【江苏专版】52 第十二章 第1节 机械振动 课件《高考快车道》2026高考物理一轮总复习
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| 名称 | 【江苏专版】52 第十二章 第1节 机械振动 课件《高考快车道》2026高考物理一轮总复习 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-07-17 13:40:59 | ||
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文档简介
(共124张PPT)
第十二章 机械振动 机械波
第十二章 机械振动 机械波
知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第1节 机械振动 简谐运动 2019T13：简谐运动的回复力、速度、位移 2021T4：简谐运动的公式 高考对本章的考查形式有选择题、实验题和计算题。命题热点为简谐运动的特点及波长、波速和频率的关系，波动与振动的综合应用。
简谐运动的公式和图像
单摆周期公式
受迫振动和共振
第十二章 机械振动 机械波
知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第2节 机械波 机械波、横波和纵波 2021适应考T8：振动和波 2024T7：机械波传播时间 高考对本章的考查形式有选择题、实验题和计算题。命题热点为简谐运动的特点及波长、波速和频率的关系，波动与振动的综合应用。
横波的图像
波速、波长和频率(周期)的关系
波的干涉和衍射现象
多普勒效应
实验十七 用单摆测量重力加速度的大小
第1节
机械振动
链接教材·夯基固本
一、简谐运动的描述与规律
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从________的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)条件：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向________。
正弦函数
平衡位置
(3)平衡位置：物体在振动过程中______为零的位置。
(4)回复力
①定义：使物体返回到________的力。
②方向：总是指向________。
③来源：属于____力，可以是某一个力，也可以是几个力的____或某个力的____。
回复力
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
(5)简谐运动的特征
①动力学特征：F＝____。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
－kx
2．简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图 弹簧振子(水平)
模型 弹簧振子 单摆
简谐运动条件 ①弹簧质量要忽略 ②无摩擦等阻力 ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等
③最大摆角小于等于5°
回复力 弹簧的____提供 摆球____沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
弹力
重力
模型 弹簧振子 单摆
平衡位置 弹簧处于_____处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量转化 __________与动能的相互转化，机械能守恒 _________与动能的相互转化，机械能守恒
原长
弹性势能
重力势能
3．简谐运动的表达式
(1) 回复力与位移关系，即动力学表达式： F＝_______其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)振动位移与时间关系，即运动学表达式：x＝________________，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表______。
－kx
A sin (ωt＋φ)
初相位
二、简谐运动的图像
1．物理意义：表示振子的____随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线。
2．简谐运动的图像
(1)从________开始计时，函数表达式为
x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
(2)从________开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
位移
平衡位置
最大位置
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在____________作用下的振动。
(2)特点：受迫振动的频率等于______的频率，与系统的固有频率____。
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的________时，受迫振动的振幅最大。
(2)条件：驱动力的频率等于________。
(3)特征：共振时振幅____。
周期性驱动力
驱动力
无关
固有频率
固有频率
最大
(4)共振曲线(如图所示)。f＝f0时，A＝___，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅____。
Am
越小
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。 ( )
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。 ( )
(3)公式x＝A sin ωt说明是从平衡位置开始计时。 ( )
×
×
√
×
(4)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。 ( )
(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。 ( )
(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。 ( )
√
×
二、教材习题衍生
1．(失重对振动的影响)图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A处后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是( )
A．图甲中的小球将保持静止
B．图甲中的小球仍将来回振动
C．图乙中的小球仍将来回摆动
D．图乙中的小球将做匀速圆周运动
√
B [题图甲中小球做简谐运动，回复力为弹力，在太空中不受重力影响，仍来回振动，故A错误，B正确；题图乙中小球受重力影响来回摆动，太空中处于完全失重状态，故不能摆动或做匀速圆周运动，故C、D错误。故选B。]
2．(简谐运动的描述与规律)如图所示，沿直线做简谐运动的物体，经过A点时，加速度大小为3 m/s2，经过B点时，加速度大小为4 m/s2，且两处加速度方向相同，则运动的( )
A．平衡位置在A、B两点之间
B．平衡位置到A点的距离小于到B点的距离
C．物体经过A点时的速度小于B点时的速度
D．振幅小于A、B两点间的距离
√
B [因加速度方向相同，即物体在平衡位置同一侧，振幅大于A、B两点间的距离，故A、D错误；根据简谐运动回复力F＝－kx可知，加速度越小，离平衡位置越近，速度越大，即平衡位置到A点的距离小于到B点的距离，物体经过A点时的速度大于B点时的速度，故B正确，C错误。故选B。]
3．(简谐运动的规律与共振)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆，重力加速度为g。下列说法不正确的是( )
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π
C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
√
C [某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度 a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π， 而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。]
4．(简谐运动的图像)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
A．t＝0.2 s时，振动物体的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振动物体的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐减小
D．在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是80 cm
√
A [由题图乙可知，t＝0.2 s时，振动物体远离平衡位置向右运动，位移增大，根据F＝－kx可知，回复力方向向左，故加速度方向向左，A正确；t＝0.6 s时，振动物体向左运动衡位置，故振动物体的速度方向向左，B错误；在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，C错误；在t＝0到t＝2.4 s 时间内，振动物体通过的路程是4A× ＝60 cm，D错误。]
5．(简谐运动的特点)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道所含圆弧的度数很小，O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到到达O点过程中都经过图中的P点。下列判断正确的是( )
A．M比N后到达O点
B．M、N通过P点时所受的回复力相同
C．M有可能在P点追上N并与之相碰
D．从释放到到达O点过程中，重力对M的冲量比重力对N的冲量大
√
B [根据T＝2π，两个小球做简谐运动的周期相同，M、N同时到达O点，故A错误；M、N通过P点时所受的回复力相同，均为小球在该点重力沿着切线方向的分力，故B正确；M、N同时到达O点，则M不可能在P点追上N并与之相碰，故C错误；从释放到到达O点过程中，根据I＝mgt，重力对M的冲量等于重力对N的冲量，故D错误。]
细研考点·突破题型
[典例1] (简谐运动的描述)(2021·江苏卷)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为( )
考点1 简谐运动的描述与规律
A．x＝R sin B．x＝R sin
C．x＝2R sin D．x＝2R sin
B [由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)，由题图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin ， 故B正确，A、C、D错误。]
√
[典例2] (简谐运动中各物理量分析)(2025·江苏常州模拟)蹦床运动是运动员利用弹性蹦床的反弹在空中表演杂技的竞技运动。若t＝0时刻，一运动员在最高点自由下落，直至运动到弹性蹦床最低点的过程中，忽略空气阻力，则运动员的速度v、加速度a随时间t及动能Ek、机械能E随位移x变化的关系图像可能正确的是( )
A B
C D
√
A [一运动员在最高点自由下落，直至运动到弹性蹦床最低点的过程中，运动员开始一段时间只受到重力作用，做自由落体运动，之后受到重力和弹性蹦床的弹力作用，从接触弹性蹦床到弹力等于重力的阶段，根据牛顿第二定律，有mg－kx＝ma，弹性蹦床对运动员的弹力逐渐变大，运动员的加速度逐渐减小，所以运动员做加速度减小的加速运动，当弹性蹦床的弹力大于运动员的重力之后，合力向上，根据牛顿第二定律可知kx－mg＝ma′，运动员做加速度增大的减速运动，因为速度—时间图像的斜率表示加速度，故A正确；
