5.5三元一次方程组（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学北师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 5.5三元一次方程组（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学北师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 81.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-17 20:58:44 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 三元一次方程组
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东兴区校级期中）已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）
A．25 B．24 C．33 D．34
2．（2024春 郸城县期中）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ）
A．80 B．75 C．70 D．65
3．（2024春 宿迁月考）若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4
4．（2024春 文登区期末）方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024春 岚山区期末）某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 赛罕区校级期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元．如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 元．
7．（2024春 巴彦淖尔期末）如果以x，y为未知数的二元一次方程组的解满足4x﹣3y＝8，那么m＝ ．
8．（2024 十堰模拟）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”
译文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗．问上、中、下每一束得实各是多少斗？”设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x、y、z斗，可列方程为 ．
9．（2024春 和平区期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
10．（2024春 如东县期中）若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，则x+y+z的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 嘉定区期末）解方程组：．
12．（2024春 龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
13．（2024春 凤凰县期末）某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
14．（2024春 夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
15．（2024春 黔江区期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ ；∴x+y+z＝4．
小渝的方法：①+②： ；∴x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
预习衔接.夯实基础 三元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东兴区校级期中）已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）
A．25 B．24 C．33 D．34
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】A
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c＝16；据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，则d＝8，又a+d＝8+1+a＝10，则a＝1；综上可知，a﹣1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9．
【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba＝10769；
则b+c＝16；又据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，
则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，
可得：d＝8，
又∵a+d＝8+1+a＝10，
∴a＝1，
综上可知，a＝1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，完成本题的关键是通过两数的和先求出b+c＝16之后，再据所给条件求其它数就比较容易了．
2．（2024春 郸城县期中）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ）
A．80 B．75 C．70 D．65
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可．
【解答】解：由题意得：，
①+②得：a+b+2x＝a+b+150，
解得：x＝75，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
3．（2024春 宿迁月考）若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4
【考点】解三元一次方程组．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】先解关于x，y的二元一次方程组，求得x，y的值后，再代入关于a的方程而求解的．
【解答】解：解出方程组，
得，
代入3x﹣ay＝8，得6﹣a＝8，
解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题先通过求得二元一次方程组的解，再建立关于a的一元一次方程而求解．
4．（2024春 文登区期末）方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣z＝10④，
③+④得：2x＝14，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7+y＝8，
解得：y＝1，
把x＝7代入③得：z+7＝4，
解得：z＝﹣3，
∴原方程组的解为，
把代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5，
解得：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
5．（2024春 岚山区期末）某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得，
，
①×2﹣②得，6y＝180，
解得：y＝30，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 赛罕区校级期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元．如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 180 元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设鸡的单价是x元，兔的单价是y元，鸭的单价是z元，根据“某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷4，即可求出结论．
【解答】解：设鸡的单价是x元，兔的单价是y元，鸭的单价是z元，
根据题意得：，
（①+②）÷4得：x+y+z＝180，
∴他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元．
故答案为：180．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
7．（2024春 巴彦淖尔期末）如果以x，y为未知数的二元一次方程组的解满足4x﹣3y＝8，那么m＝ ．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】先用含m的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入4x﹣3y＝8中解出m．
【解答】解：由题意得：，
①+②得x＝2.5m，代入①得y＝﹣2m，
代入4x﹣3y＝8得10m+6m＝8，
解得：m．
故本题答案为：．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出m的数值．
8．（2024 十堰模拟）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”
译文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗．问上、中、下每一束得实各是多少斗？”设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x、y、z斗，可列方程为 ．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据“上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
9．（2024春 和平区期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，则a＝ 6 ，b＝ ﹣11 ，c＝ 3 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】6；﹣11；3．
【分析】根据题意可得：，然后利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
①﹣②得：2b＝﹣22，
解得：b＝﹣11，
③﹣②得：3a+3b＝﹣15，
即a+b＝﹣5，
a﹣11＝﹣5，
解得：a＝6，
把a＝6，b＝﹣11代入①得：6﹣11+c＝﹣2，
解得：c＝3，
∴原方程组的解为：，
