6.2反比例函数的图象与性质（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

中小学教育资源及组卷应用平台
预习衔接.夯实基础 反比例函数的图象与性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 碑林区校级期中）若点，（﹣2，y2），均在反比例函数的图象上．则下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
2．（2024秋 中原区校级期中）若点（5，2）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　）
A．（﹣5，2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，﹣2） D．（2，﹣5）
3．（2024秋 青秀区校级期中）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
4．（2024 明水县一模）描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 蚌埠模拟）如图，P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点M，N，则△PMN的面积为（　　）
A．1 B．1.2 C．2 D．2.4
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 闵行区期中）如果反比例函数的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 　 　．
7．（2024秋 中原区校级期中）如图，正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，若△ABC的面积为8，则k的值为 　 　．
8．（2024 兴庆区校级一模）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝4，则k的值是 　 　．
9．（2024秋 浦东新区校级期中）已知直线y1＝（m+2n）x与双曲线交于点，则当时他们的纵坐标的大小关系为 　 　．
10．（2024秋 新城区期中）已知，一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 包河区期中）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（1，m）、B（3，m﹣2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出满足时x的取值范围．
（3）连接AO并延长交的另一支于点C，连接BC，求△ABC的面积．
12．（2024秋 碑林区校级期中）如图，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点，已知A点坐标为（a，3）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
13．（2024 济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
14．（2024秋 曲周县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．
已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的解析式．
15．（2024秋 宣化区期末）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，6），B（6，1）两点，且与x轴，y轴交于点M，N．
（1）填空：k2＝　 　；m＝　 　；在第一象限内，当y1＞y2时，x的取值范围为 　 　；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）点E在线段AB上，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝2，求点F的坐标．
预习衔接.夯实基础 反比例函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 碑林区校级期中）若点，（﹣2，y2），均在反比例函数的图象上．则下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∴点，（﹣2，y2），均在第三象限，
∵2，
∴y2＞y1＞y3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2024秋 中原区校级期中）若点（5，2）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　）
A．（﹣5，2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，﹣2） D．（2，﹣5）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先求出k的值，再根据同一个反比例函数图象上的点，横纵坐标的积都等于k，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：∵点（5，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝5×2＝10．
因为﹣5×2＝﹣10≠10，5×（﹣2）＝﹣10≠10，﹣5×（﹣2）＝10，2×（﹣5）＝﹣10≠10，
所以该图象也过点（﹣5，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2024秋 青秀区校级期中）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣m＜0即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣图象的两支分布在第二、四象限，
∴2﹣m＜0，
解得m＞2．
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质；反比例函数中的比例系数小于0，图象的两个分支在第二、四象限是关键．
4．（2024 明水县一模）描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质可知函数y在第一、三象限，对称中心为原点，根据函数平移的规律，把y向左平移1个单位得到y，对称中心为（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵k＝1，
∴函数y在第一、三象限，对称中心为原点，
把y向左平移1个单位得到y，对称中心为（﹣1，0），
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，函数y与函数y的关系是解题的关键．
5．（2024 蚌埠模拟）如图，P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点M，N，则△PMN的面积为（　　）
A．1 B．1.2 C．2 D．2.4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设P（m，），根据题意得到N（m，），M（，），即可求得PM＝mmm，PN，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：设P（m，），则N（m，），M（，），
∴PM＝mmm，PN，
∴△PMN的面积为：1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 闵行区期中）如果反比例函数的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 　k＜1　．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用反比例函数的性质求解．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
7．（2024秋 中原区校级期中）如图，正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，若△ABC的面积为8，则k的值为 　8　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据反比例函数图象的对称性得出点A和点C关于坐标原点O对称，再结合反比例函数中k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于A，C两点，
所以点A和点C关于坐标原点O对称，
则OA＝OC．
因为△ABC的面积为8，
所以S△ABO4．
因为AB⊥x轴，
所以S△ABO4，
解得k＝±8．
又因为反比例函数的图象位于第一、三象限，
所以k＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中k的几何意义是解题的关键．
8．（2024 兴庆区校级一模）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝4，则k的值是 　16．　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】16．