运动员在弹性蹦床上的运动属于简谐运动的一部分，所以根据对称性可知，运动员在最低点的加速度大于自由落体加速度，故B错误；自由下落阶段对运动员分析，根据动能定理，有Ek＝mgx，即接触弹性蹦床之前，动能增加与下落距离成正比，Ek-x图像为倾斜直线，接触弹性蹦床之后到弹力等于重力之前，运动员依然做加速运动，所以动能继续增大，Ek-x图像为向上斜率变小的曲线，之后弹力大于重力，动能减少，故C错误； 运动员在接触弹性蹦床之前，机械能守恒，接触弹性蹦床之后，由于弹性蹦床对运动员做负功，所以运动员的机械能减少，故D错误。]
[典例3] (简谐运动规律的应用)(2024·河北卷)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x -t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在 12.5 s 内通过的路程分别为( )
A．0.2 rad/s，1.0 m B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
√
C [由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确，D错误。]
【典例3 教用·备选题】(简谐运动规律的应用)弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动时间为1 s，则( )
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是 2.5 cm
B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm
C．该振子任意1 s内通过的路程一定是10 cm
D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
√
C [由B→C运动时间为1 s知周期T＝2 s，则从B开始经过0.25 s＝，振子通过的路程小于2.5 cm，选项A错误；一次全振动振子通过的路程为20 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程为40 cm，选项B错误；由运动的对称性可知，该振子任意1 s内通过的路程一定是10 cm，选项C正确；振动周期为2 s，振幅为5 cm，选项D错误。]
[典例4] (弹簧振子的周期性与多解性的应用)一个弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置开始计时，经过3 s时，振子第一次到达P点，又经过2 s第二次经过P点，则该弹簧振子的振动周期可能为( )
A．32 s B．16 s C．8 s D．4 s
√
B [若从O点开始向右振动，运动路线如图甲所示，则弹簧振子的振动周期为T1＝4× s＝16 s；若振子从O点开始向左振动，运动路线如图乙所示，设从P到O的时间为t，则有 s＋t＝，解得t＝ s，则周期为T2＝4× s＝ s，故选项B正确，A、C、D错误。]
规律总结 简谐运动的“五个特征”
(1)动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
(3)运动的周期性特征：相隔T或nT(n为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
(4)对称性特征
①相隔或T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(5)能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
根据简谐运动图像可获取的信息
(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
考点2 简谐运动图像的理解与应用
(2)可以确定振动物体(可看作质点)在任一时刻的位移。
(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向远离平衡位置；下一时刻位移若减小，质点的振动方向指向平衡位置。
(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。
[典例5] (简谐运动图像的理解)(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振
动图像如图2所示，则( )
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
√
D [以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知t1时刻小球向下运动，故A错误；t2时刻光源的位移为正值，由光源振动图像可知其做简谐运动，根据F＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知影子与小球的振动步调总是相同，则t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播，小球在屏上的影子的位置也处于影子的最高点，即影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。]
规律总结 对简谐运动图像的两点说明
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
[典例6] (简谐运动图像的应用)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则( )
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m
C．图乙中的P点对应时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
D．弹簧振子在前2.5 s内通过的路程为1 m
√
D [弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期为T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为 0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，B错误；题图乙中的P点对应时刻振子的速度方向为负，该时刻振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，C错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2T＋，故振子在前2.5 s内通过的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，D正确。故选D。]
【典例6 教用·备选题】 (简谐运动图像的应用)如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝2×10-3 s时刻纸盆中心的速度最大
B．t＝3×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～1×10-3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10-4cos 50πt(m)
√
C [t＝2×10-3 s时刻在负向最大位移处，则纸盆中心的速度为零，选项A错误；t＝3×10-3 s 时刻纸盆中心在平衡位置，此时的加速度为零，选项B错误；在0～1×10-3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向均沿负方向，方向相同，选项C正确；因为ω＝＝ rad/s＝500π rad/s，则纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10-4cos 500 πt(m)，选项D错误。]
[典例7] (两个简谐运动图像的对比)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法不正确的是( )
A．P、Q的振幅之比是2∶1
B．P、Q的振动周期之比是2∶1
C．P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D．t＝0.45 s时刻，P、Q的位移大小之比是4∶5
√
D [由振动图像可知P的振幅为10 cm，Q的振幅为5 cm，则P、Q的振幅之比是2∶1，故A正确；由振动图像可知P的周期为1.2 s，Q的周期为0.6 s，则P、Q的周期之比是2∶1，故B正确；在0～1.2 s内P完成一个周期的振动，则路程为40 cm，Q完成两个周期的振动，则路程也为40 cm，故路程之比是1∶1，故C正确；P和Q离开平衡位置的位移方程为xP＝0.1sin m，xQ＝0.05sin m，则t＝0.45 s时刻，P、Q的位移分别为xP＝ m，xQ＝－0.05 m，则P、Q的位移大小之比是∶1，故D错误。本题选不正确的，故选D。]
【典例7 教用·备选题】 (两个简谐运动图像的对比)(2024·淮安模拟)劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，
下列说法正确的是( )
A．甲球质量小于乙球质量
B．甲球的加速度始终大于乙球的加速度
C．t＝0.15 s时，弹簧对甲球的作用力大于弹簧对乙球的作用力
D．若用两根相同的无弹性细长绳分别系住两个小球制成单摆，甲球做成的单摆周期大于乙球做成的单摆周期
√
C [由题图知，甲、乙周期相同，均为0.4 s，由T＝2π知，两个小球质量相同，A错误；甲、乙都做简谐运动，由题图可知，甲、乙的振动不是同步的，因此甲球的加速度不可能始终大于乙球的加速度，B错误；对甲有x甲＝2cos ω甲t(cm)＝2cos 5πt(cm)，对乙有x乙＝－sin ω乙t(cm)＝－sin 5πt(cm)，t＝0.15 s 时，则有x甲＝2cos (5π×0.15) cm＝－ cm，x乙＝－sin (5π×0.15) cm＝－ cm，弹簧劲度系数相同，由F＝－kx可知，弹簧对甲球的作用力大于弹簧对乙球的作用力，C正确；单摆周期公式T＝2π，与小球质量无关，甲球做成的单摆周期等于乙球做成的单摆周期，D错误。]
1．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量和振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
考点3 单摆及其周期公式
2．周期公式应用
(1)只要测出单摆摆长l和周期T，就可以根据g＝ 求当地重力加速度g。
(2)可以制作计时仪器。
3．单摆振动中的等效问题
(1)等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
(2)等效重力加速度：①分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)；②计算摆球的视重(即平衡位置的拉力)； ③利用g′＝求出等效重力加速度。
[典例8] (单摆周期公式的理解与应用)(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，
重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2 s
C．小球平衡时，A端拉力为 N
D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
