广东省东莞市长安实验中学2025年中考数学二模试卷
1．（2025·东莞模拟）的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：B．
【分析】
根据相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，解答即可．
2．（2025·东莞模拟）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝( )
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCE+∠BEF=180°，
∵∠DCE=80°，
∴∠BEF=180°-80°=100°．
故答案为：A．
【分析】
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入已知数据计算即可解答.
3．（2025·东莞模拟） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A：，A正确，符合题意；
B：，B错误，不符合题意；
C：，C错误，不符合题意；
D：，D错误，不符合题意。
故答案为：A
【分析】根据同底数幂，完全平方公式，负整数指数幂进行各项计算即可求出答案。
4．（2025·东莞模拟）2025年春节热门电影有以下4部：《哪吒之魔童闹海》、《》、《封神第二部》、《唐探1900》．若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是，
故答案为：
【分析】
根据简单事件的概率：总数为4，选一部 《唐探1900》 有1种结果，再概率公式求解即可解答．
5．（2025·东莞模拟）如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
与的相似比为.
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 即可由，得到相似比；解答即可．
6．（2025·东莞模拟）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；数形结合
【解析】【解答】解：一次函数的图象与x轴相交于点，
关于x的方程的解为．
故选：C．
【分析】
根据一次函数与一元一次方程的关系：方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标，即可利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为解答即可.
7．（2025·东莞模拟）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，，
解得．
故答案为：C．
【分析】
根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可解答．
8．（2025·东莞模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设现在平均每天生产x台机器，则原来每天生产(x-50)台机器，现在生产400台机器需要的天数是，原计划生产450天所需要的天数是，
由题意得；.
故答案为：A.
【分析】 设现在平均每天生产x台机器，则原来每天生产(x-50)台机器，根据工作总量除以工作效率＝工作时间并结合“ 现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天 ”列出方程即可.
9．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
∴，
，
∴，
∴的长
故答案为：
【分析】
先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可解答．
10．（2025·东莞模拟）如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D，
∴∠BOC＝45°，
∵∠DOC＝15°，
∴∠BOD＝30°；
已知正方形的边长为1，则OB＝，
Rt△OBD中，OB＝，∠BOD＝30°，
∴BD＝OB＝，OD＝cos∠BOD OB＝×＝；
故B（，），
将B（，）代入y＝ax2，得：
（）2a＝，
解得a＝；
故答案为：B．
【分析】
连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD＝30°；在正方形OABC中，已知了边长，由勾股定理求得对角线OB的长，在Rt△OBD中利用勾股定理求得BD、OD的值可得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值，计算即可解答．
11．（2025·东莞模拟）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 ．
【答案】（2，﹣3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【分析】依据关于x轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等进行解答即可.
12．（2025·东莞模拟）单项式的次数为 ．
【答案】2
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：的次数为：
故答案为：
【分析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，解答即可．
13．（2025·东莞模拟）化简 ．
【答案】
【知识点】分式的约分；分式的加减法；同分母分式的加、减法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】
根据同分母的运算先把分子相减得到，然后对分母因式分解，最后约分即可解答．
14．（2025·东莞模拟）如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，，连接AD，则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：为等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】
根据等边三角形的性质得到，再由三角形的外角定理得到，进而得，然后在中由勾股定理即可求解．
15．（2025·东莞模拟）如图所示，将两个正方形并列放置，其中，，三点在一条直线上，，，三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积和是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
，，
，，
则阴影部分的面积等于，
即，
，
故答案为：．
【分析】
利用割补法可求阴影部分面积，可设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则由题意知，，则阴影部分的面积等于四边形BDFE的面积减去三角形BCF的面积，再利用完全平方公式分别代入计算即可．
16．（2025·东莞模拟）解不等式组：
【答案】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集：解不等式①得，解不等式②得，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可．
17．（2025·东莞模拟）如图，为的半径，为的直径，直线l与相切于点
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线，交直线l于点要求：不写作法，保留作图痕迹
（2）在（1）的条件下，连接，若，则的度数为______．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）40
【知识点】圆周角定理；切线的性质；尺规作图-垂线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（2），
，
，
，
直线l与相切于点A，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）利用基本作图，过O点作BM的垂线即可；
（2）先根据垂线的概念得到，再由圆周角定理得到，再利用互余计算出，接着根据切线的性质得到，然后利用互余计算的度数，即可解答．
（1）解：如图，为所作；
（2）解：，
，
，
，
直线l与相切于点A，
，
，
故答案为：．
18．（2025·东莞模拟）项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下：
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，；
八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，；
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100，
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