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设C（4，a），则E（2，a+4），
可得：4a＝2×（a+4），
解得：a＝4，
故C（4，4），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴4，
∴k＝16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
9．（2024秋 浦东新区校级期中）已知直线y1＝（m+2n）x与双曲线交于点，则当时他们的纵坐标的大小关系为 　y1＞y2　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】y1＞y2．
【分析】根据直线y1＝（m+2n）x与双曲线的交点在第一象限，可根据各函数的增减性进行判断大小．
【解答】解：∵直线y1＝（m+2n）x与双曲线的交点在第一象限，
∴直线y随x的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
可知：当时，y1＞y2，
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
10．（2024秋 新城区期中）已知，一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是 　0＜x＜2或x＞5　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】0＜x＜2或x＞5．
【分析】y1＜y2即直线位于双曲线下方部分，根据图象即可得到答案．
【解答】解：∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数交于点（2，5），（5，2），y1＜y2即直线位于双曲线下方部分，
∴根据图象可知不等式解集为：0＜x＜2或x＞5．
故答案为：0＜x＜2或x＞5．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 包河区期中）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（1，m）、B（3，m﹣2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出满足时x的取值范围．
（3）连接AO并延长交的另一支于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）1＜x＜3或x＜0；（3）8．
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；
（2）根据图象和交点坐标，直接写出不等式的解集即可；
（3）过点C作x轴的平行线交直线AB于点D，先求出直线AB的解析式，再求出点D坐标，利用S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD代入数据计算即可．
【解答】解：（1）由题意得m＝3（m﹣2），解得m＝3，
∴k＝1×3＝3，
即反比例函数的解析式为；
（2）由图象和两函数交点坐标A（1，3），B（3，1）可知，不等式的解集为：1＜x＜3或x＜0；
（3）如图，过点C作x轴的平行线交直线AB于点D，
由反比例函数图象的中心对称性质可知C（﹣1，﹣3），
∵A（1，3），B（3，1）在一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象上，
，解得，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
当y＝﹣3时，x＝7，
∴D（7，﹣3），
∴S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD8×68．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
12．（2024秋 碑林区校级期中）如图，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点，已知A点坐标为（a，3）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣3，k＝﹣1；
（2）m．
【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）根据直线y＝﹣x向上平移m个单位长度，可得直线CD解析式为y＝﹣x+m，根据三角形全等的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数图象上，
所以3，解得a＝﹣3，
将A（﹣3，3）代入y＝kx，
∴k＝﹣1；
（2）∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF，
∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，
∴C（﹣m，2m），
∵双曲线y过点C，
∴﹣m 2m＝﹣9，
解得m或（舍去），
∴m．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键．
13．（2024 济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，可得△EHB≌△BFA（AAS），则设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，得到点E（6﹣2n，4n﹣2），根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，
过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
14．（2024秋 曲周县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点F，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．
已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：；（2）y＝﹣x+5．
【分析】（1）将点A（4，1）代入，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式；
（2）先证△CDB∽△CEA，由CE＝4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AB的解析式．
【解答】解：（1）将点A（4，1）代入，得：m2﹣3m＝4，
解得，m1＝4，m2＝﹣1，
∴m的值为4或﹣1；
反比例函数解析式为：；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB＝∠CEA＝90°，
∴△CDB∽△CEA，
∴，
∵CE＝4CD，
∴AE＝4BD，
∵A（4，1），
∴AE＝4，
∴BD＝1，
∴xB＝1，
∴，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴yAB＝﹣x+5．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．
15．（2024秋 宣化区期末）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，6），B（6，1）两点，且与x轴，y轴交于点M，N．
（1）填空：k2＝　6　；m＝　1　；在第一象限内，当y1＞y2时，x的取值范围为 　1＜x＜6　；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）点E在线段AB上，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF＝2，求点F的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）6；1；1＜x＜6；
（2）；
（3）（2，3）或（3．，2）．
【分析】（1）先把B（6，1）代入可求出k2＝6，再把A（m，6）代入，求得m＝1，再结合图象可判断出x的取值范围；
（2）根据S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM可求解；
（3）设设点E的坐标为（a，﹣a+7），则点F的坐标为（a，），构建方程求出a的值即可．
【解答】解：（1）把B（6，1）代入得，
∴k2＝6，
∴反比例函数解析式为，
把A（m，6）代入，得m＝1，
∴A（1，6），
由图象得，在第一象限内，当y1＞y2时，x的取值范围为1＜x＜6．
故答案为：6；1；1＜x＜6；
（2）把A（1，6）和B（6，1）代入y1＝k1x+b中，
得，解得，
∴直线AB的表达式为y1＝﹣x+7，
当y＝0时，x＝7
∴M（7，0），
∴；
（3）设点E的坐标为（a，﹣a+7），则点F的坐标为，
∴，
又EF＝2，
∴，解得a1＝2，a2＝3，
∴点F的坐标为（2，3）或（3．，2）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)