故答案为：6；﹣11；3．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
10．（2024春 如东县期中）若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，则x+y+z的值为 3 ．
【考点】解三元一次方程组；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】此题可运用“整体思想”求解，让已知的两式相加，然后将系数化为1，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：将两个方程左右两边分别相加，得5x+5y+5z＝15，
两边同时除以5，得x+y+z＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查的是三元一次方程组的解法，要注意观察方程组的特点，并灵活运用加减或代入法求解，同时也要注意“整体思想”在求值方面的运用．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 嘉定区期末）解方程组：．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+③，得：10y＝30，
解得y＝3，
②+③，得：8y﹣4z＝27④，
将y＝3代入④，得：，
将，y＝3代入②，得：，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解三元一次方程组是解题的关键．
12．（2024春 龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）28．
【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键．
13．（2024春 凤凰县期末）某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．
（2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
，
解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）根据题意得：
，
解得：或．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台．
【点评】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和＝50台，购进两种电脑的费用和＝104000元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解．
14．（2024春 夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
【考点】解三元一次方程组；专题：正方体相对两个面上的文字；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
由①得z＝x﹣3④，
将②和④代入③得5﹣（x﹣3）＝2 x﹣5+1，
解得x＝4，
将x＝4代入①、②得：4﹣z＝3，y＝8﹣5＝3，
∴z＝1，y＝3，
∴．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
15．（2024春 黔江区期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ 3﹣2z ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ z+1 ；∴x+y+z＝4．
小渝的方法：①+②： 5x+5y+5z＝20 ；∴x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
【考点】三元一次方程组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；
（2）x+y+z＝3；
（3）320元．
【分析】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解；
（2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解；
（3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而
，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解．
【解答】解：（1）由题意，小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4．
小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；
（2）由题意得：
，
∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x；
①+②×2，整理得，y＝x﹣3，
∴x+y+z＝3；
（3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，可得方程组：
，
∴②﹣①×2得：4y＝1.6，
∴y＝0.4．
又①×4﹣②，整理得：2x+z＝2，
∴2x+3y+z＝3.2．
∴200x+300y+100z＝320．
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．
【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
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预习衔接.夯实基础 三元一次方程组
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东兴区校级期中）已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）
A．25 B．24 C．33 D．34
2．（2024春 郸城县期中）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ）
A．80 B．75 C．70 D．65
3．（2024春 宿迁月考）若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4
4．（2024春 文登区期末）方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024春 岚山区期末）某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 赛罕区校级期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元．如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 元．
7．（2024春 巴彦淖尔期末）如果以x，y为未知数的二元一次方程组的解满足4x﹣3y＝8，那么m＝ ．
8．（2024 十堰模拟）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”
译文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗．问上、中、下每一束得实各是多少斗？”设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x、y、z斗，可列方程为 ．
9．（2024春 和平区期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
10．（2024春 如东县期中）若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，则x+y+z的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 嘉定区期末）解方程组：．
12．（2024春 龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
13．（2024春 凤凰县期末）某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
14．（2024春 夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
15．（2024春 黔江区期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ ；∴x+y+z＝4．
小渝的方法：①+②： ；∴x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
预习衔接.夯实基础 三元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 东兴区校级期中）已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）
A．25 B．24 C．33 D．34
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】A
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c＝16；据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，则d＝8，又a+d＝8+1+a＝10，则a＝1；综上可知，a﹣1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9．
【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba＝10769；
则b+c＝16；又据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，
则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，
可得：d＝8，
又∵a+d＝8+1+a＝10，
∴a＝1，
综上可知，a＝1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，完成本题的关键是通过两数的和先求出b+c＝16之后，再据所给条件求其它数就比较容易了．
2．（2024春 郸城县期中）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ）
A．80 B．75 C．70 D．65
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可．
【解答】解：由题意得：，
①+②得：a+b+2x＝a+b+150，
