第一章 特殊平行四边形(预习衔接.夯实基础.含解析)-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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名称 第一章 特殊平行四边形(预习衔接.夯实基础.含解析)-2025-2026学年九年级上册数学北师大版
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资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-07-17 21:00:20

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预习衔接.夯实基础 特殊平行四边形
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 龙岗区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=50°,则∠ADB的度数为(  )
A.65° B.50° C.25° D.20°
2.(2024秋 碑林区校级期中)如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是(  )
A.∠ABD=∠CBD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=BC
3.(2024秋 市南区校级期中)如图所示,正方形ABCD的边长为1,AB在x轴的正半轴上,以A(1,0)为圆心,AC为半径作圆交x轴负半轴于点P,则点P的横坐标是(  )
A. B. C. D.
4.(2024秋 沙坪坝区校级期中)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD、AB上一点,且AE=BF,连接BE,CF,BG平分∠CBE交CD于点G,且点G为CD中点.若∠CFB=α,则∠GED的度数为(  )
A.α B. C. D.90°﹣α
5.(2024秋 罗湖区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为正方形,点C坐标为(3,2),则点A的坐标为(  )
A.(﹣2,2) B.(﹣2,3) C.(﹣3,2) D.(﹣3,3)
二.填空题(共5小题)
6.(2024秋 琼山区校级期中)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则CE的长为    ,DE的长为    .
7.(2024秋 市南区校级期中)如图,三角形是直角三角形,四边形是正方形,已知正方形A的面积是64,正方形B的面积是100,则半圆C的面积是    .
8.(2024秋 宜兴市期中)在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm,点E在直线AD上,且DE=2cm,则点E到矩形对角线所在直线的距离是    cm.
9.(2024 茂南区校级模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为    .
10.(2024春 新邵县期末)如图,在平面直角坐标系中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是    .
三.解答题(共5小题)
11.(2024秋 龙岗区期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠BDC=90°,E是AD边上一点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF.
(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件,并写出证明过程;
①AE=DE;②BF=BC;③AE=BE.
(2)若四边形ABDF是矩形,且AB=3,AD=5,求四边形ABCF的面积.
12.(2024秋 新城区期中)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.求证:四边形ADFE是矩形.
13.(2024 娄底模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=13,AC=10,求AE的长.
14.(2024春 崆峒区期末)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点F是CD的中点,延长OF到点E,使EF=OF,连接CE,DE.
(1)求证:四边形DOCE是矩形;
(2)若OE=2,∠ABC=120°,求菱形ABCD的面积.
15.(2024秋 武进区期中)如图,∠ABC=90°,M是AC上一点,连结BM,AM=BM.
(1)求证:M是AC中点;
(2)在AC的另一侧取点D,使得∠ADC=90°,连结MD,求证:BM=DM.
预习衔接.夯实基础 特殊平行四边形
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 龙岗区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=50°,则∠ADB的度数为(  )
A.65° B.50° C.25° D.20°
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】C
【分析】根据矩形的性质证明OA=OD,根据三角形的外角的性质即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=50°,
∴∠ADB=25°.
故选:C.
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
2.(2024秋 碑林区校级期中)如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是(  )
A.∠ABD=∠CBD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=BC
【考点】矩形的判定.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】B
【分析】由平行四边形ABCD的性质得AD∥BC,则∠ADB=∠CBD,而∠ABD=∠CBD,所以∠ADB=∠ABD,推导出AB=AD,则四边形ABCD是菱形,可判断A不符合题意;由四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD,可推导出四边形ABCD是矩形,可判断B符合题意;由四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,可证明四边形ABCD是菱形,可判断C不符合题意;由四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,可判断四边形ABCD是菱形,可判断D不符合题意,于是得到问题的答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,但不一定是矩形,
故A不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
故B符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,但不一定是矩形,
故C不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,但不一定是矩形,
故D不符合题意,
故选:B.
【点评】此题重点考查矩形的判定定理、菱形的定义和菱形的判定定理等知识,根据所给的条件证明平行四边形ABCD为矩形或菱形是解题的关键.