七年级 a 70 70
八年级 86 c
九年级 85 b 80
直接写出______，______，______．
【分析解决】
（2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价．
【答案】解：（1）77，85，90；
从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意得：；
在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数；
把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数，
故答案为：77；85；90；
【分析】
根据算术平均数利用总数的和除以个数可求得a；根据众数的定义：90出现的次数最多得众数，根据中位数的定义把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90可得中位数是85；解答即可；
根据平均数，众数或中位数的意义，分析解答即可．
19．（2025·东莞模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意列方程组，计算求解即可解答；
（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数W随a的增大而减小，当时可得最大值，即可求解．
（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，
由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
20．（2025·东莞模拟）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计)
（1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作过点E作于点H，
∴．
∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，由三个角为90的四边形得为矩形，由矩形的性质可得，，从而得到，利用的三角函数值可得长，在计算线段的和差即为支点C离桌面l的高度，解答即可；
（2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了；解答即可．
（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作过点E作于点H，
∴．
∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约．
21．（2025·东莞模拟）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法．
【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务．
【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径．
【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得
①判断直线与的位置关系，并说明理由；
②直接写出的半径为______
【答案】解：任务一四边形为矩形，，
为经过A，B，G三点的圆的直径，
∵，，
∴，
该圆的半径为；
任务二、①直线与的位置关系为与相切，理由：
连接，如图，
四边形为矩形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
与相切；
②
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：②，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，，
由①知：，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
的半径为，
故答案为：.
【分析】
任务一：利用矩形的性质得， 由圆周角定理得到为经过A，B，G三点的圆的直径，再利用勾股定理，解答即可；
任务二：①连接，利用矩形的性质得到，从而得到，再结合已知条件判定得到， 再根据相似三角形的性质得到，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
②利用矩形的判定与性质得到，，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求得，，设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可．
22．（2025·东莞模拟）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，
（1）【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：；
（2）【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是 ；
（3）【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长．
【答案】（1）证明：和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）
（3）解：，，，
，，，
，，
，
∴，
，
当点D在线段上时，如图3，
，，，
由得，
，
则，
；
当E在线段上时，如图4，
则，
，
综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2），，
，，
，，则，
，
，
，
故答案为：；
【分析】
根据等边三角形的性质得到，，，即可由SA证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论，解答即可；
根据度角的直角三角形的性质得到，即可用SAS证明得到，即可解答；
先根据等腰直角三角形的性质得到，，即可证明得到，根据相似三角形的性质；分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得即可求解．
（1）证明：和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，，则，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：，，，
，，，
，，
，
∴，
，
当点D在线段上时，如图3，
，，，
由得，
，
则，
；
当E在线段上时，如图4，
则，
，
综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或
23．（2025·东莞模拟）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则
【构建联系】
（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式；
【深入探究】
（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线分别与x轴于点D、E；
①求证：直线与直线为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值用含n的代数式表示
【答案】解：如图1，
作于A，
∵，
∴，则，
直线与直线为“等腰三角线”，
，
，
，
∵，
，
，
设的解析式为：，
，，
直线的解析式为：；
①证明：如图2，
作轴于W，则，
由得，，
，
设直线的解析式为：，
，，
当得，
，
同理可得，
直线的解析式为：，
由得，
，
，，
，
，
，
直线与直线为“等腰三角线”；
②解：如图3，
作于G，作的垂直平分线，交于H，
，
，
，
由①知，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）作于A，可得，根据直线与直线为“等腰三角线”得出，进而求得R点坐标，用待定系数法设的解析式为：，进而得出的解析式；
（2）①作轴于W，则，根据求得x的值，进而得出A，B坐标，用待定系数法求出直线和的解析式，从而得出，由此即可解答；
②作于G，作的垂直平分线，交于H得到，可推出，从而，进而得出，设，则，进而在中由勾股定理列出关于a的方程，进而用n表示出a，即可表示出及，利用勾股定理，即可解答．
1 / 1广东省东莞市长安实验中学2025年中考数学二模试卷
1．（2025·东莞模拟）的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
2．（2025·东莞模拟）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝( )
A．100° B．90° C．80° D．70°
3．（2025·东莞模拟） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·东莞模拟）2025年春节热门电影有以下4部：《哪吒之魔童闹海》、《》、《封神第二部》、《唐探1900》．若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·东莞模拟）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2025·东莞模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ )
A． B．
C． D．
9．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．
11．（2025·东莞模拟）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 ．
12．（2025·东莞模拟）单项式的次数为 ．
13．（2025·东莞模拟）化简 ．
14．（2025·东莞模拟）如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，，连接AD，则AD的长为 ．
15．（2025·东莞模拟）如图所示，将两个正方形并列放置，其中，，三点在一条直线上，，，三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积和是 ．
16．（2025·东莞模拟）解不等式组：
17．（2025·东莞模拟）如图，为的半径，为的直径，直线l与相切于点
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线，交直线l于点要求：不写作法，保留作图痕迹
（2）在（1）的条件下，连接，若，则的度数为______．
18．（2025·东莞模拟）项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下：
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，；
八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，；
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100，
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
七年级 a 70 70
八年级 86 c
九年级 85 b 80
直接写出______，______，______．
【分析解决】
（2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价．
19．（2025·东莞模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
20．（2025·东莞模拟）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计)
（1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，）
21．（2025·东莞模拟）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法．
【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务．
【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径．
【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得
①判断直线与的位置关系，并说明理由；
②直接写出的半径为______
22．（2025·东莞模拟）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，
（1）【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：；
（2）【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是 ；
（3）【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长．
23．（2025·东莞模拟）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则
【构建联系】
（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式；
【深入探究】
（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线分别与x轴于点D、E；
①求证：直线与直线为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值用含n的代数式表示
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：B．
【分析】
根据相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，解答即可．
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCE+∠BEF=180°，
∵∠DCE=80°，
∴∠BEF=180°-80°=100°．
故答案为：A．
【分析】
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入已知数据计算即可解答.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A：，A正确，符合题意；
B：，B错误，不符合题意；
C：，C错误，不符合题意；
D：，D错误，不符合题意。
故答案为：A
【分析】根据同底数幂，完全平方公式，负整数指数幂进行各项计算即可求出答案。
4．【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是，
故答案为：
【分析】
根据简单事件的概率：总数为4，选一部 《唐探1900》 有1种结果，再概率公式求解即可解答．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
与的相似比为.
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 即可由，得到相似比；解答即可．
6．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；数形结合
【解析】【解答】解：一次函数的图象与x轴相交于点，
关于x的方程的解为．
故选：C．
【分析】
根据一次函数与一元一次方程的关系：方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标，即可利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为解答即可.
7．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，，
解得．
故答案为：C．
【分析】
根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可解答．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设现在平均每天生产x台机器，则原来每天生产(x-50)台机器，现在生产400台机器需要的天数是，原计划生产450天所需要的天数是，
由题意得；.
故答案为：A.
【分析】 设现在平均每天生产x台机器，则原来每天生产(x-50)台机器，根据工作总量除以工作效率＝工作时间并结合“ 现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天 ”列出方程即可.
9．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
∴，
，
∴，
∴的长
故答案为：
【分析】
先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可解答．
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D，
∴∠BOC＝45°，
∵∠DOC＝15°，
∴∠BOD＝30°；
已知正方形的边长为1，则OB＝，
Rt△OBD中，OB＝，∠BOD＝30°，
∴BD＝OB＝，OD＝cos∠BOD OB＝×＝；
故B（，），
将B（，）代入y＝ax2，得：
（）2a＝，
解得a＝；
故答案为：B．
【分析】
连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD＝30°；在正方形OABC中，已知了边长，由勾股定理求得对角线OB的长，在Rt△OBD中利用勾股定理求得BD、OD的值可得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值，计算即可解答．
11．【答案】（2，﹣3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【分析】依据关于x轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等进行解答即可.
