4.5相似三角形判定定理的证明（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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预习衔接.夯实基础 相似三角形判定定理的证明
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 锡山区校级期中）如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，延长FH交BC于点M，连接EM．下列结论：①△EFM是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当点M与点C重合时，DF＝3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH MH＝AB2．其中结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024秋 滨湖区期中）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 铁西区期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝8，则EF的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
4．（2024秋 杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点G是中线AH上一点，且，点D、E分别在边AB、AC上，DE经过点G．那么下列结论中，错误的是（　　）
A．如果AD＝3BD，那么DE∥BC
B．如果点E与点C重合，那么AD：BD＝3：2
C．的和是一个定值
D．的和是一个定值
5．（2024 玉田县二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝20cm，BD＝10cm，AQ＝8m，则树高为（　　）
A．8m B．8cm C．4m D．4cm
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 嘉定区期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，﹣2），△AB′O′∽△ABO（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B'、点O'，O'的坐标为（﹣1，0），点B'在第四象限，那么点B'的坐标为 　 　．
7．（2024秋 南安市期中）如图，△ABC的面积为16，将△ABC沿AD方向平移，使A的对应点A′满足AA′DA′，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 　 　．
8．（2024秋 商河县期中）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝4，则AE＝　 　．
9．（2024秋 包河区期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为1cm/s，点Q运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 　 　．
10．（2024秋 松江区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在△ABC外，若∠DGC＝∠B，则正方形边长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在BA的延长线上，点F在边AC上，∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若BE＝12，CF＝2，求BC的长．
12．（2024秋 宜兴市期中）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若BE＝3，EC＝7，求CF的长．
13．（2024秋 崂山区期中）如图，点P为线段AB上一点，在AB的同侧作等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形PBD，AD与BC，PC分别相交于点E，F，BC与PD交于点H．
（1）求证：△APD∽△CPB；
（2）求∠FEH的度数．
14．（2024秋 商河县期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝9，AD＝6，，求矩形FFGH的面积．
15．（2024秋 奉贤区期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD＝4AE，联结BE并延长交AC于点F，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G．
（1）求AG：BC的值；
（2）求GF：BE的值．
预习衔接.夯实基础 相似三角形判定定理的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 锡山区校级期中）如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，延长FH交BC于点M，连接EM．下列结论：①△EFM是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当点M与点C重合时，DF＝3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH MH＝AB2．其中结论正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质可得②的结论正确；利用角平分线的定义和平角的性质可得①的结论正确；利用①②的结论和相似三角形的判定与性质可得⑤的结论正确；设AE＝EB＝2a，则AB＝BC＝CD＝DA＝4a，通过证明△AEF∽△BCE，利用相似三角形的判定与性质求得AF＝a，得到DF＝3AF，说明③的结论正确；通过举出反例说明④的结论不正确，从而得出正确选项．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠A＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵将△AEF沿EF折叠得到△HEF，
∴△AEF≌△HEF，
∴AE＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，∠AEF＝∠HEF．
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝HE．
在Rt△BEM和Rt△HEM中，
，
∴Rt△BEM≌Rt△HEM（HL），
∴②的结论正确；
∵△BEM≌△HEM，
∴∠HEM＝∠BEM，
∵∠AEF+∠HEF+∠HEM+∠BEM＝180°，
∴2∠FEH+2∠HEM＝180°，
∴∠FEH+∠HEM＝90°，
即∠FEM＝90°，
∴△EFM是直角三角形．
∴①的结论正确；
∵∠FEM＝90°，EH⊥FM，
∴△EHF∽△MHE，
∴，
∴EH2＝FH MH．
∵EH＝EBAB，
∴，
∴4FH MH＝AB2．
∴⑤的结论正确；
当点M与点C重合时，如图，
设AE＝EB＝2a，则AB＝BC＝CD＝DA＝4a，
由①知：∠FEM＝90°，
∴∠FEA+∠CEB＝90°，
∵∠AFE+∠FEA＝90°，
∴∠AFE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴，
∴，
∴AF＝a．
∴DF＝AD﹣AF＝3a，
∴DF＝3AF．
∴③的结论正确；
当点F与点D重合时，如图，
显然，MF不能平分正方形ABCD的面积，
∴④的结论不正确．
∴正确的结论有：①②③⑤，共四个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，中点的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反证法，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2024秋 滨湖区期中）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，利用网格特征得到AC＝3，BG＝2.5，再证明△ACE∽△BGE，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，
则AC＝3，BG＝2.5，
