广东省江门市蓬江区省实学校2025年中考二模数学试题
1．（2025·蓬江模拟）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果将零下记作，那么表示零上．
故答案为：A．
【分析】
根据正负数表示相反意义的量：零下记作，那么表示零上，即可求解．
2．（2025·蓬江模拟）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一判断即可解答．
3．（2025·蓬江模拟）随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，比原位数少1，由此即可解答．
4．（2025·蓬江模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则得、由积的乘方法则得由幂的乘方运算法则得，由同底数幂的除法法则得，逐一判断即可解答．
5．（2025·蓬江模拟）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可得到答案.
6．（2025·蓬江模拟）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；补角；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 由一副三角板的特殊性可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
由一副三角板的特殊性可知：，，再根据平行线的性质得，然后再根据即可得出的度数，解答即可．
7．（2025·蓬江模拟）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵是上的一条弦，直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
连接，根据垂径定理得，再利用圆周角定理得，最后利用角度得和差运算，即可求解．
8．（2025·蓬江模拟）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
9．（2025·蓬江模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接，
由勾股定理，得，，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据网格的特殊性可由勾股定理得AC、AB、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判定得到为直角三角形，再由正切函数的定义，计算即可解答．
10．（2025·蓬江模拟）定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；乘方的相关概念
【解析】【解答】解：∵
由新运算，可知，
则，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据新定义运算先计算，在计算，最后再计算它们的积解答即可．
11．（2025·蓬江模拟）的相反数是 ．
【答案】
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是；
故答案为：
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可解答．
12．（2025·蓬江模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差分解即可.
13．（2025·蓬江模拟）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】利用与一元二次方程的定义和根的定义得到解之即可求解.
14．（2025·蓬江模拟）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解： 圆锥的侧面扇形弧长为：，
则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的底面积为
，
该圆锥的表面积是．
故答案为：．
【分析】
根据弧长公式得圆锥的侧面扇形弧长为，再由圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可解答.
15．（2025·蓬江模拟）如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；线段的和、差、倍、分的简单计算；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
【分析】
首先根据要使最短，则最短，根据将军饮马模型如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，此时再分别求解的长即可解答．
16．（2025·蓬江模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
先计算平方得，求算术平方根得，开立方运算得，在计算 特殊角的三角函数值 ，然后进行加减计算即可解答．
17．（2025·蓬江模拟）已知中，．
（1）过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）在（1）所作的图中连结，求四边形的周长．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，平分，
∴，
∴四边形的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）要 过点作 ，只需过点C处作一个角等于 ，按照作一个角等于已知角的方法即可解答，再按照作角平分线的方法画图的交点为D，即可解答；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据三线合一和线段的垂直平分线的性质可得出，即可解答．
（1）解：如图，
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，平分，
∴，
∴四边形的周长为．
18．（2025·蓬江模拟）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手A离地面的高度（参考数据：，，）．
【答案】解：过点A作于点D，延长交地面于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴把手A离地面的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；已知正弦值求边长
【解析】【分析】过点A作于点D，延长交地面于点E，根据正弦锐角三角函数的定义得，得到AD的长，再由线段的和差运算计算，即可解答．
19．（2025·蓬江模拟）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96
B 88 87 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中________，_________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
【答案】（1）15；88.5；98
（2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
∵两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，
∴A款聊天机器人更受用户喜爱．
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得：“满意”所占百分比为，
∴“比较满意”所占百分比为，
∴；
∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）先求出“满意”所占的百分比，再用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义把A款的评分数据从小到大排列，取排在中间的两个数的平均数可得b的值，根据众数的定义96出现的次数最多可得c的值，即可解答；
（2）通过比较A，B款的评分统计表的数据，解答即可；
（3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案，解答即可．
（1）解：由题意得：“满意”所占百分比为，
∴“比较满意”所占百分比为，
∴；
∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴；
故答案为：
；
（2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．
20．（2025·蓬江模拟）【问题情境】
如图1，这是一种电风扇的横截面示意图，点为电风扇横截面的圆心，为底座下部的圆的直径，若连接，则与分别交于两点，且．
【问题探究】
（1）如图2，设是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，，求证：是的切线．
【问题解决】
（2）如图2，连接，经测量可得，，，求电风扇的半径的长．
【答案】解：（1），，
，
点是线段的中点，
，
，
即，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，，
，
解得．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由线段的和差运算得到，再由等腰三角形的三线合一即可得到，最后根据可得，即可由切线的判定定理得证，解答即可；
（2）先由SAS证明，利用相似三角形的性质得到，代入数值计算即可解答．
21．（2025·蓬江模拟）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数，且是整数）．
（1）设该影院每天的利润为（单位：元），求与之间的函数关系式；
（2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意可得，，
即与之间的函数关系式是；
（2）解：由（1）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，
此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据利润票房收入运营成本写出与之间的函数关系式，解答即可；
（2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为40元或41元，每天获利最大，解答即可．
（1）解：由题意可得，，
即与之间的函数关系式是；
（2）解：由（1）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，
此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
22．（2025·蓬江模拟）定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形．
（1）直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______．
（2）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积；
（3）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值．
【答案】（1）
（2）解：设点，根据题意，得，
解得.
∵，
∴．
∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，则交点坐标为．
∵两个抛物线的顶点坐标为，
∴伴随三角形的面积；
（3）解：由（2），知，抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，交点坐标为．
∴顶点坐标为．
∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点，
∴当时，是直角三角形，
∴，
即，
解得或（舍去）．
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是
∴衍生抛物线的对称轴是，
∴衍生抛物线的关系式为．
故答案为：；
【分析】
（1）根据衍生抛物线的定义解答即可；
（2）先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案，即可解答；
（3）先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，计算即可解答．
（1）解：∵抛物线的对称轴是
∴衍生抛物线的对称轴是，
∴衍生抛物线的关系式为．
故答案为：；
（2）解：设点，根据题意，得
，
解得.
∵，
∴．
∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，则交点坐标为．
∵两个抛物线的顶点坐标为，
∴伴随三角形的面积；
（3）解：由（2），知，
抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，交点坐标为．
∴顶点坐标为．
∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点，
∴当时，是直角三角形，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以．
23．（2025·蓬江模拟）如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
（1）如图，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
（2）如图，延长交直线于点．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）①全等，理由如下：
在等腰直角三角形中，AD=CD，，
在正方形中，GD=ED，，
又∵，，
∴
在和中，
，
∴（SAS）；
②如解图2，过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，
∵点是的中点，
∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2，
由①得，
∴，
又∵，
∴，
∵AM⊥GD，
∴，
又∵ ，
∴四边形GMNF是矩形，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴
∴，
∴．
（2）①由①得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
②∵，
∴，
∴当最大时，PC最大，
∵∠DAC=45°，是定值，
∴最大时，最大，PC最大，
∵AD=4，GD=2，
∴当GD⊥AG，最大，如解图3，
此时，
又∵，，
∴F点与P点重合，
∴CEFP四点共线，
∴CP=CE+EF=AG+EF=，
∴线段得最大值为：．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）①根据等腰三角形性质可得AD=CD，，根据正方形性质可得GD=ED，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，根据正方形性质可得DE=GD=GF=EF=2，由全等三角形性质可得，则，再根据矩形判定定理可得四边形GMNF是矩形，则，在中，根据勾股定理可得，由锐角三角函数定义可得，再根据直线平行性质可得，由锐角三角函数定义可得，即可求出答案.
（2）①根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即.
