广东省2025年中考数学真题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·广东） 某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g， 那么低于标准质量0.02g记作（ ）
A．0.02g B．+0.02g C．0.04g D．+0.04g
2．（2025·广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024—2026年)》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东）计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
4．（2025·广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东） 如图， 点D， E， F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°， 则∠EDF=（ ）
A．20° B．40° C．70° D．110°
6．（2025·广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92， 96， 94， 95， 88， 95. 这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92， 94 B．95， 95 C．94， 95 D．95， 96
7．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W. h)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100W. h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充400W·h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
9．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·广东） 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025·广东）因式分解：a2b+ab2=
12．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是 .
13．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 .
14．（2025·广东） 计算 的结果是 .
15．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
三、解答题 (一)：本大题共3小题，每小题7分，共21
16．（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
17．（2025·广东）如图，点O是 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D. 求证： AD平分∠BAC.
18．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
四、解答题 (二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
20．（2025·广东） 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动(含体育课)的时间(单位：小时)( )(单选) A. 0.5≤x＜ 1 B.l≤x＜1.5 C. 1.5≤x＜2 D. x≥2 每天参加体育活动(合体育课)的时间统计图
2.随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有( )(可多选) E.球类 F.田径类 G.体操类 E.水上类 希望增设的活动项目统计表
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
百分比 72% 23% 40% 46%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与这次问卷调查的学生人数.
（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数.
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议.
21．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22．（2025·广东） 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
23．（2025·广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
（1）如图1， 点P是线段MN的中外比点， MP＞PN， MN=2， 求PN的长.
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比. (保留作图痕迹，不写作法)
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D， E，与对角线OB 相交于点F .当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F 是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题上已知可知高于标准质量记为正，
∴低于标准质量记为负，
∴低于标准质量0.02g记作-0.02g。
故答案为：A。
【分析】用正负数来表示具有相反意义的两种量，高于标准质量记为正，那么低于标准质量就记为负。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：1亿为，3000为，所以3000亿为3×。
故答案为：D .
【分析】将3000亿转化成数字形式，再根据科学记数法的规则进行表示。
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解： 从左边观察由5个大小相同的正方体组成的这个立体图形，我们可以看到：底层有两个正方形，上层有一个正方形位于左上角。
选项A：底层有三个正方形，不符合题意；
选项B：底层有一个正方形，不符合题意；
选项C：底层有二个正方形，上层有一个正方形位于左上角，符合题意；
选项D：底层有二个正方形，上层有一个正方形位于右上角，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 从立体图形的左边观察，利用左视图的定义，确定看到的图形形状。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E为BC，AB的中点
∴DE为三角形的中线
由三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）得DE∥CA
同理得DF∥AB
∵DE∥CA，DF∥AB
∴四边形AEDF为平行四边形
∵平行四边形对角相等
∴∠A＝∠EDF
故答案为：C.
【分析】：可根据三角形中位线定理和平行四边形的判定及性质来求解∠EDF的度数
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：先将这组数据95，92，96，94，95，88，95按照从小到大的顺序排列为：88，92，94，95，95，95，96 。组数据一共有7个，即数据个数为奇数，处于中间位置的数是第四个数95，所以这组数据的中位数是95。一组数据中出现次数最多的数据叫做众数
88出现1次；92出现1次；94出现1次；95出现3次；96出现1次
因为95出现的次数最多，所以这组数据的众数是95 。
故答案为：B.
【分析】根据中位数和众数的定义，分别求出这组数据的中位数和众数。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，当x = 0时，y = 500，所以电池能量最多可充500 W. h 所以A不正确；
B、由题意知：行驶25km消耗能量500 W. h 。那么每行驶10km消耗能量为×10 = 200W.h，所以B不正确；
C、当电池剩余能量y = 0时，对应的x值就是摩托车充满电后最多行驶的里程。由图象可知，当y = 0时，x = 25，即一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，所以C正确；
D、设y与x的函数关系式为y = kx + b（k≠0 ），把(0， 500)，(25， 0)代入可得b = 500 ，k = - 20，所以y = - 20x + 500。当y = 100时，100 = - 20x + 500， 20x = 400，x = 20，即行驶20km时将自动报警，行驶18km时不会报警，所以D不正确。
故答案为：C .
【分析】：通过函数图象联系实际意义（横坐标x为骑行里程，纵坐标y为电池剩余能量 )进行分析，获取相关信息，分别对各选项进行判断，即可得出正确答案。
9．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)
直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8
直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4
联立两方程式得G（6，2）
过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = ，得tan∠GCF=.
故答案为：B.
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。
11．【答案】ab(a+b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2=ab a+ab b=ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）.
【分析】直接提取公因式ab，即可求解.