3.(2024秋 市南区校级期中)如图所示,正方形ABCD的边长为1,AB在x轴的正半轴上,以A(1,0)为圆心,AC为半径作圆交x轴负半轴于点P,则点P的横坐标是(  )
A. B. C. D.
【考点】正方形的性质;坐标与图形性质.
【专题】平面直角坐标系;矩形 菱形 正方形;几何直观;运算能力.
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质及勾股定理得求出AC,再根据点A(1,0)及作图得OA=1,AP=AC,则OP,由此可得出点P的横坐标.
【解答】解:∵正方形ABCD的边长为1,
∴AB=BC=CD=AD=1,∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC,
∵以A(1,0)为圆心,AC为半径作圆交x轴负半轴于点P,
∴OA=1,AP=AC,
∴OP=AP﹣OA,
∵点P在x轴的负半轴上,
∴点P的横坐标为:﹣().
故选:D.
【点评】此题主要考查了正方形的性质,坐标与图形,熟练掌握正方形的性质,坐标与图形是解决问题的关键.
4.(2024秋 沙坪坝区校级期中)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD、AB上一点,且AE=BF,连接BE,CF,BG平分∠CBE交CD于点G,且点G为CD中点.若∠CFB=α,则∠GED的度数为(  )
A.α B. C. D.90°﹣α
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;运算能力.
【答案】C
【分析】过点G作GH⊥BE于点H,证明△ABE≌△BCF(SAS),Rt△GDE≌Rt△GHE(HL),得出,即可求解.
【解答】解:如图所示,过点G作GH⊥BE于点H,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠ABC,DC⊥BC,
在△ABE和△BCF中,

∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠BEA=∠CFB=α,
∵BG平分∠CBE交CD于点G,且点G为CD中点.
∴GC=GH,CG=GD,
∴GD=GH,
又∵GD⊥DE,GH⊥BE,
在Rt△GDE,Rt△GHE中,

∴Rt△GDE≌Rt△GHE(HL),
∴.
故选:C.
【点评】本题考查了正方形的性质,角平分线的性质,全等三角形的性质与判定,正确作出辅助线是解决此题的关键.
5.(2024秋 罗湖区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为正方形,点C坐标为(3,2),则点A的坐标为(  )
A.(﹣2,2) B.(﹣2,3) C.(﹣3,2) D.(﹣3,3)
【考点】正方形的性质;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】平面直角坐标系;三角形;图形的全等;矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】B
【分析】如图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,根据正方形的性质,可证Rt△AOD≌Rt△OCE(ASA),可得DO=EC,AD=OE,根据点C的坐标可确定OE,CE的长,由此即可求解.
【解答】解:如图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵四边形OABC是正方形,
∴OA=AB=BC=OC,∠AOC=90°,
∴∠AOD+∠EOC=90°,∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠OAD=∠EOC,
在Rt△AOD,Rt△OCE中,

∴Rt△AOD≌Rt△OCE(ASA),
∴DO=EC,AD=OE,
∵C(3,2),
∴OE=3,CE=2,
∴OD=2,AD=3,且点A在第二象限,
∴A(﹣2,3),
故选:B.
【点评】本题主要考查几何图形,全等三角形的判定和性质,图象与坐标的综合,掌握正方形的性质,全等三角形的判定和性质,根据图象特点确定坐标的方法等知识是解题的关键.
二.填空题(共5小题)
6.(2024秋 琼山区校级期中)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则CE的长为  2 ,DE的长为  2 .
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;运算能力.
【答案】2,2.
【分析】如图,连接BD交AC于点O.求出OD,OE,再利用勾股定理求解.
【解答】解:如图,连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ADC=∠ABC=60°,AB=BC=CD=AD=6,
∴△ABC,△ADC都是等边三角形,
∴∠CAB=60°,
∵EF⊥AF,
∴∠AFE=90°,∠AEF=30°,
∴AE=2AF,
∵CE=AF,
∴AC=3EC,
∴AE=4,EC=2,
∴OA=OC=3,ODAO=3,
∴OE=AE﹣OA=4﹣3=1,
∴DE2.
故答案为:2,2.
【点评】本题考查菱形的性质,等边三角形的判定与性质,解直角三角形,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
7.(2024秋 市南区校级期中)如图,三角形是直角三角形,四边形是正方形,已知正方形A的面积是64,正方形B的面积是100,则半圆C的面积是  4.5π .