√
B [根据单摆的周期公式T＝2π可知周期与摆角无关，故A错误；同一根细线中，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图，可得2FA cos 30°＝mg，可得FA＝FB＝＝ N，故C、D错误；根据几何知识可知摆长为L＝＝1 m，故周期为T＝2π≈2 s，故B正确。故选B。]
【典例8 教用·备选题】 (单摆周期公式的理解与应用)(2024·江苏扬州模拟)如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，
“杆线摆”的周期为( )
A．2π B．2π
C．2π D．2π
√
A [“杆线摆”的摆长为l＝L cos 30°＝L，摆球沿虚线方向的等效重力为G′＝G cos 60°＝G＝mg，摆球沿虚线方向的等效重力加速度为g′＝＝g，“杆线摆”的周期为T＝2π＝2π 。故选A。]
[典例9] (单摆图像及其应用)(2024·1月九省联考甘肃卷)如图为两单摆的振动图像，θ为摆线偏离竖直方向的角度(θ<5°)。两单摆的摆球质量相同，则( )
A．摆长之比＝
B．摆长之比＝
C．摆球的最大动能之比＝
D．摆球的最大动能之比＝
√
D [根据两单摆的振动图像知，两单摆的周期之比为，根据单摆周期公式T＝2π 可得T2＝L＝kL，故有摆长之比＝＝，故A、B错误；两单摆的摆球质量相同，摆线的最大摆角相同，从最高点到最低点，由动能定理有mgL(1－cos θ)＝Ek，故摆球的最大动能之比＝＝，故C错误，D正确。故选D。]
[典例10] (单摆的摆线拉力的应用)将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将摆球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取
10 m/s2)，求：
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)摆球受力分析如图所示。
摆球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知T＝0.4π s
由单摆的周期公式T＝2π
代入数据解得L＝0.4 m。
(2)在最高点A，有
Fmin＝mg cos α＝0.495 N
在最低点B，有Fmax－mg＝m
其中Fmax＝0.510 N
从A到B，摆球机械能守恒，有
mgL(1－cos α)＝mv2
联立并代入数据得m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
[典例11] (受迫振动和共振的理解)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动。小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
考点4 受迫振动和共振
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
√
C [小球振动的固有周期为T＝4 s，则其固有频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力频率与振动系统的固有频率相差较小，振幅显著增大，C正确，D错误。]
[典例12] (单摆的共振曲线的理解)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为1 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
√
B [由共振曲线知此单摆的固有频率为 0.5 Hz，固有周期为2 s，A错误；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有频率减小，C错误；若摆长减小，单摆的固有周期减小，固有频率增大，则共振曲线的峰将向右移动，D错误。]
[典例13] (受迫振动和共振的应用)某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝(SI)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为 200 Hz 的声音减噪效果最强，若外界声波
频率由 200 Hz 变为 300 Hz，则( )
A．系统振动频率为200 Hz
B．系统振动频率为300 Hz
C．为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小
D．为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板
√
B [系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f0＝可知，应减小σ或L，故C、D错误。]
要点点拨 自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力作用 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(摆角≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
题组一 简谐运动的描述与规律
1．(2024·江苏苏州期末)请判定以下物体运动中不是简谐运动的是
( )
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课时分层作业(三十五) 机械振动
A．图甲中，将倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开
B．图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起一段距离后放手(不计水的粘滞阻力)
C．图丙中，光滑圆弧面上的小球，从最低点移开很小一段距离，放手后，小球在最低点左右运动
D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动
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√
D [把题图甲中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球将做往复运动，与弹簧振子的运动规律相似，满足F＝－kx，为简谐运动，故A正确，与题意不符；题图乙中，如果不考虑水的粘滞阻力，木筷受力情况是，受到重力和水的浮力，重力恒定不变，浮力与排开水的体积成正比，木筷静止时的位置看作平衡位置，由此可知，以平衡位置为坐标原点，木筷所受合力大小与其偏离平衡位置的位移大小成正比，且方向相反，则可以判定木筷做简谐运动，故B正确，与题意不符；题图丙中小球受到重力和圆
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弧面的支持力，重力恒定不变，支持力始终与运动方向垂直，这样就与单摆具有类似的运动，从而判定小球做简谐运动，故C正确，与题意不符；题图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动，重力沿斜面的分力大小不变，不与位移大小成正比，故小球的运动不是简谐运动，故D错误，与题意相符。]
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题号
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2．(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
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A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
√
D [由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则圆频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2，D正确。]
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题组二 简谐运动的图像的理解与应用
3．如图甲所示，一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，取水平向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可知( )
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A．t1时刻振子位于O点
B．t3时刻振子的速度为零
C．t2时刻振子的运动方向与t4时刻振子的运动方向相反
D．从t1时刻到t3时刻，振子运动的加速度逐渐减小
√
D [由题图乙可知在t1时刻振子位于正向最大位移处，即B点，故A错误；t3时刻振子位于平衡位置，所以此时速度最大，故B错误；由题意可知，t2时刻振子处于从B向O运动过程中，t4时刻振子处于从O到A的运动过程中，所以两时刻运动方向相同，故C错误；从t1时刻到t3时刻，振子从最大位移B处向平衡位置O处运动，所以加速度越来越小，速度越来越大，故D正确。]
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4．(2024·江苏姜堰中学期末)学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法不正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D．3～4 s内，两摆球的势能均减少
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√
A [单摆的周期与振幅和摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误，符合题意；由题图可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2π可知，甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确，不符合题意；由加速度公式a＝＝，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确，不符合题意；3～4 s内，两摆球均向平衡位置运动，两摆球的势能均减少，D正确，不符合题意。]
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题组三 单摆及其周期公式
5．如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法正确的是( )
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A．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B．单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D．将该单摆置于月球表面，其摆动周期为
√
D [在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力，在最低点时，绳的拉力和重力共同提供向心力，有F－mg＝ma，可得F＝ma＋mg，故A、B错误；小球所受重力和绳的拉力的合力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，径向分力提供向心力，故C错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根据单摆周期公式T＝2π可知，将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0，故D正确。]