12．【答案】1：3
【知识点】坐标与图形性质；相似比
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
13．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
14．【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
16．【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
17．【答案】证明：如图， 连接OD，
∵BC切⊙O于 D
∴OD⊥BC
∵△ABC为直角三角形
∴AB⊥BC
∴OD∥AB
∴∠ODA=∠BAD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∴∠BAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】： 利用圆的切线性质、平行线判定及性质、等腰三角形性可以证明。
连OD，构建切线与半径的垂直关系；
由BC切⊙O于D，得OD⊥BC；
因 △ABC是Rt△，AB⊥BC，结合OD⊥BC，推出OD∥AB；由OD平行AB得∠ODA = ∠BAD；又OD = OA（半径相等），得∠ ODA = ∠OAD，从而∠BAD =∠OAD，证得AD平分∠BAC。
18．【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为
由题意可知： 点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)在函数图象上，
代入得：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】 【分析】 以主缆最低点（设低处）为原点，平行桥面水平方向为x轴，竖直向上为y轴建系。
由主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，可得一点（0，0.0015）；
由主跨长1.7km，主塔高0.27km， 桥面距离海平面约0.09km ，可得两点（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
将点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)代入 抛物线可以解得抛物线表达式为y= 。
19．【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
20．【答案】（1）解：35+44+46+75=200(人)
参与这次问卷调查的学生人数是 200 人.
（2）解：
估计人数为375人.
（3）解：信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】：（1）由图示条形图信息可得总人数为35+44+46+75=200人。
（2）由图可知200人中有75人每天参加体育活动时间不低于两小时，所以1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生有1000×=375人。
（3）信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
信息提炼结合数据，建议围绕数据反映的需求和问题提出，合理即可。
21．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
22．【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
23．【答案】（1）解：
设 PN = X，则 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如图所示：
（3）解：①当∠OED = 90°时， OE = DE， 设 E(1，k)
易证△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此时在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
故此时 D 是 AB 的中外分点
在 OB 上，
联立
作
故 F 是 OB的中外分点
②当∠ODE = 90°时， OD = DE， 设E(1，k)
易证
∵D在 上，故
此时在 BC 上，
则
∴E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
则
故 D是 AB的中外分点
此时在OB 上， 可得 联立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分点.
【知识点】反比例函数的概念；尺规作图-垂线；反比例函数-动态几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）用中外比定义建立方程，通过设元、解方程并结合线段长度实际意义（为正 ）取舍，得到PN长。
（2）作线段AB的垂线并截取等长线段，连接AD并在AB上截取等长线段，确定中外比点C。
（3）通过设点坐标，利用反比例函数、等腰直角三角形性质推导线段比例，最终验证是否符合中外比定义，实现对D、E、F是否为中外比点的探究 。
1 / 1广东省2025年中考数学真题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·广东） 某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g， 那么低于标准质量0.02g记作（ ）
A．0.02g B．+0.02g C．0.04g D．+0.04g
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题上已知可知高于标准质量记为正，
∴低于标准质量记为负，
∴低于标准质量0.02g记作-0.02g。
故答案为：A。
【分析】用正负数来表示具有相反意义的两种量，高于标准质量记为正，那么低于标准质量就记为负。
2．（2025·广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024—2026年)》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：1亿为，3000为，所以3000亿为3×。
故答案为：D .
【分析】将3000亿转化成数字形式，再根据科学记数法的规则进行表示。
3．（2025·广东）计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
4．（2025·广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解： 从左边观察由5个大小相同的正方体组成的这个立体图形，我们可以看到：底层有两个正方形，上层有一个正方形位于左上角。
选项A：底层有三个正方形，不符合题意；
选项B：底层有一个正方形，不符合题意；
选项C：底层有二个正方形，上层有一个正方形位于左上角，符合题意；
选项D：底层有二个正方形，上层有一个正方形位于右上角，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 从立体图形的左边观察，利用左视图的定义，确定看到的图形形状。
5．（2025·广东） 如图， 点D， E， F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°， 则∠EDF=（ ）
A．20° B．40° C．70° D．110°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E为BC，AB的中点
∴DE为三角形的中线
由三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）得DE∥CA
同理得DF∥AB
∵DE∥CA，DF∥AB
∴四边形AEDF为平行四边形
∵平行四边形对角相等
∴∠A＝∠EDF
故答案为：C.
【分析】：可根据三角形中位线定理和平行四边形的判定及性质来求解∠EDF的度数
6．（2025·广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92， 96， 94， 95， 88， 95. 这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92， 94 B．95， 95 C．94， 95 D．95， 96
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：先将这组数据95，92，96，94，95，88，95按照从小到大的顺序排列为：88，92，94，95，95，95，96 。组数据一共有7个，即数据个数为奇数，处于中间位置的数是第四个数95，所以这组数据的中位数是95。一组数据中出现次数最多的数据叫做众数
88出现1次；92出现1次；94出现1次；95出现3次；96出现1次
因为95出现的次数最多，所以这组数据的众数是95 。
故答案为：B.
