第三章 函数概念与性质（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台
预习衔接.夯实基础 函数概念与性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南通期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），则函数f（x）+f（x2）的定义域为（　　）
A． B． C．（1，4） D．（1，9）
2．（2024秋 龙岩期中）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3） B．（2，3） C．（0，3） D．（0，3]
3．（2024秋 西湖区校级期中）已知的值域为D，，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．（2，5）
4．（2024秋 南宁期中）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，函数，则函数y＝g（x）的定义域是（　　）
A．[﹣1，3] B．[﹣1，0）∪（0，3]
C．[1，3] D．[﹣3，0）∪（0，1]
5．（2024秋 东莞市期中）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（　　）
A．0≤a≤3 B．0≤a＜3 C．1≤a≤3 D．1≤a＜3
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（　　）
A．f（x）＝﹣|x| B．f（x）＝x2
C． D．
（多选）7．（2024秋 嘉兴期中）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若函数g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
（多选）8．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知函数，则以下结论正确的是（　　）
A．f（x）的值域是[﹣1，1]
B．对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2） [f（x1）﹣f（x2）]＞0
C．对任意x1，x2∈R，都有
D．若规定f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），其中n∈N*，则
三．填空题（共4小题）
9．（2024秋 西湖区校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值为 　 　．
10．（2024秋 闵行区期中）设a是实数，若函数为奇函数，则a＝ 　 　．
11．（2024秋 重庆期中）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝ex+1+2x，则f（1）＝ 　 　．
12．（2024秋 南海区校级期中）已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，则实数a的值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 东莞市期中）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）的定义域为[1，+∞），若f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），求实数m的取值范围．
14．（2024秋 嘉兴期中）已知函数，且f（1）＝2．
（1）求a；
（2）根据定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）在区间（1，+∞）上，若函数f（x）满足f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
15．（2024秋 南海区校级期中）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有，当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）＝2，解不等式f（x﹣6）﹣f（）≤4．
预习衔接.夯实基础 函数概念与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南通期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），则函数f（x）+f（x2）的定义域为（　　）
A． B． C．（1，4） D．（1，9）
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的解法，即可求解．
【解答】解：函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），
则函数f（x）的定义域为（1，3），
令，解得1＜x，
故函数f（x）+f（x2）的定义域为（1，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
2．（2024秋 龙岩期中）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3） B．（2，3） C．（0，3） D．（0，3]
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】分段函数在R上单调递减，需满足每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案．
【解答】解：由题意得，
即，解得2≤a＜3，
故实数a的取值范围是[2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、幂函数的性质，属于基础题．
3．（2024秋 西湖区校级期中）已知的值域为D，，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．（2，5）
【考点】分段函数的应用；函数的值域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】首先考虑a＞2时，根据指数函数的单调性得到f（x）的值域，此时不成立；再考虑a＝2时，根据基本不等式求出函数值域，然后考虑1＜a＜2时，求出与时函数f（x）的值域，进而得到关于a不等式组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：①若a＞2，时，指数函数f（x）＝（a﹣1）x在上单调递增，
此时，则，结合不成立，
可知此时不成立，排除选项D．
②若
当时，f（x）＝1；当时，，当且仅当时，等号成立，
此时函数f（x）的值域，满足；排除选项A；
③若1＜a＜2，当时，f（x）＝（a﹣1）x在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
结合函数f（x）的值域D满足，可知解得．
综上所述，，即实数a的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查基本初等函数的值域求法、分段函数的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
4．（2024秋 南宁期中）已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，函数，则函数y＝g（x）的定义域是（　　）
A．[﹣1，3] B．[﹣1，0）∪（0，3]
C．[1，3] D．[﹣3，0）∪（0，1]
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的求法，即可求解．
【解答】解：函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，2]，
函数，
令，解得﹣1≤x＜0或0＜x≤3，
故函数y＝g（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，3]．
故选：B．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
5．（2024秋 东莞市期中）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（　　）
A．0≤a≤3 B．0≤a＜3 C．1≤a≤3 D．1≤a＜3
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
则有，解可得1≤a＜3．
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（　　）
A．f（x）＝﹣|x| B．f（x）＝x2
C． D．
【考点】奇函数偶函数的判断．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】AC
【分析】根据函数的解析式逐项判断．
【解答】解：A，f（x）＝﹣|x|是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减，故正确；
B，f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，故错误；
C，是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减，故正确；
D，f（x）是奇函数，故错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 嘉兴期中）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若函数g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇函数偶函数的性质；抽象函数的定义域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于A，由函数的单调性即可判断；
对于B，举反例即可判断；
对于C，根据题意求出a的范围，即可判断；
