第二章 一元二次方程（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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预习衔接.夯实基础 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
2．（2024 新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．（2024 娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
4．（2024秋 思明区校级期中）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2024+2a﹣b的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
5．（2024秋 南山区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 罗定市期中）若α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则αβ的值为　 　．
7．（2024秋 思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 　 　．
8．（2024秋 鼓楼区校级期中）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值为 　 　．
9．（2024秋 松江区期中）设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有x1+x2，x1x2，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 　 　．
10．（2024秋 江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 　 　个足球队参赛．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
12．（2024秋 安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
13．（2024秋 嵩明县期末）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地，一面利用学校的墙（墙的长度为16m），用30m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地ABCD，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为100m2，求此时AB的长．
（2）能围成面积为120m2的菜地吗？若能，请求出AB的值；若不能，请说明理由．
14．（2024秋 东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
15．（2024秋 兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
2x2﹣x+2+y2的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 　 　；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
预习衔接.夯实基础 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣4m+8＝0，
解得m＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键．
2．（2024 新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得到x1 x24．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1 x2．
3．（2024 娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．（2024秋 思明区校级期中）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2024+2a﹣b的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把x＝2代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0解得2a﹣b＝﹣1，再利用整体思想解答即可．
【解答】解：把x＝2代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0得，
22a﹣2b+2＝0，
4a﹣2b+2＝0，
4a﹣2b＝﹣2，
2a﹣b＝﹣1，
∴2024+2a﹣b＝2024+（﹣1）＝2024﹣1＝2023，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2024秋 南山区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 罗定市期中）若α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则αβ的值为　﹣5　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】根据根与系数的关系直接计算即可．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根是α，β，根据根与系数的关系可得：αβ＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1和x2，则，熟练掌握以上知识点是关键．
7．（2024秋 思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 　x（48+2﹣2x）＝300　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（48+2﹣2x）＝300．
【分析】根据篱笆的总长及与墙垂直的边长，可得出与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为300m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为48m，且与墙垂直的边长为x m，
∴与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m．
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300．
故答案为：x（48+2﹣2x）＝300．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024秋 鼓楼区校级期中）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值为 　﹣3　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据代入计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，
∴，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
9．（2024秋 松江区期中）设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有x1+x2，x1x2，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 　7　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】由m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，可得出m2﹣m﹣1＝0，进而可得出m2﹣m＝1，利用根与系数的关系，可得出m+n＝1，mn＝﹣1，再将其代入3m2+3n﹣mn＝3（m2﹣m）+3（m+n）﹣mn中，即可得出结论．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1．
∵m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
∴3m2+3n﹣mn＝3（m2﹣m）+3（m+n）﹣mn＝3×1+3×1﹣（﹣1）＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出m2﹣m＝1，m+n＝1及mn＝﹣1是解题的关键．
10．（2024秋 江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 　8　个足球队参赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设应该邀请x个足球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设应该邀请x个足球队参赛，
由题意得：x（x﹣1）＝28，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即应邀请8个足球队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x1＝1，x2＝1；
（3）此方程无实数根；
（4）x1，x2＝1．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元一次方程即可．
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
x﹣1或x﹣1，
x1＝1，x2＝1；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．
12．（2024秋 安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x＝2．
【分析】（1）求出Δ＝（m﹣4）2，根据（m﹣4）2≥0即可证明结论；
（2）把x＝3代入方程求出m＝5，把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得x2﹣5x+6＝0，解方程即可得到方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x＝3代入方程得：9﹣3m+2m﹣4＝0，
解得：m＝5，
把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
所以另一根为x＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是求出Δ＝（m﹣4）2解答．
13．（2024秋 嵩明县期末）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地，一面利用学校的墙（墙的长度为16m），用30m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地ABCD，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为100m2，求此时AB的长．
（2）能围成面积为120m2的菜地吗？若能，请求出AB的值；若不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）10米；
（2）不能围成面积为120m2的菜地，理由见解答．
【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（30﹣2x）米，根据围成菜地的面积为100m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的长度为16m，即可确定结论；
（2）假设能围成面积为120m2的菜地，设AB的长为y米，则BC的长为（30﹣2y）米，根据围成菜地的面积为120m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为120m的菜地．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（30﹣2x）米，
根据题意得：x（30﹣2x）＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞16，不符合题意，舍去；
当x＝10时，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜16，符合题意．
答：AB的长为10米；
（2）不能围成面积为120m2的菜地，理由入下：
假设能围成面积为120m2的菜地，设AB的长为y米，则BC的长为（30﹣2y）米，
根据题意得：y（30﹣2y）＝120，
整理得：y2﹣15y+60＝0，
∵Δ＝152﹣4×1×60＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即不能围成面积为120m的菜地．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，原方程没有实数根”．
14．（2024秋 东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）﹣5．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而根据根的判别式的意义可判断方程根的情况；
（2）先根据一元二次方程解的定义得到m2+4m＝﹣1，再把2m2+8m﹣3变形为2（m2+4m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）
＝4m2﹣4m2+12
＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣2代入方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0得4+4m+m2﹣3＝0，
∴m2+4m＝﹣1，
∴2m2+8m﹣3＝2（m2+4m）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（2024秋 兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
2x2﹣x+2+y2的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 　1　；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）1；（2）7．
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣（x2+4x+3）
＝﹣（x+2）2+1，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+1≤1，
故答案为：1；
（2）m2+n2+6m﹣4n+20
＝m2+6m+9+n2﹣4n+11
＝（m+3）2+（n﹣2）2+7，
∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，
∴（m+3）2+（n﹣2）2+7≥7．
∴m2+n2+6m﹣4n+20的最小值为7．
【点评】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则．
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