解得：x＝75，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
3．（2024春 宿迁月考）若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4
【考点】解三元一次方程组．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】先解关于x，y的二元一次方程组，求得x，y的值后，再代入关于a的方程而求解的．
【解答】解：解出方程组，
得，
代入3x﹣ay＝8，得6﹣a＝8，
解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题先通过求得二元一次方程组的解，再建立关于a的一元一次方程而求解．
4．（2024春 文登区期末）方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣z＝10④，
③+④得：2x＝14，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7+y＝8，
解得：y＝1，
把x＝7代入③得：z+7＝4，
解得：z＝﹣3，
∴原方程组的解为，
把代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5，
解得：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
5．（2024春 岚山区期末）某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得，
，
①×2﹣②得，6y＝180，
解得：y＝30，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 赛罕区校级期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元．如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 180 元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设鸡的单价是x元，兔的单价是y元，鸭的单价是z元，根据“某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷4，即可求出结论．
【解答】解：设鸡的单价是x元，兔的单价是y元，鸭的单价是z元，
根据题意得：，
（①+②）÷4得：x+y+z＝180，
∴他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元．
故答案为：180．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
7．（2024春 巴彦淖尔期末）如果以x，y为未知数的二元一次方程组的解满足4x﹣3y＝8，那么m＝ ．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】先用含m的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入4x﹣3y＝8中解出m．
【解答】解：由题意得：，
①+②得x＝2.5m，代入①得y＝﹣2m，
代入4x﹣3y＝8得10m+6m＝8，
解得：m．
故本题答案为：．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出m的数值．
8．（2024 十堰模拟）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”
译文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗．问上、中、下每一束得实各是多少斗？”设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x、y、z斗，可列方程为 ．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据“上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
9．（2024春 和平区期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，则a＝ 6 ，b＝ ﹣11 ，c＝ 3 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】6；﹣11；3．
【分析】根据题意可得：，然后利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
①﹣②得：2b＝﹣22，
解得：b＝﹣11，
③﹣②得：3a+3b＝﹣15，
即a+b＝﹣5，
a﹣11＝﹣5，
解得：a＝6，
把a＝6，b＝﹣11代入①得：6﹣11+c＝﹣2，
解得：c＝3，
∴原方程组的解为：，
故答案为：6；﹣11；3．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
10．（2024春 如东县期中）若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，则x+y+z的值为 3 ．
【考点】解三元一次方程组；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】此题可运用“整体思想”求解，让已知的两式相加，然后将系数化为1，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：将两个方程左右两边分别相加，得5x+5y+5z＝15，
两边同时除以5，得x+y+z＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查的是三元一次方程组的解法，要注意观察方程组的特点，并灵活运用加减或代入法求解，同时也要注意“整体思想”在求值方面的运用．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 嘉定区期末）解方程组：．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+③，得：10y＝30，
解得y＝3，
②+③，得：8y﹣4z＝27④，
将y＝3代入④，得：，
将，y＝3代入②，得：，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解三元一次方程组是解题的关键．
12．（2024春 龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）28．
【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键．
13．（2024春 凤凰县期末）某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．
（2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
，
解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）根据题意得：
，
解得：或．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台．
【点评】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和＝50台，购进两种电脑的费用和＝104000元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解．
14．（2024春 夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
【考点】解三元一次方程组；专题：正方体相对两个面上的文字；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
由①得z＝x﹣3④，
将②和④代入③得5﹣（x﹣3）＝2 x﹣5+1，
解得x＝4，
将x＝4代入①、②得：4﹣z＝3，y＝8﹣5＝3，
∴z＝1，y＝3，
∴．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
15．（2024春 黔江区期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．
（1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝ 3﹣2z ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ z+1 ；∴x+y+z＝4．
小渝的方法：①+②： 5x+5y+5z＝20 ；∴x+y+z＝4．
（2）已知，试求解x+y+z的值．
（3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
【考点】三元一次方程组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；
（2）x+y+z＝3；
（3）320元．
【分析】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解；
（2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解；
（3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而
，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解．
【解答】解：（1）由题意，小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4．
小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；
（2）由题意得：
，
∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x；
①+②×2，整理得，y＝x﹣3，
∴x+y+z＝3；
（3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，可得方程组：
，
∴②﹣①×2得：4y＝1.6，
∴y＝0.4．
又①×4﹣②，整理得：2x+z＝2，
∴2x+3y+z＝3.2．
∴200x+300y+100z＝320．
答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元．
【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
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