12．【答案】2
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：的次数为：
故答案为：
【分析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，解答即可．
13．【答案】
【知识点】分式的约分；分式的加减法；同分母分式的加、减法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】
根据同分母的运算先把分子相减得到，然后对分母因式分解，最后约分即可解答．
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：为等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】
根据等边三角形的性质得到，再由三角形的外角定理得到，进而得，然后在中由勾股定理即可求解．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
，，
，，
则阴影部分的面积等于，
即，
，
故答案为：．
【分析】
利用割补法可求阴影部分面积，可设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则由题意知，，则阴影部分的面积等于四边形BDFE的面积减去三角形BCF的面积，再利用完全平方公式分别代入计算即可．
16．【答案】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集：解不等式①得，解不等式②得，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可．
17．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）40
【知识点】圆周角定理；切线的性质；尺规作图-垂线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（2），
，
，
，
直线l与相切于点A，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）利用基本作图，过O点作BM的垂线即可；
（2）先根据垂线的概念得到，再由圆周角定理得到，再利用互余计算出，接着根据切线的性质得到，然后利用互余计算的度数，即可解答．
（1）解：如图，为所作；
（2）解：，
，
，
，
直线l与相切于点A，
，
，
故答案为：．
18．【答案】解：（1）77，85，90；
从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意得：；
在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数；
把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数，
故答案为：77；85；90；
【分析】
根据算术平均数利用总数的和除以个数可求得a；根据众数的定义：90出现的次数最多得众数，根据中位数的定义把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90可得中位数是85；解答即可；
根据平均数，众数或中位数的意义，分析解答即可．
19．【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意列方程组，计算求解即可解答；
（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数W随a的增大而减小，当时可得最大值，即可求解．
（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，
由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
20．【答案】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作过点E作于点H，
∴．
∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，由三个角为90的四边形得为矩形，由矩形的性质可得，，从而得到，利用的三角函数值可得长，在计算线段的和差即为支点C离桌面l的高度，解答即可；
（2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了；解答即可．
（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作过点E作于点H，
∴．
∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约．
21．【答案】解：任务一四边形为矩形，，
为经过A，B，G三点的圆的直径，
∵，，
∴，
该圆的半径为；
任务二、①直线与的位置关系为与相切，理由：
连接，如图，
四边形为矩形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
与相切；
②
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：②，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，，
由①知：，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
的半径为，
故答案为：.
【分析】
任务一：利用矩形的性质得， 由圆周角定理得到为经过A，B，G三点的圆的直径，再利用勾股定理，解答即可；
任务二：①连接，利用矩形的性质得到，从而得到，再结合已知条件判定得到， 再根据相似三角形的性质得到，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
②利用矩形的判定与性质得到，，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求得，，设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可．
22．【答案】（1）证明：和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）
（3）解：，，，
，，，
，，
，
∴，
，
当点D在线段上时，如图3，
，，，
由得，
，
则，
；
当E在线段上时，如图4，
则，
，
综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2），，
，，
，，则，
，
，
，
故答案为：；
【分析】
根据等边三角形的性质得到，，，即可由SA证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论，解答即可；
根据度角的直角三角形的性质得到，即可用SAS证明得到，即可解答；
先根据等腰直角三角形的性质得到，，即可证明得到，根据相似三角形的性质；分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得即可求解．
（1）证明：和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，，则，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：，，，
，，，
，，
，
∴，
，
当点D在线段上时，如图3，
，，，
由得，
，
则，
；
当E在线段上时，如图4，
则，
，
综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或
23．【答案】解：如图1，
作于A，
∵，
∴，则，
直线与直线为“等腰三角线”，
，
，
，
∵，
，
，
设的解析式为：，
，，
直线的解析式为：；
①证明：如图2，
作轴于W，则，
由得，，
，
设直线的解析式为：，
，，
当得，
，
同理可得，
直线的解析式为：，
由得，
，
，，
，
，
，
直线与直线为“等腰三角线”；
②解：如图3，
作于G，作的垂直平分线，交于H，
，
，
，
由①知，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）作于A，可得，根据直线与直线为“等腰三角线”得出，进而求得R点坐标，用待定系数法设的解析式为：，进而得出的解析式；
（2）①作轴于W，则，根据求得x的值，进而得出A，B坐标，用待定系数法求出直线和的解析式，从而得出，由此即可解答；
②作于G，作的垂直平分线，交于H得到，可推出，从而，进而得出，设，则，进而在中由勾股定理列出关于a的方程，进而用n表示出a，即可表示出及，利用勾股定理，即可解答．
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