∵AC∥BG，
∴△ACE∽△BGE，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
3．（2024秋 铁西区期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝8，则EF的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，
∴，
∴，
∵EF∥AB交BC于点F，AB＝8，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
∴EF＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
4．（2024秋 杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点G是中线AH上一点，且，点D、E分别在边AB、AC上，DE经过点G．那么下列结论中，错误的是（　　）
A．如果AD＝3BD，那么DE∥BC
B．如果点E与点C重合，那么AD：BD＝3：2
C．的和是一个定值
D．的和是一个定值
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】面积法；推理能力．
【答案】D
【分析】通过设，，由三角形面积公式SabsinC推出S△ADG和S△ABH、S△AEG和S△ACH的比值，进而得出S△ADE和S△ABC的比值为（m+n），根据三角形面积公式又得出S△ADE和S△ABC之比等于mn，由此得出．显然进而选项C正确，选项D错误；对于选项A，通过两边对应成比例及夹角相等证得△DAE∽△BAC，然后由同位角相等即可证明DE∥BC；对于选项B，由n＝1推出m，进而得到AD：BD＝3：2．
【解答】解：设，，S△ADG＝S1，S△AEG＝S2，S△ABC＝2S．
∵根据三角形面积公式：ahabsinC．
∴m，n，
∵BH＝CHBC．
∴S△ABH＝S△ACHS△ABC＝S．
∴（m+n）．
又∵mn．
∴，即．
当AD＝3BD，，又因∠DAE＝∠BAC，则△DAE∽△BAC，∠ADE＝∠ABC．
∴DE∥BC，选项A正确．
当点E与点C重合，n＝1，则m，即AD：AB＝3：5．
∴AD：BD＝3：2，选项B正确．
由于，选项C正确．
而m+nmn，不是定值，选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，比例的性质，平行线的判定等知识点．根据两个三角形的面积之比得出相关边之比是解答本题的关键．
5．（2024 玉田县二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝20cm，BD＝10cm，AQ＝8m，则树高为（　　）
A．8m B．8cm C．4m D．4cm
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】由BD∥PQ，推出△ABD∽△AQP，利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∴，
∴PQ＝400cm＝4m，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 嘉定区期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，﹣2），△AB′O′∽△ABO（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B'、点O'，O'的坐标为（﹣1，0），点B'在第四象限，那么点B'的坐标为 　（，﹣3）　．
【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（，﹣3）．
【分析】作BC⊥x轴于点C，B′D⊥x轴于点D，则△AB′D∽△ABC，所以，由A（2，0）、B（1，﹣2）、O′（﹣1，0），得AO＝2，AO′＝3，C（1，0），则AC＝1，BC＝2，由△AB′O′∽△ABO，得，则，求得B′D＝3，AD，则OD，所以B'（，﹣3），于是得到问题的答案．
【解答】解：作BC⊥x轴于点C，B′D⊥x轴于点D，则B′D∥BC，
∴△AB′D∽△ABC，
∴，
∵A（2，0）、B（1，﹣2）、O′（﹣1，0），
∴AO＝2，AO′＝2﹣（﹣1）＝3，C（1，0），
∴AC＝2﹣1＝1，BC＝0﹣（﹣2）＝2，
∵△AB′O′∽△ABO，
∴，
∴，
∴B′D＝3，AD，
∴OD＝AO﹣AD＝2，
∵点B'在第四象限，
∴点B'的坐标为（，﹣3），
故答案为：（，﹣3）．
【点评】此题重点考查坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2024秋 南安市期中）如图，△ABC的面积为16，将△ABC沿AD方向平移，使A的对应点A′满足AA′DA′，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 　9　．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平移的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】9．
【分析】设BC与A′B′相交于点E，BC与A′C′相交于点F，根据已知易得：，再利用平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠B＝∠A′ED，∠BAD＝∠EA′D，进而可得△ABD∽△A′ED，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得S△A′EDS△ABD，同理可得：S△A′DFS△ADC，进而可得S△A′EFS△ABC，＝9，即可解答．
【解答】解：如图：设BC与A′B′相交于点E，BC与A′C′相交于点F，
∵AA′DA′，
∴，
由平移得：AB∥A′B′，
∴∠B＝∠A′ED，∠BAD＝∠EA′D，
∴△ABD∽△A′ED，
∴（）2，
∴S△A′EDS△ABD，
同理可得：S△A′DFS△ADC，
∴S△A′EF＝S△A′ED+S△A′DFS△ABD，S△ADC，S△ABC，16＝9，
∴平移前后两三角形重叠部分的面积是9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2024秋 商河县期中）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝4，则AE＝　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】2．
【分析】首先证明Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），推导出AE＝EF，结合矩形AEFG，推导出四边形AEFG为正方形，然后利用∠GAH＝∠FEC，∠G＝∠C，推导出△GAH∽△CEF，，进而得到AG EF＝AH CE，代入数据得到AE2＝4×3＝12．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB，∠B＝∠C＝90°，
∴∠AEB+∠EAB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠EAB＝∠CEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE∠ADC＝45°，
在Rt△CDE中，CE＝CD＝AB，
在Rt△ECF和Rt△ABE中，
，
∴Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），
∴AE＝EF，
在矩形AEFG中，AG＝EF＝AE，
∴四边形AEFG为正方形，
∴∠G＝90°，
∴AG∥EF，
∴∠GAH＝∠FEC，
又∵∠G＝∠C，
∴△GAH∽△CEF，
∴，
∴AG EF＝AH CE，
∴AE2＝4×3＝12，
∴AE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到△GAH∽△CEF．
9．（2024秋 包河区期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为1cm/s，点Q运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 　2s或s　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2s或s．