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6．(2024·江苏徐州期末)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取
10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是( )
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A．单摆的摆长约为2.0 m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin πt(cm)
C．从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
√
B [由题图乙可知，单摆的周期为T＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π，可得l＝＝ m≈1.0 m，A错误；由题图乙可知：振幅A＝8 cm，φ＝0，角速度ω＝＝ rad/s＝π rad/s，单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin πt(cm)，B正确；由题图乙可知，从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球从右侧最高点向平衡位置运动，摆球的速度逐渐增大，动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，C错误；由题图乙可知，从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球从平衡位置向左运动到最大位移处，由简谐运动的回复力F＝－kx可知，摆球所受回复力逐渐增大，D错误。故选B。]
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题组四 受迫振动、共振
7．蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200 Hz，下列说法正确的是( )
A．“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B．当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动
C．当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最小
D．昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定
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√
D [根据共振的条件可知，系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅最大，故A错误；当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网仍然振动，故B错误；当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，其频率f＝＝200 Hz，与丝网的固有频率相等，所以丝网的振幅最大，故C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定，故D正确。]
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8．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是( )
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A．4个单摆的周期Tc>Td>Ta>Te
B．4个单摆的频率fa＝fc＝fd＝fe
C．4个单摆的振幅Aa＝Ac＝Ad＝Ae
D．4个单摆中c摆振幅最大
√
B [b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也相同，A错误，B正确；当驱动力的频率等于固有频率时，振幅最大，即达到共振，根据T＝2π 知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误。]
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9．一位游客在湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为 3.0 s。 当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s
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√
C [由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin t(cm)＝20sin t(cm)，画出y-t图像，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm 时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，C正确。]
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10．(2024·江苏南京阶段练习)如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子依次从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b回到a的时间为 1.2 s，则该振子的振动频率可能为( )
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A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
√
B [分情况讨论，若振子回到a时速度方向水平向左，则nT＋＝1.2 s(n＝0，1，2，…)，根据周期与频率的关系，可得f＝ Hz(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，则有f＝1.25 Hz；若振子回到a时速度方向水平向右，则nT＝1.2 s＋0.2 s(n＝1，2，3，…)，可得f＝ Hz(n＝1，2，3，…)，可知，振子的振动频率不可能为1 Hz、2 Hz、2.5 Hz。 故选B。]
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11．如图所示，质量分别为m和M的两个物块用劲度系数为k的轻质弹簧相连，竖直叠放在水平地面上，初始时，m静止在弹簧上端。现将m竖直向上缓缓提起一段距离x(过程中M未离开地面)后释放。则对于不同的x，下列关于M对地面的最小压力Fmin、
M对地面的最大压力Fmax、m在最低点时具有的加速
度a、m在运动中最大动能Ekm的图线中，可能正确的
是( )
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A B
C D
√
D [将m竖直向上缓缓提起一段距离x(过程中M未离开地面)后释放，m做简谐运动，重力和弹簧弹力的合力提供物块m做简谐运动的回复力，m的初始位置为平衡位置，振幅为x；当振动物块离开平衡位置时速度减小，当振动物块衡位置时速度增大，则物块m通过平衡位置时速度最大。振动过程中M对桌面的压力最小时m在最高处，则Fmin＝(M＋m)g－kx，M对地面的最小压力随x的增大而减小，故A错误；M对桌面的压力最大时m在最低处，则Fmax＝(M＋m)g＋kx，Fmax-x图像是不过原点的倾斜的直线，故B错误；由牛顿
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第二定律可得m在最低点时具有的加速度大小为a＝，a-x图像为过原点的倾斜的直线，故C错误；在初始位置有mg＝kx0，解得x0＝，m在平衡位置运动时动能最大，若x>x0，由能量守恒定律可知Ekm＋x0＝mgx＋(x－x0)，解得Ekm＝kx2，Ekm-x 图像可能是开口向上的抛物线，故D正确。]
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12．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在 4.0 s 内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
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[解析] (1)根据弹簧振子简谐运动的对称性可得
T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅
A＝×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程
s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
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(3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π
得x＝12.5sin 2πt(cm)，振动图像如图所示。
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[答案] (1)1.0 s (2)200 cm
(3)x＝12.5sin 2πt(cm) 见解析图
13．如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，试求：
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(1)使砝码随滑块一起振动的回复力是什么力？它的大小跟位移大小成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
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[解析] (1)使砝码随滑块一起做简谐运动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。
对滑块、砝码整体有F＝kx＝(M＋m)a
对砝码有f＝ma
由以上两式可得f＝x
所以k′＝。
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题号
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(2)f＝k′·＝
方向指向平衡位置。
(3)fm＝μmg＝k′Am
Am＝＝。
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
[答案] (1)滑块对砝码的静摩擦力
(2) 方向指向平衡位置 (3)
谢 谢 ！
第十二章 机械振动 机械波
第十二章 机械振动 机械波
知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第1节 机械振动 简谐运动 2019T13：简谐运动的回复力、速度、位移 2021T4：简谐运动的公式 高考对本章的考查形式有选择题、实验题和计算题。命题热点为简谐运动的特点及波长、波速和频率的关系，波动与振动的综合应用。