②根据锐角三角函数定义可得，则当最大时，PC最大，由∠DAC=45°是定值可得最大时，最大，PC最大，当GD⊥AG，最大，根据勾股定理可得，则CEFP四点共线，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省江门市蓬江区省实学校2025年中考二模数学试题
1．（2025·蓬江模拟）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．（2025·蓬江模拟）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
3．（2025·蓬江模拟）随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·蓬江模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·蓬江模拟）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·蓬江模拟）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·蓬江模拟）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，．若，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·蓬江模拟）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·蓬江模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2025·蓬江模拟）定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·蓬江模拟）的相反数是 ．
12．（2025·蓬江模拟）因式分解： ．
13．（2025·蓬江模拟）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
14．（2025·蓬江模拟）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ．
15．（2025·蓬江模拟）如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为 ．
16．（2025·蓬江模拟）计算：
17．（2025·蓬江模拟）已知中，．
（1）过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）在（1）所作的图中连结，求四边形的周长．
18．（2025·蓬江模拟）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手A离地面的高度（参考数据：，，）．
19．（2025·蓬江模拟）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96
B 88 87 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中________，_________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
20．（2025·蓬江模拟）【问题情境】
如图1，这是一种电风扇的横截面示意图，点为电风扇横截面的圆心，为底座下部的圆的直径，若连接，则与分别交于两点，且．
【问题探究】
（1）如图2，设是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，，求证：是的切线．
【问题解决】
（2）如图2，连接，经测量可得，，，求电风扇的半径的长．
21．（2025·蓬江模拟）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数，且是整数）．
（1）设该影院每天的利润为（单位：元），求与之间的函数关系式；
（2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少
22．（2025·蓬江模拟）定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形．
（1）直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______．
（2）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积；
（3）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值．
23．（2025·蓬江模拟）如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
（1）如图，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
（2）如图，延长交直线于点．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果将零下记作，那么表示零上．
故答案为：A．
【分析】
根据正负数表示相反意义的量：零下记作，那么表示零上，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一判断即可解答．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，比原位数少1，由此即可解答．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则得、由积的乘方法则得由幂的乘方运算法则得，由同底数幂的除法法则得，逐一判断即可解答．
5．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；补角；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 由一副三角板的特殊性可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
由一副三角板的特殊性可知：，，再根据平行线的性质得，然后再根据即可得出的度数，解答即可．
7．【答案】A
【知识点】角的运算；垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵是上的一条弦，直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
连接，根据垂径定理得，再利用圆周角定理得，最后利用角度得和差运算，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接，
由勾股定理，得，，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据网格的特殊性可由勾股定理得AC、AB、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判定得到为直角三角形，再由正切函数的定义，计算即可解答．
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；乘方的相关概念
【解析】【解答】解：∵
由新运算，可知，
则，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据新定义运算先计算，在计算，最后再计算它们的积解答即可．
11．【答案】
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是；
故答案为：
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可解答．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差分解即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】利用与一元二次方程的定义和根的定义得到解之即可求解.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解： 圆锥的侧面扇形弧长为：，
则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的底面积为
，
该圆锥的表面积是．
故答案为：．
【分析】
根据弧长公式得圆锥的侧面扇形弧长为，再由圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可解答.
