5.5三角恒等变换（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 三角恒等变换
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 开福区校级期中）若函数在区间上只有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 宁德期中）若，则α的值可以为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 泉州期中）已知sin（40°﹣θ）＝4cos50° cos40° cosθ，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 广西模拟）函数的最大值为（　　）
A．2 B． C．0 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 聊城期中）若函数，则（　　）
A．
B．当ω＝1时，函数f（x）在区间上单调递增
C．当ω＝2时，将y＝sin4x图象向左平移个单位后得到f（x）的图象
D．当函数f（x）在（0，π）上恰有2个零点和2个极值点时，ω的取值范围是
（多选）6．（2024春 辽阳期中）下列各式中，计算结果为的是（　　）
A．
B．cos85°cos25°﹣sin85°sin25°
C．
D．
（多选）7．（2024秋 河南期中）已知函数，则（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）在区间上单调递减
D．f（x）在[0，π]上有4个零点
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 青羊区校级期中）已知，则sin（α﹣β）＝ 　 　．
9．（2024秋 浦东新区校级期中）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则cos2α＝ 　 　．
10．（2024秋 湖北期中）已知函数的最小正周期是，则ω的值为 　 　．
11．（2024秋 牡丹江期中）若，且，则α＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 徐汇区校级期中）已知函数y＝f（x）的表达式为．
（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（2）求方程在x∈[0，π]上的解．
13．（2024秋 宁德期中）已知函数．
（1）将f（x）化成f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，）的形式；
（2）求f（x）在上的值域；
（3）将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，求不等式h（x）≥0的解集．
14．（2024秋 顺义区校级期中）已知函数．
（1）若，且，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期，及函数f（x）的单调递减区间．
15．（2024秋 五华区校级期中）通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos3α＝cos（2α+α）＝cos2αcosα﹣sin2αsinα＝（2cos2α﹣1）cosα﹣2sin2αcosα＝4cos3α﹣3cosα．
（1）根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
（2）求sin18°的值；
（3）求sin3126°+sin36°﹣sin366°的值．
预习衔接.夯实基础 三角恒等变换
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 开福区校级期中）若函数在区间上只有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的零点计算即可得解．
【解答】解：由于函数在区间上只有一个零点，
由，
令，则，
则由题意知，解得．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2024秋 宁德期中）若，则α的值可以为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正切公式以及弦切互化可得，进而得，即可求解．
【解答】解：已知，
又，，
则，
故，
则，
取，
取，
因此只有符合要求．
故选：B．
【点评】本题考查了二倍角的正切公式以及弦切互化，属基础题．
3．（2024秋 泉州期中）已知sin（40°﹣θ）＝4cos50° cos40° cosθ，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】运用差角公式展开，再切化弦，借助辅助角公式和诱导公式计算即可．
【解答】解：sin（40°﹣θ）＝sin40°cosθ﹣cos40°sinθ＝4cos50° cos40° cosθ＝4sin40° cos40° cosθ，
所以：
∵，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2024 广西模拟）函数的最大值为（　　）
A．2 B． C．0 D．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】先将f（x）变形，再利用三角函数性质即可求．
【解答】解：由题得f（x）＝2sinxcosx，
令t＝sinx+cosx，则t，
则2sinxcosx＝t2﹣1，则，
所以当t 时，，当t时，ymax＝2．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的性质，二倍角公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 聊城期中）若函数，则（　　）
A．
B．当ω＝1时，函数f（x）在区间上单调递增
C．当ω＝2时，将y＝sin4x图象向左平移个单位后得到f（x）的图象
D．当函数f（x）在（0，π）上恰有2个零点和2个极值点时，ω的取值范围是
【考点】三角函数中的恒等变换应用；由函数零点所在区间求解函数或参数；正弦函数的单调性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数性质，来解决问题．
【解答】解：由题意可得
，
所以，故A错误；
当ω＝1时，函数，由，可得：，
根据正弦函数y＝sinx在区间单调递增，
可知函数在区间上单调递增，故B正确；
当ω＝2时，函数，
将y＝sin4x图象向左平移个单位后得到：，
此时满足题意，故C正确；
当x∈（0，π）时，，
为了使得函数f（x）在（0，π）上恰有2个零点和2个极值点，
只需要满足，解得，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
（多选）6．（2024春 辽阳期中）下列各式中，计算结果为的是（　　）
A．
B．cos85°cos25°﹣sin85°sin25°
C．
D．
【考点】两角和与差的三角函数的逆用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由已知结合和差角公式及同角基本关系检验各选项即可判断．
【解答】解：A，因为tan（25°+35°），
所以tan25°+tan35°tan25°tan35°，A正确；
cos85°cos25°﹣sin85°sin25°＝cos（85°+25°）＝cos110°，B错误；
tan60，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 河南期中）已知函数，则（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）在区间上单调递减
D．f（x）在[0，π]上有4个零点