简谐运动的公式和图像
单摆周期公式
受迫振动和共振
第十二章 机械振动 机械波
知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第2节 机械波 机械波、横波和纵波 2021适应考T8：振动和波 2024T7：机械波传播时间 高考对本章的考查形式有选择题、实验题和计算题。命题热点为简谐运动的特点及波长、波速和频率的关系，波动与振动的综合应用。
横波的图像
波速、波长和频率(周期)的关系
波的干涉和衍射现象
多普勒效应
实验十七 用单摆测量重力加速度的大小
第1节
机械振动
链接教材·夯基固本
一、简谐运动的描述与规律
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从________的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)条件：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向________。
正弦函数
平衡位置
(3)平衡位置：物体在振动过程中______为零的位置。
(4)回复力
①定义：使物体返回到________的力。
②方向：总是指向________。
③来源：属于____力，可以是某一个力，也可以是几个力的____或某个力的____。
回复力
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
(5)简谐运动的特征
①动力学特征：F＝____。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
－kx
2．简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图 弹簧振子(水平)
模型 弹簧振子 单摆
简谐运动条件 ①弹簧质量要忽略 ②无摩擦等阻力 ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等
③最大摆角小于等于5°
回复力 弹簧的____提供 摆球____沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
弹力
重力
模型 弹簧振子 单摆
平衡位置 弹簧处于_____处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量转化 __________与动能的相互转化，机械能守恒 _________与动能的相互转化，机械能守恒
原长
弹性势能
重力势能
3．简谐运动的表达式
(1) 回复力与位移关系，即动力学表达式： F＝_______其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)振动位移与时间关系，即运动学表达式：x＝________________，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表______。
－kx
A sin (ωt＋φ)
初相位
二、简谐运动的图像
1．物理意义：表示振子的____随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线。
2．简谐运动的图像
(1)从________开始计时，函数表达式为
x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
(2)从________开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
位移
平衡位置
最大位置
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在____________作用下的振动。
(2)特点：受迫振动的频率等于______的频率，与系统的固有频率____。
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的________时，受迫振动的振幅最大。
(2)条件：驱动力的频率等于________。
(3)特征：共振时振幅____。
周期性驱动力
驱动力
无关
固有频率
固有频率
最大
(4)共振曲线(如图所示)。f＝f0时，A＝___，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅____。
Am
越小
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。 ( )
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。 ( )
(3)公式x＝A sin ωt说明是从平衡位置开始计时。 ( )
×
×
√
×
(4)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。 ( )
(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。 ( )
(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。 ( )
√
×
二、教材习题衍生
1．(失重对振动的影响)图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A处后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是( )
A．图甲中的小球将保持静止
B．图甲中的小球仍将来回振动
C．图乙中的小球仍将来回摆动
D．图乙中的小球将做匀速圆周运动
√
B [题图甲中小球做简谐运动，回复力为弹力，在太空中不受重力影响，仍来回振动，故A错误，B正确；题图乙中小球受重力影响来回摆动，太空中处于完全失重状态，故不能摆动或做匀速圆周运动，故C、D错误。故选B。]
2．(简谐运动的描述与规律)如图所示，沿直线做简谐运动的物体，经过A点时，加速度大小为3 m/s2，经过B点时，加速度大小为4 m/s2，且两处加速度方向相同，则运动的( )
A．平衡位置在A、B两点之间
B．平衡位置到A点的距离小于到B点的距离
C．物体经过A点时的速度小于B点时的速度
D．振幅小于A、B两点间的距离
√
B [因加速度方向相同，即物体在平衡位置同一侧，振幅大于A、B两点间的距离，故A、D错误；根据简谐运动回复力F＝－kx可知，加速度越小，离平衡位置越近，速度越大，即平衡位置到A点的距离小于到B点的距离，物体经过A点时的速度大于B点时的速度，故B正确，C错误。故选B。]
3．(简谐运动的规律与共振)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆，重力加速度为g。下列说法不正确的是( )
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π
C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
√
C [某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度 a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π， 而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。]
4．(简谐运动的图像)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
A．t＝0.2 s时，振动物体的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振动物体的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐减小
D．在t＝0到t＝2.4 s时间内，振动物体通过的路程是80 cm
√
A [由题图乙可知，t＝0.2 s时，振动物体远离平衡位置向右运动，位移增大，根据F＝－kx可知，回复力方向向左，故加速度方向向左，A正确；t＝0.6 s时，振动物体向左运动衡位置，故振动物体的速度方向向左，B错误；在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，C错误；在t＝0到t＝2.4 s 时间内，振动物体通过的路程是4A× ＝60 cm，D错误。]
5．(简谐运动的特点)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道所含圆弧的度数很小，O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到到达O点过程中都经过图中的P点。下列判断正确的是( )
A．M比N后到达O点
B．M、N通过P点时所受的回复力相同
C．M有可能在P点追上N并与之相碰
D．从释放到到达O点过程中，重力对M的冲量比重力对N的冲量大
√
B [根据T＝2π，两个小球做简谐运动的周期相同，M、N同时到达O点，故A错误；M、N通过P点时所受的回复力相同，均为小球在该点重力沿着切线方向的分力，故B正确；M、N同时到达O点，则M不可能在P点追上N并与之相碰，故C错误；从释放到到达O点过程中，根据I＝mgt，重力对M的冲量等于重力对N的冲量，故D错误。]
细研考点·突破题型
[典例1] (简谐运动的描述)(2021·江苏卷)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为( )
考点1 简谐运动的描述与规律
A．x＝R sin B．x＝R sin
C．x＝2R sin D．x＝2R sin
B [由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)，由题图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin ， 故B正确，A、C、D错误。]
√
[典例2] (简谐运动中各物理量分析)(2025·江苏常州模拟)蹦床运动是运动员利用弹性蹦床的反弹在空中表演杂技的竞技运动。若t＝0时刻，一运动员在最高点自由下落，直至运动到弹性蹦床最低点的过程中，忽略空气阻力，则运动员的速度v、加速度a随时间t及动能Ek、机械能E随位移x变化的关系图像可能正确的是( )
A B
C D
√
A [一运动员在最高点自由下落，直至运动到弹性蹦床最低点的过程中，运动员开始一段时间只受到重力作用，做自由落体运动，之后受到重力和弹性蹦床的弹力作用，从接触弹性蹦床到弹力等于重力的阶段，根据牛顿第二定律，有mg－kx＝ma，弹性蹦床对运动员的弹力逐渐变大，运动员的加速度逐渐减小，所以运动员做加速度减小的加速运动，当弹性蹦床的弹力大于运动员的重力之后，合力向上，根据牛顿第二定律可知kx－mg＝ma′，运动员做加速度增大的减速运动，因为速度—时间图像的斜率表示加速度，故A正确；
运动员在弹性蹦床上的运动属于简谐运动的一部分，所以根据对称性可知，运动员在最低点的加速度大于自由落体加速度，故B错误；自由下落阶段对运动员分析，根据动能定理，有Ek＝mgx，即接触弹性蹦床之前，动能增加与下落距离成正比，Ek-x图像为倾斜直线，接触弹性蹦床之后到弹力等于重力之前，运动员依然做加速运动，所以动能继续增大，Ek-x图像为向上斜率变小的曲线，之后弹力大于重力，动能减少，故C错误； 运动员在接触弹性蹦床之前，机械能守恒，接触弹性蹦床之后，由于弹性蹦床对运动员做负功，所以运动员的机械能减少，故D错误。]
