浙江省天域全国名校协作体2024-2025学年高三下学期3月联考数学试题
1．（2025高三下·浙江月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三下·浙江月考）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3．（2025高三下·浙江月考）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三下·浙江月考）设为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高三下·浙江月考）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
6．（2025高三下·浙江月考）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三下·浙江月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三下·浙江月考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三下·浙江月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．数据的第百分位数为
B．已知随机变量，若，则
C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
10．（2025高三下·浙江月考）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（ ）
A．1 B．i
C． D．
11．（2025高三下·浙江月考）已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．是的极大值
B．当时，
C．当时，有且仅有一个零点，且
D．若存在极小值点，且，其中，则
12．（2025高三下·浙江月考）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为 ．
13．（2025高三下·浙江月考）若函数在上恰有2个零点，则符合条件的a为 .
14．（2025高三下·浙江月考）若存在实数使得，则实数的取值范围为 .
15．（2025高三下·浙江月考）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
16．（2025高三下·浙江月考）已知，，，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围.
17．（2025高三下·浙江月考）在列联表（表一）的卡方独立性检验中，，其中为第i行第j列的实际频数，如，而第i行的行频率第j列的列频率总频数，为第i行第j列的理论频数，如.
abcd
10203040
（表一） （表二）
（1）求表二列联表的值；
（2）求证：题干中与课本公式等价，其中.
18．（2025高三下·浙江月考）已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
19．（2025高三下·浙江月考）已知N为偶数，给定数列，，…，，记为，对作如下变换：
①将中的奇数项取出，按原顺序构成新数列的前项；
②将中的偶数项取出，按原顺序构成新数列的第项到第N项.
称上述操作为T变换，构成的新数列为，记，定义为操作k次后得到的新数列，即，，其中表示数列中的第i项.
（1）若，求，，；
（2）令，，其中数列的各项互不相同，记，规定为集合C的元素个数：
（i）求；
（ii）求不超过10的最大正整数m，满足.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据题意化简集合，
又因为集合，
则.
故答案为：B.
【分析】
先利用对数运算求出集合B，结合交集定义计算求解.
2．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由于函数，
则函数的最小正周期为，并且函数是偶函数.
故答案为：D.
【分析】首先利用诱导公式化简得出，利用公式求出最小正周期及判断奇偶性即可得到结果.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量满足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是.
故答案为：D.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再利用数量积求投影向量公式，从而得出在方向上的投影向量.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】当，则函数在上为增函数，
则，
令，求导后得在区间上恒成立，
则在区间上单调递增，所以，
则在区间上恒成立，并且与互为反函数，关于对称，
则当时，，所以，
所欲，所以“”是“”的充分条件，
同理反之当，当时，，
但是，则“”不是“”的必要条件，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】因为函数的单调性和时，，即充分性成立；采用特殊值可进行判断必要性不成立即可得到结果.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】，
，
，
，
化简得：，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，化简求出公差，紧接着根据，化简即可得到结果．
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，
共种走法，
当第二步走两级台阶，所以其余6步中有两步是上两级，
则，
则第二步走两级台阶的概率为.
故答案为：C
【分析】根据古典概型概率公式结合组合数计算即可得到结果.
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】画出图象，则边长关系如下：
，，
设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，则，
并且侧棱长为，所以，
同时，
设，所以，，
所以，解得：，
所以，则球的表面积为，
故答案为：B.
【分析】根据题意，画出图形，设外接球半径为，利用直角梯形结合勾股定理得到半径，利用公式求出球的表面积.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】连接，因为关于轴对称，所以，
设，，
所以，并且，化简有，
则，
又因为，所以，，
同理可得，
由，则，化简得，
同时，将代入，化简有，
则，所以，则.
故答案为：B.
【分析】先假设两个点的坐标，以及焦点坐标，根据题意，结合点的坐标求出距离，结合比例关系化简即可得到结果.
9．【答案】B,C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】A，首先对数据从小排到大进行排序得：，
接着计算，数据的第百分位数为，则A错误，
B，由于，所以，则B正确，
C，因为，所以，则C正确，
D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为，
由于，所以，又，
，
则，故选D错误，
故答案为：BC.
【分析】对于A，利用百分位数的方法进行运算，求出第百分位数，得到结果；对于B，利用正态分布的对称性，得到结果；C，根据残差的运算得到结果；D，根据方差的定义以及运算得到结果.
10．【答案】A,C,D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由定义可知：方程在复数范围内有个根，所以这个根在复平面上对应的点坐标：，
∴在复数范围内的根为.
对于A：令，则，所以是方程的根，A正确.
