝1时，x﹣1＝﹣1，
解得x＝0，
如图，
（3）二元一次方程组的解为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：二元一次方程可看作一次函数，两一次函数图象的交点坐标为两解析式所组成的方程组的解．
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