【考点】正方形的性质;勾股定理.
【专题】矩形 菱形 正方形;解直角三角形及其应用;运算能力.
【答案】4.5π.
【分析】在Rt△DEF中,DE是斜边,DF2=DE2﹣EF2.半圆C的面积等于以DF为直径的圆的面积的一半.
【解答】解:
正方形A的面积是64,正方形B的面积是100,
则DE=10,EF=8,
由勾股定理得DF6,
故半圆C的面积π×32=4.5π.
故答案为:4.5π.
【点评】本题考查勾股定理、正方形的性质,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
8.(2024秋 宜兴市期中)在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm,点E在直线AD上,且DE=2cm,则点E到矩形对角线所在直线的距离是  或或. cm.
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】或或.
【分析】设AC,BD交于点O,点E1在线段AD上,E2在AD的延长线上,过点E1,E2作AC,BD的垂线,垂足分别为F1,F2,F3,进而分别求得垂线段的长度,即可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=8,
∴AD=BC=8,CD=AB=4,,
∴,,,
如图所示,设AC,BD交于点O,点E1在线段AD上,E2在AD的延长线上,过点E1、E2作AC和BD的垂线,垂足分别为F1、F2、F3,
∵AO=DO,
∴∠OAD=∠ODA,
①当E在线段AD上时,AE1=AD﹣DE=8﹣2=6,
在RtΔAE1F1中,;
∵∠OAD=∠ODA
在RtΔE1F2D中,;
②当E在射线AD上时,
在Rt△DCE2中,,
∴∠CAD=∠DCE,
∴∠DCE+∠DCA=90°,
∴E2C⊥AC,
∴,
在RtΔDE2F3中,,
综上所述,点E到对角线所在直线的距离为:或或,
故答案为:或或.
【点评】本题考查了矩形的性质等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键.
9.(2024 茂南区校级模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为  4 .
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;几何直观.
【答案】见试题解答内容
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分,已知OA=2,则AC=2OA=4,又BD=AC,故可求.
【解答】解:∵ABCD是矩形
∴OC=OA,BD=AC
又∵OA=2,
∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故答案为:4.
【点评】本题考查矩形的对角线相等的性质,属于矩形的基本性质,比较简单.
10.(2024春 新邵县期末)如图,在平面直角坐标系中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是  (5,4) .
【考点】菱形的性质;坐标与图形性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度,再利用勾股定理求出DO的长度,进而得到点C的坐标.
【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,
∴AB=AO+OB=5,
∴AD=AB=CD=5,
∴DO4,
∴点C的坐标是:(5,4).
故答案为:(5,4).
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度.
三.解答题(共5小题)
11.(2024秋 龙岗区期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠BDC=90°,E是AD边上一点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF.
(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件,并写出证明过程;
①AE=DE;②BF=BC;③AE=BE.
(2)若四边形ABDF是矩形,且AB=3,AD=5,求四边形ABCF的面积.
【考点】矩形的判定与性质;平行四边形的性质.
【专题】图形的全等;多边形与平行四边形;矩形 菱形 正方形;梯形;推理能力.
【答案】(1)见解析;
(2)18.
【分析】(1)由平行四边形的性质得AB∥CD,则∠ABE=∠DFE,而∠AEB=∠DEF,AE=DE,即可根据“AAS”证明△ABE≌△DFE,得AB=DF,则四边形ABDF是平行四边形,由∠BDC=90°,得∠BDF=90°,则四边形ABDF是矩形;
(2)由AB=DF=CD=3,得CF=6,根据勾股定理求得BD4,根据梯形的面积公式即可求得答案.
【解答】解:(1)选①AE=DE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠DFE,
在△ABE和△DFE中,

∴△ABE≌△DFE(AAS),
∴AB=DF,
∵AB∥DF,AB=DF,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∵∠BDC=90°,
∴∠BDF=90°,
∴四边形ABDF是矩形;
(2)解:∵四边形ABDF是矩形,
∴AB=DF,
∵四边形ABDF是平行四边形,
∴AB=CD,
∴AB=DF=CD=3,
∴CF=DF+CD=3+3=6,
在Rt△BDC中,BC=AD=5,CD=3,
∴BD4,
∵AB∥CF,
∴SBD(AB+CF)4×(3+6)=18,
∴四边形ABCF的面积S等于18.