对于B：因为，令，所以，当k值不是整数，B错误.
对于C：，因为，所以，为整数，C正确.
对于D：令，则，所以是方程的根，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】
利用定义，结合复数的三角形式得到在复数范围内的根为，取k值对每一个选项进行判断即可得到结果.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】A，由于，求导得，
1.当时，令，求出或，
当或时，所以，
当时，所以，
则是的极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为，
2.当时，，由极值的定义知，的极大值为，无极小值，
3.当时，令
求出或，
当或时，，
当时，，
则是的极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为，
所以，是的极大值，则选项A正确，
B，由于，因为A知，在区间上单调递增，
并且，所以，，
利用单调性判断得：，故选项B错误，
C，因为时，则，
而的增区间为，，减区间为，
所以时，，
并且，，
所以根据零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，且，则C正确；
D，由于存在极小值点，所以，所以，
并且，所以，化简得，
提公因式：，并且，则，所以选项D正确，
故答案为：ACD.
【分析】A，对函数求导，接着对进行分类讨论得到函数单调性，得到处取得极大值；B，利用A的解析中对单调性进行判断，即可得到结果；C，根据的单调性及零点存在性质原理，进行判断；D，结合选项A有，再根据选项中条件得，进行判断.
12．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，，所以，
又因为直线方程为，
并且直线与圆相交，所以，
化简：．
故答案为：．
【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可即可得到结果．
13．【答案】1
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】令，所以或，
因为，
当时，在上没有零点，
所以在上应有2个零点，
由于，则，即，
与联立得，因为，所以a无解；
当时，在上有1个零点，
则在上有1个零点，满足题意；
综上得符合条件的为1．
故答案为：1．
【分析】利用转化的数学思想，将零点转化成一个二次函数零点与正弦型函数交点的问题，结合对、分类讨论，即可得到结果.
14．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】由于 ，
设，，，
令，
所以，
又因为，并且点在圆上，画出图象如下：
所以，
因为，所以的最大值为，
所以存在实数使得
即 ，
化简得 ，
故答案为：.
【分析】先对所给的式子进行化简，得到，利用距离几何意义对式子进行转化为 ，利用图象以及三角不等式求解即可得到结果.
15．【答案】（1）延长交于点，连接，，
，且，
，
点为的中点，
为的重心，
、、三点共线，且，
，
又侧面，侧面，
侧面；
（2）在侧面内，过作，垂足为，
侧面底面，，侧面，
底面，由于底面，则，
又因为侧棱与底面成的角，并且，
，，，
在底面内，过作交的延长线于点，连接，
，平面，
平面，
因为平面，，
平面与底面的交线为，
为所求二面角的平面角，
，，
，
在中，，
所以平面与底面成锐二面角的正切值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用，结合相似三角形的比例关系，得到直线与直线平行，结合线面平行的判定定理，即可得到结果；
（2）利用“1做，二证，三求解”思路，先在两个半平面内各找一条直线垂直于交线，得到二面角的平面角，利用三角形的三边关系求解．
（1）延长交于点，连接，，
，且，
，
点为的中点，
为的重心，
、、三点共线，且，
，
又侧面，侧面，
侧面；
（2）在侧面内，过作，垂足为，
侧面底面，，侧面，
底面，因为底面，所以，
又侧棱与底面成的角，，
，，，
在底面内，过作交的延长线于点，连接，
，平面，
平面，又平面，，
平面与底面的交线为，
为所求二面角的平面角，
，，
，
在中，，
故平面与底面成锐二面角的正切值为．
16．【答案】（1）由题意得，函数定义域为.∵，∴.
若，则，在上单调递减.
若，令得，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，∵，∴，
∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为.
由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立，
将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集.
由得，，故函数的值域为，
∴.
∵，
∴，解得或，
∴实数b的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，对a的值进行分类谈论得到函数的单调性；
（2）先利用导数求出函数的切线斜率，结合点的坐标得到直线方程，接着利用两函数值域之间的包含关系可求b的取值范围.
（1）由题意得，函数定义域为.
∵，∴.
若，则，在上单调递减.
若，令得，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
∵，∴，
∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为.
由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立，
将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集.
由得，，故函数的值域为，
∴.
∵，
∴，解得或，
∴实数b的取值范围是.
17．【答案】（1）由题意得，
所以；
（2）列联表如下：
a b
c d
则，
所以，
同理，
所以
【知识点】2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题意，利用题中的公式进行求解即可得到结果；
（2）利用题中所给的公式以及课本中的公式进行运算化简，即可得到.