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；线段的和、差、倍、分的简单计算；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
【分析】
首先根据要使最短，则最短，根据将军饮马模型如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，此时再分别求解的长即可解答．
16．【答案】解：
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
先计算平方得，求算术平方根得，开立方运算得，在计算 特殊角的三角函数值 ，然后进行加减计算即可解答．
17．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，平分，
∴，
∴四边形的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）要 过点作 ，只需过点C处作一个角等于 ，按照作一个角等于已知角的方法即可解答，再按照作角平分线的方法画图的交点为D，即可解答；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据三线合一和线段的垂直平分线的性质可得出，即可解答．
（1）解：如图，
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，平分，
∴，
∴四边形的周长为．
18．【答案】解：过点A作于点D，延长交地面于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴把手A离地面的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；已知正弦值求边长
【解析】【分析】过点A作于点D，延长交地面于点E，根据正弦锐角三角函数的定义得，得到AD的长，再由线段的和差运算计算，即可解答．
19．【答案】（1）15；88.5；98
（2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
∵两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，
∴A款聊天机器人更受用户喜爱．
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得：“满意”所占百分比为，
∴“比较满意”所占百分比为，
∴；
∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）先求出“满意”所占的百分比，再用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义把A款的评分数据从小到大排列，取排在中间的两个数的平均数可得b的值，根据众数的定义96出现的次数最多可得c的值，即可解答；
（2）通过比较A，B款的评分统计表的数据，解答即可；
（3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案，解答即可．
（1）解：由题意得：“满意”所占百分比为，
∴“比较满意”所占百分比为，
∴；
∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴；
故答案为：
；
（2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．
20．【答案】解：（1），，
，
点是线段的中点，
，
，
即，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，，
，
解得．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由线段的和差运算得到，再由等腰三角形的三线合一即可得到，最后根据可得，即可由切线的判定定理得证，解答即可；
（2）先由SAS证明，利用相似三角形的性质得到，代入数值计算即可解答．
21．【答案】（1）解：由题意可得，，
即与之间的函数关系式是；
（2）解：由（1）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，
此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据利润票房收入运营成本写出与之间的函数关系式，解答即可；
（2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为40元或41元，每天获利最大，解答即可．
（1）解：由题意可得，，
即与之间的函数关系式是；
（2）解：由（1）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，
此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
22．【答案】（1）
（2）解：设点，根据题意，得，
解得.
∵，
∴．
∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，则交点坐标为．
∵两个抛物线的顶点坐标为，
∴伴随三角形的面积；
（3）解：由（2），知，抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，交点坐标为．
∴顶点坐标为．
∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点，
∴当时，是直角三角形，
∴，
即，
解得或（舍去）．
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是
∴衍生抛物线的对称轴是，
∴衍生抛物线的关系式为．
故答案为：；
【分析】
（1）根据衍生抛物线的定义解答即可；
（2）先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案，即可解答；
（3）先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，计算即可解答．
（1）解：∵抛物线的对称轴是
∴衍生抛物线的对称轴是，
∴衍生抛物线的关系式为．
故答案为：；
（2）解：设点，根据题意，得
，
解得.
∵，
∴．
∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，则交点坐标为．
∵两个抛物线的顶点坐标为，
∴伴随三角形的面积；
（3）解：由（2），知，
抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，交点坐标为．
∴顶点坐标为．
∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点，
∴当时，是直角三角形，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以．
23．【答案】解：（1）①全等，理由如下：
在等腰直角三角形中，AD=CD，，
在正方形中，GD=ED，，
又∵，，
∴
在和中，
，
∴（SAS）；
②如解图2，过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，
∵点是的中点，
∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2，
由①得，
∴，
又∵，
∴，
∵AM⊥GD，
∴，
又∵ ，
∴四边形GMNF是矩形，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴
∴，
∴．
（2）①由①得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
②∵，
∴，
∴当最大时，PC最大，
∵∠DAC=45°，是定值，
∴最大时，最大，PC最大，
∵AD=4，GD=2，
∴当GD⊥AG，最大，如解图3，
此时，
又∵，，
∴F点与P点重合，
∴CEFP四点共线，
∴CP=CE+EF=AG+EF=，
∴线段得最大值为：．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）①根据等腰三角形性质可得AD=CD，，根据正方形性质可得GD=ED，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，根据正方形性质可得DE=GD=GF=EF=2，由全等三角形性质可得，则，再根据矩形判定定理可得四边形GMNF是矩形，则，在中，根据勾股定理可得，由锐角三角函数定义可得，再根据直线平行性质可得，由锐角三角函数定义可得，即可求出答案.
（2）①根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即.
②根据锐角三角函数定义可得，则当最大时，PC最大，由∠DAC=45°是定值可得最大时，最大，PC最大，当GD⊥AG，最大，根据勾股定理可得，则CEFP四点共线，再根据边之间的关系即可求出答案.
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