[典例3] (简谐运动规律的应用)(2024·河北卷)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x -t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在 12.5 s 内通过的路程分别为( )
A．0.2 rad/s，1.0 m B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
√
C [由于电动机的转速为12 r/min，则光点1 min振动12个周期，故光点振动的周期T＝＝5 s，所以光点振动的圆频率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误；由题意可知光点的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，则光点在12.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确，D错误。]
【典例3 教用·备选题】(简谐运动规律的应用)弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动时间为1 s，则( )
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是 2.5 cm
B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm
C．该振子任意1 s内通过的路程一定是10 cm
D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
√
C [由B→C运动时间为1 s知周期T＝2 s，则从B开始经过0.25 s＝，振子通过的路程小于2.5 cm，选项A错误；一次全振动振子通过的路程为20 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程为40 cm，选项B错误；由运动的对称性可知，该振子任意1 s内通过的路程一定是10 cm，选项C正确；振动周期为2 s，振幅为5 cm，选项D错误。]
[典例4] (弹簧振子的周期性与多解性的应用)一个弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置开始计时，经过3 s时，振子第一次到达P点，又经过2 s第二次经过P点，则该弹簧振子的振动周期可能为( )
A．32 s B．16 s C．8 s D．4 s
√
B [若从O点开始向右振动，运动路线如图甲所示，则弹簧振子的振动周期为T1＝4× s＝16 s；若振子从O点开始向左振动，运动路线如图乙所示，设从P到O的时间为t，则有 s＋t＝，解得t＝ s，则周期为T2＝4× s＝ s，故选项B正确，A、C、D错误。]
规律总结 简谐运动的“五个特征”
(1)动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
(2)运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反。
(3)运动的周期性特征：相隔T或nT(n为正整数)的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
(4)对称性特征
①相隔或T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
(5)能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
根据简谐运动图像可获取的信息
(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
考点2 简谐运动图像的理解与应用
(2)可以确定振动物体(可看作质点)在任一时刻的位移。
(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向远离平衡位置；下一时刻位移若减小，质点的振动方向指向平衡位置。
(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。
[典例5] (简谐运动图像的理解)(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振
动图像如图2所示，则( )
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
√
D [以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知t1时刻小球向下运动，故A错误；t2时刻光源的位移为正值，由光源振动图像可知其做简谐运动，根据F＝－kx＝ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误；根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知影子与小球的振动步调总是相同，则t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误；根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播，小球在屏上的影子的位置也处于影子的最高点，即影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有＝，解得x影子＝5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。]
规律总结 对简谐运动图像的两点说明
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
[典例6] (简谐运动图像的应用)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则( )
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m
C．图乙中的P点对应时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
D．弹簧振子在前2.5 s内通过的路程为1 m
√
D [弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期为T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为 0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，B错误；题图乙中的P点对应时刻振子的速度方向为负，该时刻振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，C错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2T＋，故振子在前2.5 s内通过的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，D正确。故选D。]
【典例6 教用·备选题】 (简谐运动图像的应用)如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝2×10-3 s时刻纸盆中心的速度最大
B．t＝3×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～1×10-3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10-4cos 50πt(m)
√
C [t＝2×10-3 s时刻在负向最大位移处，则纸盆中心的速度为零，选项A错误；t＝3×10-3 s 时刻纸盆中心在平衡位置，此时的加速度为零，选项B错误；在0～1×10-3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向均沿负方向，方向相同，选项C正确；因为ω＝＝ rad/s＝500π rad/s，则纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10-4cos 500 πt(m)，选项D错误。]
[典例7] (两个简谐运动图像的对比)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法不正确的是( )
A．P、Q的振幅之比是2∶1
B．P、Q的振动周期之比是2∶1
C．P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D．t＝0.45 s时刻，P、Q的位移大小之比是4∶5
√
D [由振动图像可知P的振幅为10 cm，Q的振幅为5 cm，则P、Q的振幅之比是2∶1，故A正确；由振动图像可知P的周期为1.2 s，Q的周期为0.6 s，则P、Q的周期之比是2∶1，故B正确；在0～1.2 s内P完成一个周期的振动，则路程为40 cm，Q完成两个周期的振动，则路程也为40 cm，故路程之比是1∶1，故C正确；P和Q离开平衡位置的位移方程为xP＝0.1sin m，xQ＝0.05sin m，则t＝0.45 s时刻，P、Q的位移分别为xP＝ m，xQ＝－0.05 m，则P、Q的位移大小之比是∶1，故D错误。本题选不正确的，故选D。]
【典例7 教用·备选题】 (两个简谐运动图像的对比)(2024·淮安模拟)劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，
下列说法正确的是( )
A．甲球质量小于乙球质量
B．甲球的加速度始终大于乙球的加速度
C．t＝0.15 s时，弹簧对甲球的作用力大于弹簧对乙球的作用力
D．若用两根相同的无弹性细长绳分别系住两个小球制成单摆，甲球做成的单摆周期大于乙球做成的单摆周期
√
C [由题图知，甲、乙周期相同，均为0.4 s，由T＝2π知，两个小球质量相同，A错误；甲、乙都做简谐运动，由题图可知，甲、乙的振动不是同步的，因此甲球的加速度不可能始终大于乙球的加速度，B错误；对甲有x甲＝2cos ω甲t(cm)＝2cos 5πt(cm)，对乙有x乙＝－sin ω乙t(cm)＝－sin 5πt(cm)，t＝0.15 s 时，则有x甲＝2cos (5π×0.15) cm＝－ cm，x乙＝－sin (5π×0.15) cm＝－ cm，弹簧劲度系数相同，由F＝－kx可知，弹簧对甲球的作用力大于弹簧对乙球的作用力，C正确；单摆周期公式T＝2π，与小球质量无关，甲球做成的单摆周期等于乙球做成的单摆周期，D错误。]
1．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量和振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
考点3 单摆及其周期公式
2．周期公式应用
(1)只要测出单摆摆长l和周期T，就可以根据g＝ 求当地重力加速度g。
(2)可以制作计时仪器。
3．单摆振动中的等效问题
(1)等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
(2)等效重力加速度：①分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)；②计算摆球的视重(即平衡位置的拉力)； ③利用g′＝求出等效重力加速度。
[典例8] (单摆周期公式的理解与应用)(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，
重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为2 s
C．小球平衡时，A端拉力为 N
D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
√