（1）由题意得，
所以；
（2）列联表如下：
a b
c d
则，
所以，
同理，
所以
18．【答案】（1）由题意可得：，所以，
所以直线的方程为：，
设，
联立抛物线方程消去得：，
所以，
所以，
因为，所以，
即，解得：，
所以抛物线方程为：
（2）由（1）得，假设存在满足题意，
过点得动直线方程为，
联立，解得则，设，
联立，消去得：，
所以，
直线得斜率为，直线得斜率为，
直线的斜率为，
因为直线的斜率均成等差数列，
所以，
整理得：，对任意恒成立，
所以，解得：或，此时，
即存在或满足题意；
【知识点】等差数列的性质；直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率进而求出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，根据进行变形得进而求出p的值；
（2）假设存在满足题意，同时假设过点得动直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合斜率公式求得得斜率，接着利用等差数列列出等式进行化简即可得到结果；
（1）由题意可得：，所以，
所以直线的方程为：，
设，
联立抛物线方程消去得：，
所以，
所以，
因为，所以，
即，解得：，
所以抛物线方程为：
（2）由（1）得，假设存在满足题意，
过点得动直线方程为，
联立，解得则，设，
联立，消去得：，
所以，
直线得斜率为，直线得斜率为，
直线的斜率为，
因为直线的斜率均成等差数列，
所以，
整理得：，对任意恒成立，
所以，解得：或，此时，
即存在或满足题意；
19．【答案】（1），，；
（2）（i）当时，；
当时，；
记满足，若，则，有
当时，；
，为以2为首项以2为公比的等比数列，，
此时有，可知，
当时，，故，
此时有，因此为周期数列，；
（ii）因为，若，则不断操作下去，
有，且对于任意，要么，要么，
于是有，所以，
经检验，不超过10的最大正整数，此时，
，以此类推，符合条件.
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，代入题中所给的公式进行求解即可得到结果；
（2）（i）根据题中的定义求出
（ii）利用题中的定义得到，结合得到式子，将m值取特殊值进行代入，即可得到结果。
（1），，；
（2）（i）当时，；
当时，；
记满足，若，则，有
当时，；
，为以2为首项以2为公比的等比数列，，
此时有，可知，
当时，，故，
此时有，因此为周期数列，；
（ii）因为，若，则不断操作下去，
有，且对于任意，要么，要么，
于是有，所以，
经检验，不超过10的最大正整数，此时，
，以此类推，符合条件.
1 / 1浙江省天域全国名校协作体2024-2025学年高三下学期3月联考数学试题
1．（2025高三下·浙江月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据题意化简集合，
又因为集合，
则.
故答案为：B.
【分析】
先利用对数运算求出集合B，结合交集定义计算求解.
2．（2025高三下·浙江月考）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由于函数，
则函数的最小正周期为，并且函数是偶函数.
故答案为：D.
【分析】首先利用诱导公式化简得出，利用公式求出最小正周期及判断奇偶性即可得到结果.
3．（2025高三下·浙江月考）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量满足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是.
故答案为：D.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再利用数量积求投影向量公式，从而得出在方向上的投影向量.
4．（2025高三下·浙江月考）设为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】当，则函数在上为增函数，
则，
令，求导后得在区间上恒成立，
则在区间上单调递增，所以，
则在区间上恒成立，并且与互为反函数，关于对称，
则当时，，所以，
所欲，所以“”是“”的充分条件，
同理反之当，当时，，
但是，则“”不是“”的必要条件，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】因为函数的单调性和时，，即充分性成立；采用特殊值可进行判断必要性不成立即可得到结果.
5．（2025高三下·浙江月考）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】，
，
，
，
化简得：，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，化简求出公差，紧接着根据，化简即可得到结果．
6．（2025高三下·浙江月考）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，
共种走法，
当第二步走两级台阶，所以其余6步中有两步是上两级，
则，
则第二步走两级台阶的概率为.
故答案为：C
【分析】根据古典概型概率公式结合组合数计算即可得到结果.
7．（2025高三下·浙江月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】画出图象，则边长关系如下：
，，
设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，则，
并且侧棱长为，所以，
同时，
设，所以，，
所以，解得：，
所以，则球的表面积为，
故答案为：B.
【分析】根据题意，画出图形，设外接球半径为，利用直角梯形结合勾股定理得到半径，利用公式求出球的表面积.
8．（2025高三下·浙江月考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】连接，因为关于轴对称，所以，
设，，
所以，并且，化简有，
则，
又因为，所以，，
同理可得，
由，则，化简得，
同时，将代入，化简有，
则，所以，则.
故答案为：B.
【分析】先假设两个点的坐标，以及焦点坐标，根据题意，结合点的坐标求出距离，结合比例关系化简即可得到结果.
