第一章 集合与常用逻辑用语（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 集合与常用逻辑用语
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 和平区校级期中）设U＝R为全集，若集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||1﹣x|＜1}，则A∩ UB＝（　　）
A．[﹣1，0）∪（2，3] B．[﹣1，0）
C．[﹣1，0] D．（﹣1，0]∪[2，3）
2．（2024秋 东莞市期中）Q是有理数集，R是实数集，命题p： x∈Q，∈ RQ，则（　　）
A．p是真命题，￢p： x∈Q，
B．p是真命题，￢p： x Q，
C．p是假命题，￢p： x∈Q，
D．p是假命题，￢p： x Q，
3．（2023秋 天心区校级期末）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝3x﹣3，若命题“ x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0”为真命题，则m的取值范围是（　　）
A． B．（﹣4，0） C． D．（0，+∞）
4．（2024秋 杨浦区校级期中）设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共4小题）
（多选）5．（2024秋 东莞市期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则 D．若，则a＜b＜0
（多选）6．（2024秋 泉州期中）已知A＝{x∈R|x2﹣ax+a2﹣3＝0}，B＝{x|x≤0}，则“A∩B＝ ”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．{a|a＜﹣2} B．
C． D．
（多选）7．（2024秋 杭州期中）若集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且B A，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
（多选）8．（2024秋 琼山区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
B． 与{0}是同一个集合
C．集合{x|y＝x2﹣1}与集合{y|y＝x2﹣1}是同一个集合
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{﹣2，﹣3}是同一个集合
三．填空题（共4小题）
9．（2024秋 闵行区期中）若“x2﹣3x+2＜0”是“x＜a”的充分条件，则a的最小值为 　 　．
10．（2024秋 闵行区期中）设集合{x|x2+2x+a＝0}有且只有两个子集，则a＝　 　．
11．（2024秋 西城区校级期中）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A，B U且A B，满足：A∩B＝{1，4}，A∩{3，5}＝ ， U（A∪B）＝{2，7}，则A＝ 　 　；B＝ 　 　．
12．（2024秋 浦东新区校级期中）设全集I＝{2，3，5}，A＝{2，|a﹣5|}， IA＝{5}，则a＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 东莞市期中）集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣2）＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}．
（1）R是实数集，若a＝﹣3，求（ RA）∩（ RB）；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
14．（2024秋 罗湖区校级期中）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使P∩S＝S？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
15．（2024秋 碑林区期中）（1）已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|2a﹣10＜x＜a+1}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式的解集为B，已知A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
预习衔接.夯实基础 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 和平区校级期中）设U＝R为全集，若集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x||1﹣x|＜1}，则A∩ UB＝（　　）
A．[﹣1，0）∪（2，3] B．[﹣1，0）
C．[﹣1，0] D．（﹣1，0]∪[2，3）
【考点】集合的交并补混合运算；绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意先求集合B，再根据补集和交集运算求解．
【解答】解：因为B＝{x||1﹣x|＜1}＝{x|0＜x＜2}，
所以 UB＝{x|x≤0或x≥2}，
A＝{x|﹣1＜x＜3}，
所以A∩ UB＝（﹣1，0]∪[2，3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合及其运算，属于基础题．
2．（2024秋 东莞市期中）Q是有理数集，R是实数集，命题p： x∈Q，∈ RQ，则（　　）
A．p是真命题，￢p： x∈Q，
B．p是真命题，￢p： x Q，
C．p是假命题，￢p： x∈Q，
D．p是假命题，￢p： x Q，
【考点】求全称量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据特值可判断命题p的真假，再结合命题的否定的概念可得 p．
【解答】解：命题p： x∈Q，，
则命题p的否定为 p： x∈Q，，
由4∈Q，，则命题p为假命题．
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3．（2023秋 天心区校级期末）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝3x﹣3，若命题“ x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0”为真命题，则m的取值范围是（　　）
A． B．（﹣4，0） C． D．（0，+∞）
【考点】全称量词命题真假的应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，求出g（x）＜0时x的取值范围，得出f（x）＜0恒成立时x的取值范围，由此求出m的取值范围．
【解答】解：当g（x）＝3x﹣3＜0时，3x＜3，
∴x＜1，
要使 x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
只有在x≥1时恒有f（x）＜0，
根据f（x）的解析式，得：
f（x）的图象开口向下，且两个零点均小于1，∴，
