4.4探索三角形相似的条件（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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预习衔接.夯实基础 探索三角形相似的条件
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 包河区期中）如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠AED＝∠C C． D．
2．（2024秋 松江区期中）已知，点D是△ABC的边AC上一点，在下列四个条件中：①∠ABD＝∠C；②∠ADB＝∠ABC；③AC BD＝AB BC；④AB2＝AD AC，其中能使得△ABC与△ADB一定相似的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2024秋 西安期中）在三角形纸片ABC中，∠A＝80°，AB＝12，AC＝8，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 锡山区期中）如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
5．（2024秋 碑林区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 西安期中）如图，AD与BC相交于点O，可添加一个条件：　 　，使得△AOB与△DOC相似．
7．（2024秋 泰兴市期中）如图，△ACD的三个顶点均在1×3网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与△ACD有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 　 　．
8．（2024秋 房山区期中）如图，F是△ABC的边AB上的一点，连接CF，要使△CBF∽△ABC，还需要添加一个条件是 　 　.（写出一个即可）
9．（2024秋 奉贤区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为 　 　时，△ACB与△ADC相似．
10．（2024秋 浦东新区期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 安平县期中）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
12．（2024秋 新城区期中）如图．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果P，Q两动点同时运动，那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与△ABC相似？
13．（2024秋 榆树市期中）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么 　 　秒后，PQ的长度等于cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（3）几秒后△PBQ与△ABC相似？
14．（2024 房山区）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C．求证：△ADE∽△ACB．
15．（2024秋 渭南期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，求证：△AEF∽△BEC．
预习衔接.夯实基础 探索三角形相似的条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 包河区期中）如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠AED＝∠C C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据∠1＝∠2得出∠BAC＝∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
A、∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE．
∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵∠C＝∠AED，∠BAC＝∠DAE．
∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、∵，∠B与∠D的大小无法判定，
∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2．（2024秋 松江区期中）已知，点D是△ABC的边AC上一点，在下列四个条件中：①∠ABD＝∠C；②∠ADB＝∠ABC；③AC BD＝AB BC；④AB2＝AD AC，其中能使得△ABC与△ADB一定相似的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，继而求得答案．
【解答】解：如图：
∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故①与②正确；
当，即AB2＝AC AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故④正确；
当，即AC BD＝AB BC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故③错误；
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
3．（2024秋 西安期中）在三角形纸片ABC中，∠A＝80°，AB＝12，AC＝8，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、根据“平行线”法可以判定两个三角形相似，本选项不符合题意；
B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
D、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
4．（2024秋 锡山区期中）如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可．
【解答】解：A．当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；
B．当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；
C．当时，再由∠A＝∠A，无法判定△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D．当AC2＝AD AB，即时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2024秋 碑林区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 西安期中）如图，AD与BC相交于点O，可添加一个条件：　∠B＝∠C（答案不唯一）　，使得△AOB与△DOC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】∠B＝∠C（答案不唯一）．
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：如图所示：∠AOB＝∠DOC，再添加另一对对应角相等或该夹角两组对应边的比相等即可．
例如：∠A＝∠D或∠B＝∠C或．
故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7．（2024秋 泰兴市期中）如图，△ACD的三个顶点均在1×3网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与△ACD有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 　△ECA（答案不唯一）　．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】△ECA（答案不唯一）．
【分析】由CD：AC＝AC：CE，∠ACD＝∠ACE，判定△ACD∽△ECA即可．
【解答】解：这个格点三角形可以是△ECA（答案不唯一），理由如下：
由勾股定理得：，
∵CD＝1，CE＝2，
∴，，
∴CD：AC＝AC：CE，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴△ACD∽△ECA．
故答案为：△ECA（答案不唯一）．
【点评】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2024秋 房山区期中）如图，F是△ABC的边AB上的一点，连接CF，要使△CBF∽△ABC，还需要添加一个条件是 　∠BCF＝∠BAC（答案不唯一）　.（写出一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型；创新意识．
【答案】∠BCF＝∠BAC（答案不唯一）．
【分析】因为两个三角形的两组角对应相等，这两个三角形互为相似三角形，因为△ABC和△ACD有一组公共角相等，所以再加一组角即可．
【解答】解：可添加条件∠BCF＝∠BAC．
∵∠B＝∠B，∠B＝∠ACD，
∴△CBF∽△ABC．
故答案为：∠BCF＝∠BAC（答案不唯一）．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，如果两组对应角分别相等的两个三角形互为相似三角形．
9．（2024秋 奉贤区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为 　3或3　时，△ACB与△ADC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可．
【解答】解：∵AD＝2，CD，
∴AC．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．
即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
故答案为：3或3．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．
10．（2024秋 浦东新区期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 　4.5　．
【考点】相似三角形的判定；三角形的面积．
【专题】作图题；图形的相似；应用意识．
【答案】4.5．
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于3，画出这个相似三角形即可解决问题．
【解答】解：图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A′B′C′如图所示：
S△A′B′C′3×3＝4.5，
故答案为4.5．
【点评】本题考查相似三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 安平县期中）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CB＝9，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，
∴BC＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
12．（2024秋 新城区期中）如图．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果P，Q两动点同时运动，那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与△ABC相似？
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，
则AP＝2t cm，BP＝（8﹣2t）cm，BQ＝4t cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当 时，△BPQ∽△BAC，
即，
解得：t＝2，
当 时，△BPQ∽△BCA，
即，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，准确分析题意列出方程求解是解题的关键．
13．（2024秋 榆树市期中）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么 　3　秒后，PQ的长度等于cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（3）几秒后△PBQ与△ABC相似？
【考点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）1秒；
（3）或．
【分析】（1）利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴PQ2＝BP2+BQ2，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得t＝﹣1（舍去）或3．
故答案为：3；
（2）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5），
此时AP＝x cm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2x cm，
由，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得x＝1或x＝4（舍去）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（3）当△PBQ∽△ABC时，，
∴，
解得，；
当△QBP∽△ABC时，，
∴，
解得，
综上，或后△PBQ与△ABC相似．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的判定，勾股定理，根据题意找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”“PQ的长度等于”，得出等量关系是解决问题的关键．
14．（2024 房山区）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C．求证：△ADE∽△ACB．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解．
【解答】证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．（2024秋 渭南期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，求证：△AEF∽△BEC．
【考点】相似三角形的判定；对顶角、邻补角；三角形内角和定理．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据题意可得∠ADB＝∠AEF＝90°，对顶角∠BFD＝∠AFE，再利用三角形内角和定理得∠FBD＝∠FAC，因此得证△AEF∽△BEC．
【解答】证明：在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，
∴∠ADB＝∠AEF＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAC，
∴△AEF∽△BEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，对顶角、邻补角，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
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