9．（2025高三下·浙江月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．数据的第百分位数为
B．已知随机变量，若，则
C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
【答案】B,C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】A，首先对数据从小排到大进行排序得：，
接着计算，数据的第百分位数为，则A错误，
B，由于，所以，则B正确，
C，因为，所以，则C正确，
D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为，
由于，所以，又，
，
则，故选D错误，
故答案为：BC.
【分析】对于A，利用百分位数的方法进行运算，求出第百分位数，得到结果；对于B，利用正态分布的对称性，得到结果；C，根据残差的运算得到结果；D，根据方差的定义以及运算得到结果.
10．（2025高三下·浙江月考）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（ ）
A．1 B．i
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由定义可知：方程在复数范围内有个根，所以这个根在复平面上对应的点坐标：，
∴在复数范围内的根为.
对于A：令，则，所以是方程的根，A正确.
对于B：因为，令，所以，当k值不是整数，B错误.
对于C：，因为，所以，为整数，C正确.
对于D：令，则，所以是方程的根，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】
利用定义，结合复数的三角形式得到在复数范围内的根为，取k值对每一个选项进行判断即可得到结果.
11．（2025高三下·浙江月考）已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．是的极大值
B．当时，
C．当时，有且仅有一个零点，且
D．若存在极小值点，且，其中，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】A，由于，求导得，
1.当时，令，求出或，
当或时，所以，
当时，所以，
则是的极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为，
2.当时，，由极值的定义知，的极大值为，无极小值，
3.当时，令
求出或，
当或时，，
当时，，
则是的极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为，
所以，是的极大值，则选项A正确，
B，由于，因为A知，在区间上单调递增，
并且，所以，，
利用单调性判断得：，故选项B错误，
C，因为时，则，
而的增区间为，，减区间为，
所以时，，
并且，，
所以根据零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，且，则C正确；
D，由于存在极小值点，所以，所以，
并且，所以，化简得，
提公因式：，并且，则，所以选项D正确，
故答案为：ACD.
【分析】A，对函数求导，接着对进行分类讨论得到函数单调性，得到处取得极大值；B，利用A的解析中对单调性进行判断，即可得到结果；C，根据的单调性及零点存在性质原理，进行判断；D，结合选项A有，再根据选项中条件得，进行判断.
12．（2025高三下·浙江月考）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，，所以，
又因为直线方程为，
并且直线与圆相交，所以，
化简：．
故答案为：．
【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可即可得到结果．
13．（2025高三下·浙江月考）若函数在上恰有2个零点，则符合条件的a为 .
【答案】1
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】令，所以或，
因为，
当时，在上没有零点，
所以在上应有2个零点，
由于，则，即，
与联立得，因为，所以a无解；
当时，在上有1个零点，
则在上有1个零点，满足题意；
综上得符合条件的为1．
故答案为：1．
【分析】利用转化的数学思想，将零点转化成一个二次函数零点与正弦型函数交点的问题，结合对、分类讨论，即可得到结果.
14．（2025高三下·浙江月考）若存在实数使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】由于 ，
设，，，
令，
所以，
又因为，并且点在圆上，画出图象如下：
所以，
因为，所以的最大值为，
所以存在实数使得
即 ，
化简得 ，
故答案为：.
【分析】先对所给的式子进行化简，得到，利用距离几何意义对式子进行转化为 ，利用图象以及三角不等式求解即可得到结果.
15．（2025高三下·浙江月考）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
【答案】（1）延长交于点，连接，，
，且，
，
点为的中点，
为的重心，
、、三点共线，且，
，
又侧面，侧面，
侧面；
（2）在侧面内，过作，垂足为，
侧面底面，，侧面，
底面，由于底面，则，
又因为侧棱与底面成的角，并且，
，，，
在底面内，过作交的延长线于点，连接，
，平面，
平面，
因为平面，，
平面与底面的交线为，
为所求二面角的平面角，
，，
，
在中，，
所以平面与底面成锐二面角的正切值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用，结合相似三角形的比例关系，得到直线与直线平行，结合线面平行的判定定理，即可得到结果；
（2）利用“1做，二证，三求解”思路，先在两个半平面内各找一条直线垂直于交线，得到二面角的平面角，利用三角形的三边关系求解．
（1）延长交于点，连接，，
，且，
，
点为的中点，
为的重心，
、、三点共线，且，
，
又侧面，侧面，
侧面；
（2）在侧面内，过作，垂足为，
侧面底面，，侧面，
底面，因为底面，所以，
又侧棱与底面成的角，，
，，，
在底面内，过作交的延长线于点，连接，
，平面，
平面，又平面，，
平面与底面的交线为，
为所求二面角的平面角，
，，
，
在中，，
故平面与底面成锐二面角的正切值为．
16．（2025高三下·浙江月考）已知，，，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围.