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数的形式，进一步由三角函数的及性质即可判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于：函数，
对于A：
，显然f（x）为偶函数，故A正确；
对于B：最小正周期，故B正确；
对于C：当时，，因为y＝cosx在上单调递减，
所以在上单调递增，故C错误；
对于D：由，得，
所以f（x）在[0，π]上的零点有，，，共3个，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 青羊区校级期中）已知，则sin（α﹣β）＝ 　　．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用两角和差公式即可得．
【解答】解：由，得sinαcosβ+cosα sinβ①，
由tanα＝5tanβ，得，
即sinαcosβ＝5sinβcosα②，
联立①②可得，，，
∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和差公式，属于基础题．
9．（2024秋 浦东新区校级期中）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则cos2α＝ 　　．
【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可．
【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，
所以r＝|OP|5，
所以sinα，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数求值应用问题，是基础题．
10．（2024秋 湖北期中）已知函数的最小正周期是，则ω的值为 　2　．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】2．
【分析】由诱导公式化简，结合二倍角正弦和周期公式计算即可．
【解答】解：已知函数的最小正周期是，
又
，
所以，
则ω的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了诱导公式，重点考查了二倍角正弦和周期公式，属基础题．
11．（2024秋 牡丹江期中）若，且，则α＝　　．
【考点】求二倍角的三角函数值；两角和与差的三角函数的逆用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解．
【解答】解：由题意得，．
因为，所以cosα﹣sinα≠0，
则，则．
由，得，则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 徐汇区校级期中）已知函数y＝f（x）的表达式为．
（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（2）求方程在x∈[0，π]上的解．
【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的单调性；两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）[]（k∈Z）；（2）x或．
【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的单调递增区间；
（2）利用三角函数的方程求出结果．
【解答】解：（1）函数；
令（k∈Z），
整理得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（2）令，整理得，
由于x∈[0，π]，故，
所以2x或，解得x或．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13．（2024秋 宁德期中）已知函数．
（1）将f（x）化成f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，）的形式；
（2）求f（x）在上的值域；
（3）将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，求不等式h（x）≥0的解集．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）[1，2]；
（3）．
【分析】（1）根据三角恒等变换即可求解，
（2）利用整体法，结合三角函数的性质即可求解，
（3）利用函数平移可得，即可利用余弦函数的性质，结合整体法求解．
【解答】解：（1）由，
可得
；
即；
（2）因为x∈，
则，
故，
故，
故f（x）在上的值域为[1，2]；
（3）由题意可得，
故h（x）≥0，
即2cos2x≥0，
故，
解得，
故不等式h（x）≥0的解集为．
【点评】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
14．（2024秋 顺义区校级期中）已知函数．
（1）若，且，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期，及函数f（x）的单调递减区间．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；整体思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）π，，k∈Z．
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到cosα，由二倍角公式得到cos2α，从而得到f（α）；
（2）利用三角恒等变换得到f（x），再求最小正周期T，利用整体法求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（1）因为，且，
所以cosα，
cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2，
所以．
（2），
所以函数f（x）的最小正周期Tπ，
由，k∈Z，
解得，k∈Z．
所以函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
15．（2024秋 五华区校级期中）通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos3α＝cos（2α+α）＝cos2αcosα﹣sin2αsinα＝（2cos2α﹣1）cosα﹣2sin2αcosα＝4cos3α﹣3cosα．
（1）根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
（2）求sin18°的值；
（3）求sin3126°+sin36°﹣sin366°的值．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）sin3α＝﹣4sin3α+3sinα；
（2）；
（3）．
【分析】（1）仿照已知结合同角三角函数的平方关系，化简，可得答案；
（2）利用二倍角公式以及三倍角余弦公式，即可求得答案；
（3）由（1）可得，再结合诱导公式化简求值，即得答案．
【解答】解：（1）sin3α＝sin（2a+α）＝sin2αcosα+cos2αsinα
＝2sinαcos2α+（1﹣2sin2α）sinα
＝2sinα（1﹣sin2α）+（1﹣2sin2α）sinα
＝﹣4sin3α+3sinα．
（2）因为36°+54°＝90°，所以sin36°＝cos54°，
即sin（2×18°）＝cos（3×18°），可得2sin18°cos18°＝4cos318°﹣3cos18°，
因为cos18°≠0，所以2sin18°＝4cos218°﹣3，可得2sin18°＝4（1﹣sin218°）﹣3，
整理得4sin218°+2sin18°﹣1＝0，
因为sin18°＞0，所以．
（3）由（1）得，
所以sin3126°+sin36°﹣sin366°
．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
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