对于D，由抽象函数的定义即可判断．
【解答】解：对于A，函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，故错误；
对于B，令g（x），为奇函数，但在x＝0处无定义，故错误；
对于C，因为在R上是增函数，
所以，解得﹣3≤a≤﹣2，故错误；
对于D，因为函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，
由﹣2≤2x﹣1≤2，解得x，
所以f（2x﹣1）的定义域为，故正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数的单调性、求抽象函数的定义域，考查了奇函数的性质，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知函数，则以下结论正确的是（　　）
A．f（x）的值域是[﹣1，1]
B．对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2） [f（x1）﹣f（x2）]＞0
C．对任意x1，x2∈R，都有
D．若规定f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），其中n∈N*，则
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；简单函数的值域；定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，对于A，求出函数的解析式，根据单调性求值域，对于B、C，作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断，对于D，根据已知条件推出一般结论，然后判断，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f（x），其定义域为R，
而，则函数f（x）是奇函数，
当x＞0时，，
当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0），
x＝0时，f（x）＝0，
综合可得：函数的值域为（﹣1，1），故A错误；
对于C，f（x），
在区间（0，+∞），f（x）图象向下凹，满足，
由对称性可得：在区间（﹣∞，0），f（x）满足，故C错误；
对于B，当x＞0时，f（x），函数为减函数，
则在（0，+∞）为增函数，同时有f（x）＞0，
又由f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上增函数，同时有f（x）＜0，
而f（0）＝0，
故f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2） [f（x1）﹣f（x2）]＞0，B正确；
对于D，对于D，f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），
而有，
，
，
，
，
所以，
故，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
9．（2024秋 西湖区校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值为 　﹣1　．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
【解答】解：幂函数在（0，+∞）上是减函数，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
10．（2024秋 闵行区期中）设a是实数，若函数为奇函数，则a＝ 　﹣1　．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据奇函数的性质，建立方程，可得答案．
【解答】解：由于x＝0时，函数f（x）有意义，
则f（0）＝0，即，解得a＝﹣1，经检验成立．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2024秋 重庆期中）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝ex+1+2x，则f（1）＝ 　1　．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】由奇函数性质可得f（1）＝﹣f（﹣1）．
【解答】解：由于f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝ex+1+2x，
则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣e﹣1+1﹣2×（﹣1）＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（2024秋 南海区校级期中）已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，则实数a的值为 　4　．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，
所以，解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查幂函数的性质和定义，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 东莞市期中）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）的定义域为[1，+∞），若f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），求实数m的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析
（2）{m|﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3}．
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意，设1≤x1＜x2，
则，
又x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞），则x1+1≥2，x2+2＞2，
所以x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞4，
故f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
（2）根据题意，函数f（x）的定义域为[1，+∞），且在区间[1，+∞）上是增函数，
由f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），
则有，解得﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3，
故实数m的取值范围为{m|﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3}．
【点评】本题考查函数单调性的判断和应用，涉及函数的定义域，属于基础题．
14．（2024秋 嘉兴期中）已知函数，且f（1）＝2．
（1）求a；
（2）根据定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）在区间（1，+∞）上，若函数f（x）满足f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝1；
（2）证明见解析；
（3）（1，3）．
【分析】（1）由f（1）＝2，求解即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可．
【解答】解：（1）因为f（1）＝2，
即2＝1+a，
解得a＝1；
（2）证明：因为，
x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
因为x1＜x2，x1，x2∈（1，+∞），
所以，
所以0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（3）因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（a+2）＞f（2a﹣1），
所以，即，
解得1＜a＜3．
所以实数a的取值范围为（1，3）．
【点评】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
15．（2024秋 南海区校级期中）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有，当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）＝2，解不等式f（x﹣6）﹣f（）≤4．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】（1）0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明详见解析；
（3）（6，8]．
【分析】（1）令x＝y＝1，即可求得f（1）的值；
（2）利用单调性的定义，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x2）﹣f（x1）后，判断符号即可；
（3）先求出f（16）＝4，再根据新定义，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）﹣f（1）＝0，
所以f（1）＝0．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）＝f（），
∵x2＞x1＞0，
∴1，故f（）＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）因为f（4）＝2，所以f（）＝f（16）﹣f（4），
则f（16）＝2f（4）＝4，
f（x﹣6）﹣f（）≤4，
得f（x2﹣6x）＜f（16），
故，解得6＜x≤8，
所以原不等式的解集为（6，8]．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)