【答案】（1）由题意得，函数定义域为.∵，∴.
若，则，在上单调递减.
若，令得，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，∵，∴，
∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为.
由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立，
将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集.
由得，，故函数的值域为，
∴.
∵，
∴，解得或，
∴实数b的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，对a的值进行分类谈论得到函数的单调性；
（2）先利用导数求出函数的切线斜率，结合点的坐标得到直线方程，接着利用两函数值域之间的包含关系可求b的取值范围.
（1）由题意得，函数定义域为.
∵，∴.
若，则，在上单调递减.
若，令得，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
∵，∴，
∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为.
由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立，
将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集.
由得，，故函数的值域为，
∴.
∵，
∴，解得或，
∴实数b的取值范围是.
17．（2025高三下·浙江月考）在列联表（表一）的卡方独立性检验中，，其中为第i行第j列的实际频数，如，而第i行的行频率第j列的列频率总频数，为第i行第j列的理论频数，如.
abcd
10203040
（表一） （表二）
（1）求表二列联表的值；
（2）求证：题干中与课本公式等价，其中.
【答案】（1）由题意得，
所以；
（2）列联表如下：
a b
c d
则，
所以，
同理，
所以
【知识点】2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题意，利用题中的公式进行求解即可得到结果；
（2）利用题中所给的公式以及课本中的公式进行运算化简，即可得到.
（1）由题意得，
所以；
（2）列联表如下：
a b
c d
则，
所以，
同理，
所以
18．（2025高三下·浙江月考）已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）由题意可得：，所以，
所以直线的方程为：，
设，
联立抛物线方程消去得：，
所以，
所以，
因为，所以，
即，解得：，
所以抛物线方程为：
（2）由（1）得，假设存在满足题意，
过点得动直线方程为，
联立，解得则，设，
联立，消去得：，
所以，
直线得斜率为，直线得斜率为，
直线的斜率为，
因为直线的斜率均成等差数列，
所以，
整理得：，对任意恒成立，
所以，解得：或，此时，
即存在或满足题意；
【知识点】等差数列的性质；直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率进而求出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，根据进行变形得进而求出p的值；
（2）假设存在满足题意，同时假设过点得动直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合斜率公式求得得斜率，接着利用等差数列列出等式进行化简即可得到结果；
（1）由题意可得：，所以，
所以直线的方程为：，
设，
联立抛物线方程消去得：，
所以，
所以，
因为，所以，
即，解得：，
所以抛物线方程为：
（2）由（1）得，假设存在满足题意，
过点得动直线方程为，
联立，解得则，设，
联立，消去得：，
所以，
直线得斜率为，直线得斜率为，
直线的斜率为，
因为直线的斜率均成等差数列，
所以，
整理得：，对任意恒成立，
所以，解得：或，此时，
即存在或满足题意；
19．（2025高三下·浙江月考）已知N为偶数，给定数列，，…，，记为，对作如下变换：
①将中的奇数项取出，按原顺序构成新数列的前项；
②将中的偶数项取出，按原顺序构成新数列的第项到第N项.
称上述操作为T变换，构成的新数列为，记，定义为操作k次后得到的新数列，即，，其中表示数列中的第i项.
（1）若，求，，；
（2）令，，其中数列的各项互不相同，记，规定为集合C的元素个数：
（i）求；
（ii）求不超过10的最大正整数m，满足.
【答案】（1），，；
（2）（i）当时，；
当时，；
记满足，若，则，有
当时，；
，为以2为首项以2为公比的等比数列，，
此时有，可知，
当时，，故，
此时有，因此为周期数列，；
（ii）因为，若，则不断操作下去，
有，且对于任意，要么，要么，
于是有，所以，
经检验，不超过10的最大正整数，此时，
，以此类推，符合条件.
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，代入题中所给的公式进行求解即可得到结果；
（2）（i）根据题中的定义求出
（ii）利用题中的定义得到，结合得到式子，将m值取特殊值进行代入，即可得到结果。
（1），，；
（2）（i）当时，；
当时，；
记满足，若，则，有
当时，；
，为以2为首项以2为公比的等比数列，，
此时有，可知，
当时，，故，
此时有，因此为周期数列，；
（ii）因为，若，则不断操作下去，
有，且对于任意，要么，要么，
于是有，所以，
经检验，不超过10的最大正整数，此时，
，以此类推，符合条件.
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