【分析】设点P运动的时间为t s，则AP＝t cm，CQ＝2t cm，AQ＝（8﹣2t）cm，再分两种情况求t的值，一是∠APQ＝∠C，则△AQP∽△ACB，，可得方程；二是∠APQ＝∠B，则△APQ∽△ABC，，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．
【解答】解：设点P运动的时间为t s，则AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴AQ＝（8﹣2t）cm，
∵∠A＝∠A，
∴当∠APQ＝∠C时，则△AQP∽△ACB，
∴，可得方程；
解得t；
当∠APQ＝∠B时，则△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
解得t＝2，
综上所述，当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2s或s．
故答案为：2s或s．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用是解题的关键．
10．（2024秋 松江区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在△ABC外，若∠DGC＝∠B，则正方形边长为 　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据正方形的性质得到DE＝FG＝EF，∠GFC＝∠DEB＝90°，DG∥BC，求得∠DGC＝∠GCB，得到∠GCB＝∠B，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，根据相似三角形的性质得到BE＝2DE，求得CE＝EF＝BFBC．
【解答】解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝FG＝EF，∠GFC＝∠DEB＝90°，DG∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB，
∵∠DGC＝∠B，
∴∠GCB＝∠B，
在△GFC与△DEB中，
，
∴△GFC≌△DEB（AAS），
∴BE＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴BE＝2DE，
∴BF＝EF，
∵BE＝CF，
∴CE＝EF＝BFBC，
∴正方形边长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在BA的延长线上，点F在边AC上，∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若BE＝12，CF＝2，求BC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，根据三角形的外角的性质结合已知可得∠FDC＝∠E，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠E，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠E，
∴△BDE∽△CFD，
（2）解：∵△BDE∽△CFD
∴，
又∵D是BD的中点，
∴BD＝CD，
∵BE＝12，CF＝2，
∴BD2＝BE CF＝24，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2024秋 宜兴市期中）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若BE＝3，EC＝7，求CF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝2.1．
【分析】（1）根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，而AE⊥EF，利用同角的余角相等可以得到∠EAB＝∠CEF，由此即可证明两个三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质和正方形的性质可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C，AB＝BC，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAB＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵BE＝3，EC＝7，
∴AB＝BC＝BE+CE＝10，
∵△ABE∽△ECF，
∴AB：CE＝BE：CF，
∴10：7＝3：CF，
∴CF＝2.1．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
13．（2024秋 崂山区期中）如图，点P为线段AB上一点，在AB的同侧作等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形PBD，AD与BC，PC分别相交于点E，F，BC与PD交于点H．
（1）求证：△APD∽△CPB；
（2）求∠FEH的度数．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）135°．
【分析】（1）先证明△PAC∽△PBD得PA：PD＝PC：PB，再证明∠APD＝∠CPB，据此即可得出结论；
（2）依题意得∠PBD＝∠PBC+∠CBD＝45°，∠FEH＝∠EDB+∠CBD＝∠PDA+90°+∠CBD，再由（1）的结论得∠PDA＝∠PBC，则∠PDA+∠CBD＝45°，由此可得出∠FEH得度数．
【解答】（1）证明：∵△PAC和△PBD均为等腰直角三角形，如图所示：
∴∠PAC＝∠PDB＝90°，∠1＝∠2＝∠PBD＝45°，
∴△PAC∽△PBD，
∴PA：PD＝PC：PB，
∵∠1＝∠2＝45°，
∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，
即∠APD＝∠CPB，
又∵PA：PD＝PC：PB，
∴PA：PC＝PD：PB，
∴△APD∽△CPB；
（2）∵∠PBD＝∠PBC+∠CBD＝45°，
∴∠FEH＝∠EDB+∠5＝∠PDA+90°+∠CBD，
由（1）的结论得：∠PDA＝∠PBC，
∴∠PDA+∠CBD＝45°，
∴∠FEH＝∠PDA+90°+∠CBD＝135°．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
14．（2024秋 商河县期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝9，AD＝6，，求矩形FFGH的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】．
【分析】通过证明△AEH∽△ABC得出，通过证明△BEF∽△BAD得出，根据等式的性质可得，代入数值求解即可．
【解答】解：∵矩形EFGH内接于△ABC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠ABC，∠AHE＝∠ACB，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
同理∵AD⊥BC，EF⊥FG，
∴EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，∠BFE＝∠BDA，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即矩形FFGH的面积为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2024秋 奉贤区期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD＝4AE，联结BE并延长交AC于点F，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G．
（1）求AG：BC的值；
（2）求GF：BE的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：（1）∵AG∥BC，AD＝4AE，
∴，
∵D为BC的中点，
∴BD＝DCBC，
∵AG∥BC，
∴，
（2）根据（1）BE＝3（GF+FE），BF＝6GF，
∴6GF﹣EF＝3GF+3EF，
∴EFGF，
∴GF：BE＝4：21，
故答案为：（1）；（2）4：21．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
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