【分析】根据中位数和众数的定义，分别求出这组数据的中位数和众数。
7．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
8．（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W. h)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100W. h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充400W·h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
【答案】C
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，当x = 0时，y = 500，所以电池能量最多可充500 W. h 所以A不正确；
B、由题意知：行驶25km消耗能量500 W. h 。那么每行驶10km消耗能量为×10 = 200W.h，所以B不正确；
C、当电池剩余能量y = 0时，对应的x值就是摩托车充满电后最多行驶的里程。由图象可知，当y = 0时，x = 25，即一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，所以C正确；
D、设y与x的函数关系式为y = kx + b（k≠0 ），把(0， 500)，(25， 0)代入可得b = 500 ，k = - 20，所以y = - 20x + 500。当y = 100时，100 = - 20x + 500， 20x = 400，x = 20，即行驶20km时将自动报警，行驶18km时不会报警，所以D不正确。
故答案为：C .
【分析】：通过函数图象联系实际意义（横坐标x为骑行里程，纵坐标y为电池剩余能量 )进行分析，获取相关信息，分别对各选项进行判断，即可得出正确答案。
9．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
10．（2025·广东） 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)
直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8
直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4
联立两方程式得G（6，2）
过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = ，得tan∠GCF=.
故答案为：B.
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025·广东）因式分解：a2b+ab2=
【答案】ab(a+b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2=ab a+ab b=ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）.
【分析】直接提取公因式ab，即可求解.
12．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是 .
【答案】1：3
【知识点】坐标与图形性质；相似比
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
13．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 .
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
14．（2025·广东） 计算 的结果是 .
【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
15．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
三、解答题 (一)：本大题共3小题，每小题7分，共21
16．（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
17．（2025·广东）如图，点O是 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D. 求证： AD平分∠BAC.
【答案】证明：如图， 连接OD，
∵BC切⊙O于 D
∴OD⊥BC
∵△ABC为直角三角形
∴AB⊥BC
∴OD∥AB
∴∠ODA=∠BAD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∴∠BAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】： 利用圆的切线性质、平行线判定及性质、等腰三角形性可以证明。
连OD，构建切线与半径的垂直关系；
由BC切⊙O于D，得OD⊥BC；
因 △ABC是Rt△，AB⊥BC，结合OD⊥BC，推出OD∥AB；由OD平行AB得∠ODA = ∠BAD；又OD = OA（半径相等），得∠ ODA = ∠OAD，从而∠BAD =∠OAD，证得AD平分∠BAC。
18．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为
由题意可知： 点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)在函数图象上，
代入得：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】 【分析】 以主缆最低点（设低处）为原点，平行桥面水平方向为x轴，竖直向上为y轴建系。
由主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，可得一点（0，0.0015）；
由主跨长1.7km，主塔高0.27km， 桥面距离海平面约0.09km ，可得两点（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
将点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)代入 抛物线可以解得抛物线表达式为y= 。
四、解答题 (二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
20．（2025·广东） 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动(含体育课)的时间(单位：小时)( )(单选) A. 0.5≤x＜ 1 B.l≤x＜1.5 C. 1.5≤x＜2 D. x≥2 每天参加体育活动(合体育课)的时间统计图
2.随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有( )(可多选) E.球类 F.田径类 G.体操类 E.水上类 希望增设的活动项目统计表
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
百分比 72% 23% 40% 46%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与这次问卷调查的学生人数.
（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数.
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议.
【答案】（1）解：35+44+46+75=200(人)
参与这次问卷调查的学生人数是 200 人.
（2）解：
估计人数为375人.
（3）解：信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】：（1）由图示条形图信息可得总人数为35+44+46+75=200人。
（2）由图可知200人中有75人每天参加体育活动时间不低于两小时，所以1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生有1000×=375人。
（3）信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
信息提炼结合数据，建议围绕数据反映的需求和问题提出，合理即可。
21．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22．（2025·广东） 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
23．（2025·广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
（1）如图1， 点P是线段MN的中外比点， MP＞PN， MN=2， 求PN的长.
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比. (保留作图痕迹，不写作法)
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D， E，与对角线OB 相交于点F .当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F 是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.
【答案】（1）解：
设 PN = X，则 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如图所示：
（3）解：①当∠OED = 90°时， OE = DE， 设 E(1，k)
易证△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此时在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
故此时 D 是 AB 的中外分点
在 OB 上，
联立
作
故 F 是 OB的中外分点
②当∠ODE = 90°时， OD = DE， 设E(1，k)
易证
∵D在 上，故
此时在 BC 上，
则
∴E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
则
故 D是 AB的中外分点
此时在OB 上， 可得 联立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分点.
【知识点】反比例函数的概念；尺规作图-垂线；反比例函数-动态几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）用中外比定义建立方程，通过设元、解方程并结合线段长度实际意义（为正 ）取舍，得到PN长。
（2）作线段AB的垂线并截取等长线段，连接AD并在AB上截取等长线段，确定中外比点C。
（3）通过设点坐标，利用反比例函数、等腰直角三角形性质推导线段比例，最终验证是否符合中外比定义，实现对D、E、F是否为中外比点的探究 。
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