B [根据单摆的周期公式T＝2π可知周期与摆角无关，故A错误；同一根细线中，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图，可得2FA cos 30°＝mg，可得FA＝FB＝＝ N，故C、D错误；根据几何知识可知摆长为L＝＝1 m，故周期为T＝2π≈2 s，故B正确。故选B。]
【典例8 教用·备选题】 (单摆周期公式的理解与应用)(2024·江苏扬州模拟)如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，
“杆线摆”的周期为( )
A．2π B．2π
C．2π D．2π
√
A [“杆线摆”的摆长为l＝L cos 30°＝L，摆球沿虚线方向的等效重力为G′＝G cos 60°＝G＝mg，摆球沿虚线方向的等效重力加速度为g′＝＝g，“杆线摆”的周期为T＝2π＝2π 。故选A。]
[典例9] (单摆图像及其应用)(2024·1月九省联考甘肃卷)如图为两单摆的振动图像，θ为摆线偏离竖直方向的角度(θ<5°)。两单摆的摆球质量相同，则( )
A．摆长之比＝
B．摆长之比＝
C．摆球的最大动能之比＝
D．摆球的最大动能之比＝
√
D [根据两单摆的振动图像知，两单摆的周期之比为，根据单摆周期公式T＝2π 可得T2＝L＝kL，故有摆长之比＝＝，故A、B错误；两单摆的摆球质量相同，摆线的最大摆角相同，从最高点到最低点，由动能定理有mgL(1－cos θ)＝Ek，故摆球的最大动能之比＝＝，故C错误，D正确。故选D。]
[典例10] (单摆的摆线拉力的应用)将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将摆球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取
10 m/s2)，求：
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)摆球受力分析如图所示。
摆球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知T＝0.4π s
由单摆的周期公式T＝2π
代入数据解得L＝0.4 m。
(2)在最高点A，有
Fmin＝mg cos α＝0.495 N
在最低点B，有Fmax－mg＝m
其中Fmax＝0.510 N
从A到B，摆球机械能守恒，有
mgL(1－cos α)＝mv2
联立并代入数据得m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
[典例11] (受迫振动和共振的理解)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动。小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
考点4 受迫振动和共振
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
√
C [小球振动的固有周期为T＝4 s，则其固有频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力频率与振动系统的固有频率相差较小，振幅显著增大，C正确，D错误。]
[典例12] (单摆的共振曲线的理解)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的固有周期约为1 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
√
B [由共振曲线知此单摆的固有频率为 0.5 Hz，固有周期为2 s，A错误；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m，B正确；若摆长增大，单摆的固有频率减小，C错误；若摆长减小，单摆的固有周期减小，固有频率增大，则共振曲线的峰将向右移动，D错误。]
[典例13] (受迫振动和共振的应用)某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝(SI)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为 200 Hz 的声音减噪效果最强，若外界声波
频率由 200 Hz 变为 300 Hz，则( )
A．系统振动频率为200 Hz
B．系统振动频率为300 Hz
C．为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小
D．为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板
√
B [系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f0＝可知，应减小σ或L，故C、D错误。]
要点点拨 自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力作用 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(摆角≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
题组一 简谐运动的描述与规律
1．(2024·江苏苏州期末)请判定以下物体运动中不是简谐运动的是
( )
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课时分层作业(三十五) 机械振动
A．图甲中，将倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开
B．图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起一段距离后放手(不计水的粘滞阻力)
C．图丙中，光滑圆弧面上的小球，从最低点移开很小一段距离，放手后，小球在最低点左右运动
D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动
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√
D [把题图甲中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球将做往复运动，与弹簧振子的运动规律相似，满足F＝－kx，为简谐运动，故A正确，与题意不符；题图乙中，如果不考虑水的粘滞阻力，木筷受力情况是，受到重力和水的浮力，重力恒定不变，浮力与排开水的体积成正比，木筷静止时的位置看作平衡位置，由此可知，以平衡位置为坐标原点，木筷所受合力大小与其偏离平衡位置的位移大小成正比，且方向相反，则可以判定木筷做简谐运动，故B正确，与题意不符；题图丙中小球受到重力和圆
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弧面的支持力，重力恒定不变，支持力始终与运动方向垂直，这样就与单摆具有类似的运动，从而判定小球做简谐运动，故C正确，与题意不符；题图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动，重力沿斜面的分力大小不变，不与位移大小成正比，故小球的运动不是简谐运动，故D错误，与题意相符。]
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题号
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2．(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是( )
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A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2
√
D [由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，得弹簧弹力大小为F＝mg，A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t＝0至t＝0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T＝0.8 s，则圆频率ω＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2，D正确。]
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题组二 简谐运动的图像的理解与应用
3．如图甲所示，一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，取水平向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可知( )
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A．t1时刻振子位于O点
B．t3时刻振子的速度为零
C．t2时刻振子的运动方向与t4时刻振子的运动方向相反
D．从t1时刻到t3时刻，振子运动的加速度逐渐减小
√
D [由题图乙可知在t1时刻振子位于正向最大位移处，即B点，故A错误；t3时刻振子位于平衡位置，所以此时速度最大，故B错误；由题意可知，t2时刻振子处于从B向O运动过程中，t4时刻振子处于从O到A的运动过程中，所以两时刻运动方向相同，故C错误；从t1时刻到t3时刻，振子从最大位移B处向平衡位置O处运动，所以加速度越来越小，速度越来越大，故D正确。]
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4．(2024·江苏姜堰中学期末)学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法不正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D．3～4 s内，两摆球的势能均减少
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√
A [单摆的周期与振幅和摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误，符合题意；由题图可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2π可知，甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确，不符合题意；由加速度公式a＝＝，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确，不符合题意；3～4 s内，两摆球均向平衡位置运动，两摆球的势能均减少，D正确，不符合题意。]
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题组三 单摆及其周期公式
5．如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法正确的是( )
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A．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B．单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D．将该单摆置于月球表面，其摆动周期为
√
