4.7相似三角形的性质（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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预习衔接.夯实基础 相似三角形的性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 龙岗区期中）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024秋 泉州期中）若两个相似三角形周长的比为2：3，则这两个三角形的面积比是（　　）
A．1：2 B．2：3 C．4：6 D．4：9
3．（2024秋 杨浦区期中）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 通海县模拟）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 白银模拟）△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（　　）
A．15 B．14.4 C．12 D．10.8
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 中原区校级期中）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（6，4），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 　 　．
7．（2024秋 济南期中）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ 　 　．
8．（2024秋 郑州校级期中）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上事物点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于　 　．
9．（2024 望花区三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　 　．
10．（2024秋 惠山区期中）如图，在等腰△ABC中，，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD＝ 　 　，DQ的最小值为 　 　cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
12．（2024秋 昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2．
（1）求EF的长．
（2）求证：∠BEF＝90°．
13．（2024秋 沈丘县期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
14．（2024秋 武侯区校级期末）如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
15．（2024秋 新民市期中）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
预习衔接.夯实基础 相似三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 龙岗区期中）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】相似三角形的性质；数轴．
【专题】计算题；数形结合；运算能力．
【答案】D
【分析】利用数轴知识和三角形相似的性质解答．
【解答】解：∵由题意可知线段平行，
∴可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式，
，
，
AB＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴和三角形相似的性质，解题的关键是掌握数轴知识和三角形相似的性质．
2．（2024秋 泉州期中）若两个相似三角形周长的比为2：3，则这两个三角形的面积比是（　　）
A．1：2 B．2：3 C．4：6 D．4：9
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的面积比为22：32＝4：9．
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．（2024秋 杨浦区期中）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，
∴△ABC∽△EDF或△ABC∽△FDE，
当△ABC∽△EDF时，
，，故A、D正确，不符合题意；
当△ABC∽△FDE时，
，故B正确，不符合题意；
两组相似三角形中BC，EF均不是对应边，故C一定不成立．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键．
4．（2024 通海县模拟）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
5．（2024 白银模拟）△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（　　）
A．15 B．14.4 C．12 D．10.8
【考点】相似三角形的性质．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，
∴，
∵△ABC面积为10，
∴解得：S△A′B′C′＝14.4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 中原区校级期中）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（6，4），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 　（4，0）或（，0）　．
【考点】相似三角形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（4，0）或（，0）．
【分析】首先根据一次函数确定点A（﹣2，0），B（0，4），然后根据点C判定BC∥x轴，进而得出∠C＝∠CAE，然后根据相似三角形的判定方法列比例式解答即可．
【解答】解：当x＝0时，则y＝2x+4＝4，
当y＝0时，则2x+4＝0，解得x＝﹣2；
∴A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（0，4），
∵C（6，4），
∴BC∥x轴，BC＝6，AC4，
∴∠C＝∠CAE，
如果△ABD和△ACE相似，
则或，
即或，
解得AE＝6或AE，
∴OE＝4或OE，
∴点E的坐标为：（4，0）或（，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形判定方法是解题的关键．
7．（2024秋 济南期中）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ 　　．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且AD：DB＝2：3，
∴，
∴（）2，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2024秋 郑州校级期中）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上事物点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于　或4　．
【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】若△BDE与△ABC相似，则∠BED＝90°或∠BDE＝90°，
①当∠BED＝90°时，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当∠BDE＝90°时，由折叠的性质得，∠EDF＝∠A＝90°，则点F在BC上，这与题意不符．
【解答】解：若△BDE与△ABC相似，则∠BED＝90°或∠BDE＝90°，
①当∠BED＝90°时，∵∠A＝90°，
∴DE∥AC，
∴，
由折叠的性质得，DE＝AE，∠AEF＝∠DEF，
∴，
解得：AE，
∵DE∥AC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EFAE；
②当∠BDE＝90°时，
由折叠的性质得，∠EDF＝∠A＝90°，
则点F与点C重合，
∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，
∴BC15，
∵∠A＝∠EDB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴DE＝4，
∴AE＝4，
∴EF4，
综上所述，折痕EF的长度等于或4，
故答案为：或4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的判断和现在，折叠的性质，正确的理解题意是解题的关键．
9．（2024 望花区三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为　（，）或（4，3）　．
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】（，）或（4，3）．
【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．
【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴，即，
解得：PE＝3，
∴点P（4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴，即：，
解得：PE，BE，
∴OE＝8，
∴点P（，）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）；
故答案为：（，）或（4，3）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2024秋 惠山区期中）如图，在等腰△ABC中，，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD＝ 　　，DQ的最小值为 　　cm．
【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】，．
【分析】，先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据题意易得AD的值，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可．
【解答】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AC，
∴AP＝AQ，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ＝∠ACB，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝30°，
∴∠DCQ＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∵AB＝ACcm，∠BAC＝120°，
∴AC＝6，AD，
∵AD⊥BC，
∴CD＝3，
∴CH，DH．
∴DQ的最小值即为．
故答案为：，．
【点评】本题考查相似三角形和等腰三角形的性质，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】运动时间是秒．
【分析】首先设运动了t秒，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析得出t的值，再由“其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动”可得t的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：设运动了t秒．
根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC﹣CQ＝（15﹣3t）cm，
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得，
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得，
∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，
∴P点运动时长最多为秒，Q点运动时长最多为15÷3＝5秒，
∴，
∵，，
∴，
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是秒．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边的比相等．
12．（2024秋 昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2．
（1）求EF的长．
（2）求证：∠BEF＝90°．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理的逆定理；矩形的性质．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，，结合已知条件，从而得到DF的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果；
（2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果．
【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
∴DF＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠EDF＝90°，
∴在Rt△DEF中，
；
（2）证明：∵△ABE∽△DEF，
∴∠ABE＝∠DEF，
∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°．
【点评】本题考查了三角形相似的性质，以及矩形性质，勾股定理的应用，关键是合理应用三角形相似的性质．
13．（2024秋 沈丘县期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
14．（2024秋 武侯区校级期末）如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）70°；
（2）2．
【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，
∴∠ADC＝35°+35°＝70°；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AD＝3，BD＝5，
∴，
解得：AC＝2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
15．（2024秋 新民市期中）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
【考点】相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明见解析部分．
【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论．
（2）如图2中，当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明△ACB∽△DCA，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝35°，
∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°，
∴∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）解：如图2中，当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．
理由：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“理想对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
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