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识,证明△ABE≌△DFE是解题的关键.
12.(2024秋 新城区期中)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.求证:四边形ADFE是矩形.
【考点】矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】见解析.
【分析】先根据平行四边形的性质证明△ABE≌△DCF,得到AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°,从证明结论.
【解答】证明:∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC且AB=DC,
∴∠ABE=∠DCF,
在△ABE和△DCF中,

∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°,
∴AE∥DF,
∴四边形ADFE是平行四边形,
又∵∠DFC=90°,
∴四边形ADFE是矩形.
【点评】本题考查了矩形的判定,掌握全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质是解题的关键.
13.(2024 娄底模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=13,AC=10,求AE的长.
【考点】矩形的判定与性质;菱形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据菱形的性质先证明BC=EF,进而得到AD=EF且AD∥EF,证得四边形AEFD是平行四边形,再根据∠AEF是直角证得四边形AEFD是矩形;
(2)先根据勾股定理求出OB,得到BD的长,利用AC BD=BC AE,求出AE的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC且AD=BC,
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF,
∴AD=EF,
∵AD∥EF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∵AE⊥BC,
∴∠AEF=90°,
∴四边形AEFD是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO=5,BC=AB=13,
∵AE⊥BC,
∴S四边形ABCD=BC AE,
在Rt△ABO中,由勾股定理可得:
∴,
∴BD=2BO=24,
∵S四边形ABCDAC BD=BC AE,
∴,
∴.
【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理,解题的关键熟知菱形的性质并灵活运用,①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
14.(2024春 崆峒区期末)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点F是CD的中点,延长OF到点E,使EF=OF,连接CE,DE.
(1)求证:四边形DOCE是矩形;
(2)若OE=2,∠ABC=120°,求菱形ABCD的面积.
【考点】矩形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理;菱形的性质.
【专题】推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)先证明四边形DOCE为平行四边形,再根据菱形的性质得到∠DOC=90°,然后根据矩形的判定可证得结论;
(2)根据矩形的对角线相等求得CD=2,再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线AC,BD的长,再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可.
【解答】(1)证明:∵点F是CD的中点,
∴DF=CF,
∵EF=OF,
∴四边形DOCE是平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,即∠DOC=90°,
∴四边形DOCE是矩形;
(2)解:∵四边形DOCE是矩形,OE=2,
∴CD=OE=2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD=2OB,AC=2OC,AC⊥BD,AB=BC=CD=2,
∴,
∴∠BCO=90°﹣∠CBO=30°,
∴,,
∴,BD=2OB=2,
∴四边形ABCD的面积为.
【点评】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理,熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键.
15.(2024秋 武进区期中)如图,∠ABC=90°,M是AC上一点,连结BM,AM=BM.
(1)求证:M是AC中点;
(2)在AC的另一侧取点D,使得∠ADC=90°,连结MD,求证:BM=DM.
【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质.
【专题】证明题;等腰三角形与直角三角形;几何直观;推理能力.
【答案】(1)证明见解答过程;
(2)证明见解答过程.
【分析】(1)先根据AM=BM得∠MAB=∠MBA,再根据∠ABC=90°得∠MBC=∠MCB,则BM=CM,进而得BM=CM=AM,由此可得出结论;
(2)连接DM,根据直角三角形斜边中线的性质得DM=AM=CMAC,据此可得出结论.
【解答】证明:(1)∵AM=BM
∴∠MAB=∠MBA,
∵∠ABC=90°
∴∠MBC+∠MBA=90°,∠MAB+∠MCB=90°,
∴∠MBC=∠MCB,
∴BM=CM,
∴BM=CM=AM
∴M是AC的中点;
(2)连接DM,如图所示:
∵∠ADC=90°,M是AC的中点,
∴DM是Rt△ACD斜边AC的中点,
∴DM=AM=CMAC,
∵BM=AM
∴BM=DM.
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质,等腰三角形的性质,准确识图,熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质,等腰三角形的性质是解决问题的关键.
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