解得﹣4＜m＜0，
∴m的取值范围是（﹣4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，是基础题目．
4．（2024秋 杨浦区校级期中）设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】结合阻梗原理检验充分必要性即可求解．
【解答】解：若A、B在同一高处的截面面积总相等，则A，B的体积相等，即q p，
若A、B的体积相等，则同一高处的截面面积不一定相等，即p推不出q，
故p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）5．（2024秋 东莞市期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则 D．若，则a＜b＜0
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】BC
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a＞b，当c＝0时，推不出ac2＞bc2，所以A错误；
对于B，由ac2＞bc2，得到（a﹣b）c2＞0，又c2＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b，
所以ac2＞bc2可以推出a＞b，由选项A知a＞b推不出ac2＞bc2，所以p是q的充分不必要条件，故B正确；
对于C，易知a＜b＜0可以推出，取a＝2，b＝3，显然满足，
但不满足a＜b＜0，即推不出a＜b＜0，所以p是q的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由C的结论，推不出a＜b＜0，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及命题真假的判断，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 泉州期中）已知A＝{x∈R|x2﹣ax+a2﹣3＝0}，B＝{x|x≤0}，则“A∩B＝ ”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．{a|a＜﹣2} B．
C． D．
【考点】求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解．
【答案】AC
【分析】先分析方程a2+b2＝c2+d2根的情况，求出满足题意的a值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可．
【解答】解：Δ＝a2﹣4a2+12＝﹣3a2+12＝﹣3（a2﹣4）．
当Δ＜0时，方程无实数根，此时a2﹣4＞0，
解不等式（a+2）（a﹣2）＞0得a＞2或a＜﹣2时，A＝ ，A∩B＝ ．
当Δ≥0时，即﹣2≤a≤2时，设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝a，，
要使A∩B＝ ，则两根都大于0，所以x1+x2＝a＞0且，
解a2﹣3＞0得或，结合a＞0，得到．
综上，A∩B＝ 时或a＜﹣2．
对于选项A：{a|a＜﹣2}是或a＜﹣2}的真子集．
当a∈{a|a＜﹣2}时，一定有A∩B＝ ，但A∩B＝ 时，a可能，
所以{a|a＜﹣2}是A∩B＝ 是真命题的一个充分不必要条件．
对于选项B：与或a＜﹣2}无包含关系．
当时，A∩B＝ 不成立，所以不是充分条件．
对于选项C：是或a＜﹣2}的一部分．
当时，A∩B＝ 成立，是充分不必要条件．
对于选项D：{a|a＜﹣2或是A∩B＝ 的充要条件．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的综合应用，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 杭州期中）若集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且B A，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
【考点】判断两个集合的包含关系．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据B A即可得出x2＝9或x2＝x，再根据集合元素的互异性即可得解．
【解答】解：∵B A，
∴x2＝9或x2＝x，且x≠1，解得x＝±3或0．
故选：ABD．
【点评】本题考查了子集的定义，集合元素的互异性，是基础题．
（多选）8．（2024秋 琼山区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
B． 与{0}是同一个集合
C．集合{x|y＝x2﹣1}与集合{y|y＝x2﹣1}是同一个集合
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{﹣2，﹣3}是同一个集合
【考点】集合的相等．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误．
【解答】解：对于A，根据集合元素的无序性可得{1，2，3}、{3，2，1}表示同一集合，元素有1，2，3，
故A正确；
对于B，{0}不是空集，故B错误；
对于C，{x|y＝x2﹣1}＝R，而{y|y＝x2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，
故两个集合不是同一个集合，故C错误；
对于D，{x|x2+5x+6＝0}＝{﹣2，﹣3}，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查集合的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
9．（2024秋 闵行区期中）若“x2﹣3x+2＜0”是“x＜a”的充分条件，则a的最小值为 　2　．
【考点】充分条件的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】2．
【分析】首先解一元二次不等式，根据充分条件，所以（1，2） （﹣∞，a），即可求出参数a的取值范围，从而得解；
【解答】解：根据题意，对于不等式x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，其解集为（1，2），
因为“x2﹣3x+2＜0”是“x＜a”的充分条件，
所以（1，2） （﹣∞，a），必有a≥2，
即a的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合关系的判断，属于基础题．
10．（2024秋 闵行区期中）设集合{x|x2+2x+a＝0}有且只有两个子集，则a＝　1　．
【考点】子集与真子集．
【专题】方程思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】1．
【分析】集合{x|x2+2x+a＝0}有且只有两个子集，可得：此集合只含有一个元素，即x2+2x+a＝0只有一个实数根，可得Δ＝0，解得a．
【解答】解：∵集合{x|x2+2x+a＝0}有且只有两个子集，
∴此集合只含有一个元素，即x2+2x+a＝0只有一个实数根，