D [在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力，在最低点时，绳的拉力和重力共同提供向心力，有F－mg＝ma，可得F＝ma＋mg，故A、B错误；小球所受重力和绳的拉力的合力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，径向分力提供向心力，故C错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根据单摆周期公式T＝2π可知，将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0，故D正确。]
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6．(2024·江苏徐州期末)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取
10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是( )
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A．单摆的摆长约为2.0 m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin πt(cm)
C．从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
√
B [由题图乙可知，单摆的周期为T＝2 s，由单摆的周期公式T＝2π，可得l＝＝ m≈1.0 m，A错误；由题图乙可知：振幅A＝8 cm，φ＝0，角速度ω＝＝ rad/s＝π rad/s，单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin πt(cm)，B正确；由题图乙可知，从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球从右侧最高点向平衡位置运动，摆球的速度逐渐增大，动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，C错误；由题图乙可知，从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球从平衡位置向左运动到最大位移处，由简谐运动的回复力F＝－kx可知，摆球所受回复力逐渐增大，D错误。故选B。]
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题组四 受迫振动、共振
7．蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200 Hz，下列说法正确的是( )
A．“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B．当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动
C．当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最小
D．昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定
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√
D [根据共振的条件可知，系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅最大，故A错误；当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网仍然振动，故B错误；当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，其频率f＝＝200 Hz，与丝网的固有频率相等，所以丝网的振幅最大，故C错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定，故D正确。]
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8．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是( )
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A．4个单摆的周期Tc>Td>Ta>Te
B．4个单摆的频率fa＝fc＝fd＝fe
C．4个单摆的振幅Aa＝Ac＝Ad＝Ae
D．4个单摆中c摆振幅最大
√
B [b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也相同，A错误，B正确；当驱动力的频率等于固有频率时，振幅最大，即达到共振，根据T＝2π 知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误。]
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9．一位游客在湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为 3.0 s。 当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s
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√
C [由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sin t(cm)＝20sin t(cm)，画出y-t图像，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10 cm 时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，C正确。]
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10．(2024·江苏南京阶段练习)如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子依次从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b回到a的时间为 1.2 s，则该振子的振动频率可能为( )
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A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
√
B [分情况讨论，若振子回到a时速度方向水平向左，则nT＋＝1.2 s(n＝0，1，2，…)，根据周期与频率的关系，可得f＝ Hz(n＝0，1，2，…)，当n＝1时，则有f＝1.25 Hz；若振子回到a时速度方向水平向右，则nT＝1.2 s＋0.2 s(n＝1，2，3，…)，可得f＝ Hz(n＝1，2，3，…)，可知，振子的振动频率不可能为1 Hz、2 Hz、2.5 Hz。 故选B。]
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11．如图所示，质量分别为m和M的两个物块用劲度系数为k的轻质弹簧相连，竖直叠放在水平地面上，初始时，m静止在弹簧上端。现将m竖直向上缓缓提起一段距离x(过程中M未离开地面)后释放。则对于不同的x，下列关于M对地面的最小压力Fmin、
M对地面的最大压力Fmax、m在最低点时具有的加速
度a、m在运动中最大动能Ekm的图线中，可能正确的
是( )
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A B
C D
√
D [将m竖直向上缓缓提起一段距离x(过程中M未离开地面)后释放，m做简谐运动，重力和弹簧弹力的合力提供物块m做简谐运动的回复力，m的初始位置为平衡位置，振幅为x；当振动物块离开平衡位置时速度减小，当振动物块衡位置时速度增大，则物块m通过平衡位置时速度最大。振动过程中M对桌面的压力最小时m在最高处，则Fmin＝(M＋m)g－kx，M对地面的最小压力随x的增大而减小，故A错误；M对桌面的压力最大时m在最低处，则Fmax＝(M＋m)g＋kx，Fmax-x图像是不过原点的倾斜的直线，故B错误；由牛顿
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第二定律可得m在最低点时具有的加速度大小为a＝，a-x图像为过原点的倾斜的直线，故C错误；在初始位置有mg＝kx0，解得x0＝，m在平衡位置运动时动能最大，若x>x0，由能量守恒定律可知Ekm＋x0＝mgx＋(x－x0)，解得Ekm＝kx2，Ekm-x 图像可能是开口向上的抛物线，故D正确。]
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12．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在 4.0 s 内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
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[解析] (1)根据弹簧振子简谐运动的对称性可得
T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅
A＝×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程
s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
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(3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π
得x＝12.5sin 2πt(cm)，振动图像如图所示。
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[答案] (1)1.0 s (2)200 cm
(3)x＝12.5sin 2πt(cm) 见解析图
13．如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，试求：
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(1)使砝码随滑块一起振动的回复力是什么力？它的大小跟位移大小成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
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[解析] (1)使砝码随滑块一起做简谐运动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。
对滑块、砝码整体有F＝kx＝(M＋m)a
对砝码有f＝ma
由以上两式可得f＝x
所以k′＝。
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题号
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(2)f＝k′·＝
方向指向平衡位置。
(3)fm＝μmg＝k′Am
Am＝＝。
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[答案] (1)滑块对砝码的静摩擦力
(2) 方向指向平衡位置 (3)
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