4.8图形的位似（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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预习衔接.夯实基础 图形的位似
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 武强县期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
2．（2024秋 铁西区期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF﹣AC＝8，则DF+AC为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
3．（2024秋 城关区期中）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
4．（2024 裕华区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
5．（2024秋 滨湖区期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（　　）
A．， B．（4，5），（5，0）
C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 潍坊期中）如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　．
7．（2024秋 武侯区校级期中）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为 　 　．
8．（2024秋 长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 　 　．
9．（2024秋 牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 　 　．
10．（2024秋 富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 鹤山市期中）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；A（2，3）与D 　 　；B 　 　与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F 　 　；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 　 　；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
12．（2024秋 南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为k，则△A1B1C1的周长是 　 　（用含k的代数式表示）．
13．（2024秋 市中区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA′B′的面积；
（3）若点P（m，n）在边OB上，直接写出点P位似后的对应点P1的坐标 　 　．
14．（2024秋 商河县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，相似比是2；
（2）请直接写出点B′，C′的坐标：B′（ 　 　，　 　），C′（ 　 　，　 　）．
15．（2024秋 郑州校级期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为　 　．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
预习衔接.夯实基础 图形的位似
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 武强县期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】结合题意可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为2：3，进而可得答案．
【解答】解：∵OA＝2AD，
∴OA：OD＝2：3．
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，
∴△ABC与△DEF的位似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：3．
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为6．
故选：A．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
2．（2024秋 铁西区期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF﹣AC＝8，则DF+AC为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据题意可知，再结合位似图形的性质可得，结合DF﹣AC＝8解得AC、DF的值，进而可得答案．
【解答】解：△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，OA：AD＝1：2，
∴，
∴，
∴DF＝3AC，
∵DF﹣AC＝8，
∴3AC﹣AC＝2AC＝8，
解得AC＝4，
∴DF＝3AC＝12，
∴DF+AC＝12+4＝16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的定义和性质是解题关键．
3．（2024秋 城关区期中）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心．
【解答】解：连接AA′，CC′，交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D．
【点评】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．
4．（2024 裕华区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【答案】D
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．（2024秋 滨湖区期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（　　）
A．， B．（4，5），（5，0）
C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点A′，B′的坐标．
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），
∴点A′的坐标为（2×2，2×3），点B′的坐标为（3×2，0×2），即点A′的坐标为（4，6），点B′的坐标为（6，0），
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 潍坊期中）如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　（0，2）　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的相似；几何直观．
【答案】（0，2）．
【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．
【解答】解：如图所示：位似中心点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
7．（2024秋 武侯区校级期中）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为 　（2，﹣4）　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（2，﹣4）．
【分析】利用相似的性质得到△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，然后把点A1的横纵坐标分别乘以﹣2得到点A2的坐标．
【解答】解：∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，
∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，
而点A1的坐标为（﹣1，2），
∴点A2的坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．（2024秋 长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 　4　．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】4．
【分析】由题意得四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，即AB：AB'＝3：2，进而可得答案．
【解答】解：∵以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，
∴四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，
∴AB：AB'＝3：2，
∵AB＝6，
∴AB′＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
9．（2024秋 牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 　﹣5　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】﹣5．
【分析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，然后根据位似图形的性质解答即可．
【解答】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，
∵△ABC放大到原来的3倍得到△A′B′C，
∴3（﹣2﹣x）＝9，
解得：x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是位似图形的性质，灵活运用位似图形坐标的性质列方程计算是解题的关键．
10．（2024秋 富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　（﹣1，2）或（1，﹣2）　．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的A的横纵坐标都乘以或得到A的对应点A′的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，
而A（﹣2，4），
∴A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）]，
即（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 鹤山市期中）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；A（2，3）与D 　（﹣2，﹣3）　；B 　（1，2）　与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F 　（﹣3，﹣1）　；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 　互为相反数　；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
【考点】几何变换的类型；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）（﹣2，﹣3），（1，2），（﹣3，﹣1），互为相反数；
（2）a＝﹣1，b＝﹣1．
【分析】（1）根据点D，B，F的位置写出坐标即可；
（2）利用规律构建方程组求解．
【解答】解：（1）A（2，3）与D（﹣2，﹣3）；B（1，2）与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F（﹣3，﹣1）；
对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数；
故答案为：（﹣2，﹣3），（1，2），（﹣3，﹣1），互为相反数；
（2）由题意，
解得．
∴a＝﹣1，b＝﹣1．
【点评】本题考查几何变换的类型，坐标与图形性质，解题的关键是掌握中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
12．（2024秋 南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为k，则△A1B1C1的周长是 　2k　（用含k的代数式表示）．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）2k．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，进而可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
∵△ABC的周长为k，
∴△A1B1C1的周长是2k．
故答案为：2k．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
13．（2024秋 市中区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA′B′的面积；
（3）若点P（m，n）在边OB上，直接写出点P位似后的对应点P1的坐标 　（2m，2n）　．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）10．
（3）（2m，2n）．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）根据位似的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求．
（2）△OA′B′的面积为18﹣4﹣4＝10．
（3）由题意得，点P位似后的对应点P1的坐标为（2m，2n）．
故答案为：（2m，2n）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
14．（2024秋 商河县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，相似比是2；
（2）请直接写出点B′，C′的坐标：B′（ 　﹣2　，　8　），C′（ 　﹣6　，　4　）．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）﹣2；8；﹣6；4．
【分析】（1）根据位似即可得解；
（2）根据（1）中的图即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）根据图得，B′（﹣2，8），C′（﹣6，4）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，解题的关键是理解题意，掌握位似．
15．（2024秋 郑州校级期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为　　．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析．
【分析】（1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转90°的对应点，然后再顺次连接即可；
（2）由题意得，点M′是O′A′的中点，利用中点坐标公式求解即可；
（3）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△O′A′B即为所求．
（2）∵点M是OA的中点，
∴点M′是O′A′的中点，
根据作图可知：O′（1，5），A′（4，4），
∴点M′的坐标为；
（3）如图，△O2A2B即为所求．
【点评】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
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