∴Δ＝4﹣4a＝0，解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了元素与集合的关系、一元二次方程的实数根与方程的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（2024秋 西城区校级期中）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A，B U且A B，满足：A∩B＝{1，4}，A∩{3，5}＝ ， U（A∪B）＝{2，7}，则A＝ 　{1，4，6}　；B＝ 　{1，4，3，5}　．
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】{1，4，6}；{1，4，3，5}．
【分析】利用集合的交并补定义求解即可得集合．
【解答】解：因为A∩B＝{1，4}，所以1，4∈A，1，4∈B，
又A∩{3，5}＝ ，所以3，5 A，
因为 U（A∪B）＝{2，7}，所以A∪B＝{1，3，4，5，6}，
所以3，5∈B，
若6∈B，则A＝{1，4}，B＝{1，4，3，5，6}，则不满足A B，
所以6∈A，
所以A＝{1，4，6}，B＝{1，4，3，5}．
故答案为：{1，4，6}；{1，4，3，5}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
12．（2024秋 浦东新区校级期中）设全集I＝{2，3，5}，A＝{2，|a﹣5|}， IA＝{5}，则a＝　2或8　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【答案】见试题解答内容
【分析】由全集I及A的补集确定出A，求出a的值即可．
【解答】解：∵全集I＝{2，3，5}，A＝{2，|a﹣5|}， IA＝{5}，
∴A＝{2，3}，即|a﹣5|＝3，
解得：a＝8或a＝2，
则a＝2或8．
故答案为：2或8
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 东莞市期中）集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣2）＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}．
（1）R是实数集，若a＝﹣3，求（ RA）∩（ RB）；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算；解一元二次不等式．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）（ RA）∩（ RB）＝{x|x≤﹣3或x≥3}；
（2）{a|﹣1≤a≤3}．
【分析】（1）根据条件，先求出集合A，B，进而求得 RA， RB，利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得A B，再利用一元二次不等式的解法，对a进行分类讨论，求出集合A，再利用集合间的关系，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣3时，A＝{x|（x+3）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，
所以 RA＝{x|x≤﹣3或x≥2}，
又因为B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
所以 RB＝{x|x≤﹣1或x≥3}，
所以（ RA）∩（ RB）＝{x|x≤﹣3或x≥3}；
（2）由A∪B＝B，得到A B，又B＝{x|﹣1＜x＜3}，
当a＜2时，A＝{x|a＜x＜2}，所以，
解得﹣1≤a＜2，
当a＝2时，A＝ ，满足A B，所以a＝2满足题意，
当a＞2时，A＝{x|2＜x＜a}，所以，
解得2＜a≤3，
综上，实数a的取值范围为{a|﹣1≤a≤3}．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于中档题．
14．（2024秋 罗湖区校级期中）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使P∩S＝S？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
【考点】充要条件的应用；解一元二次不等式；集合的包含关系的应用；集合交集关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）不存在；
（2）{m|m≤0}．
【分析】（1）结合充要条件与集合相等关系的转化即可求解；
（2）结合集合交集性质即可求解．
【解答】解：（1）因为P＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，
若存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以，此时m不存在；
（2）若存在实数m，使P∩S＝S，则S P，
当S＝ 时，1﹣m＞1+m，即m＜0，
当S≠ 时，，解得m＝0，
综上，m的范围为{m|m≤0}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，属于基础题．
15．（2024秋 碑林区期中）（1）已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|2a﹣10＜x＜a+1}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式的解集为B，已知A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要不充分条件的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】（1）（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）；（2）{a|}．
【分析】（1）根据必要不充分条件转化为B是A的真子集，即可对集合B分空集和非空集讨论求解，
（2）因式分解求解集合A，即可利用A B，列不等式求解．
【解答】解：（1）由x∈A是x∈B的必要不充分条件，得B A，
A＝{x|x2﹣4x＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，
当B＝ 时，a+1≤2a﹣10，解得a≥11，满足题意；
当B≠ 时，或，解得a≤﹣1或7≤a＜11，
综上所述，a∈（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）．
（2）由x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0可得（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，
解得a≤x≤a+1，所以A＝{x|a≤x≤a+1}；
由，得，等价于，解得，
令B，
∵已知A是B的充分不必要条件，故A B，
∴，即，
故a的范围为{a|}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的应用，属于中档题．
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