5.7三角函数的应用（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 三角函数的应用
一．选择题（共4小题）
1．（2024 咸宁校级模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x，且f（x）在（）上单调，则ω的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
2．（2024秋 道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
3．（2024秋 双城区校级期中）设函数，下列判断正确的是（　　）
A．函数f（x）的一个周期为π
B．函数f（x）的值域是
C．函数f（x）的图象上存在点P（x，y），使得其到点（1，0）的距离为
D．当时，函数f（x）的图象与直线y＝2有且仅有一个公共点
4．（2023秋 芜湖期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（　　）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 菏泽期中）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x弧度，记表面积增加量为S＝f（x），则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．S呈周期变化
D．
（多选）6．（2024 回忆版）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．f（x）与g（x）有相同最大值
C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴
（多选）7．（2024春 番禺区期中）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在上单调递增
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 冀州区校级期中）函数f（x）＝cos2x﹣2sinx+3（x∈[0，π]）的最大值为 　 　．
9．（2023秋 海淀区校级期末）已知函数在区间上的最大值为2，则正数ω的最小值为 　 　．
10．（2023秋 林州市校级期末）如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5min后，他距离地面的高度为 　 　m．
11．（2023秋 普陀区校级期末）函数f（x）＝Asin（2x﹣π）的最大值为2，求A＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 齐齐哈尔期中）已知数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在的最大值和最小值．
13．（2023秋 通州区期末）若函数f（x）＝2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1（0＜ω＜4）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在．
（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值．
条件①：；
条件②： x∈R，恒成立；
条件③：函数f（x）的图象关于点对称．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
14．（2024春 城关区校级期中）已知函数．
（1）当时，求f（x）的最值；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
15．（2024春 闵行区校级期末）已知函数的最大值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在上的单调递增区间．
预习衔接.夯实基础 三角函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 咸宁校级模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x，且f（x）在（）上单调，则ω的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．
【解答】解：因为函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x，
所以ω+φ＝k（k∈Z），整理得φ＝kπ（k∈Z），
由于f（x）在（）上单调，
所以，解得ω，
由于ω＞0，所以，解得．
所以k0＝1，2，3，当k0＝3时，ω的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属中档题．
2．（2024秋 道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，确定圆的标准方程即可得．
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示，
则G（0，5），C（﹣5，0），D（5，0），E（﹣5，3），F（5，3），
其中H为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2，
则，解得，
则圆形拱桥的水面跨度为．
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
3．（2024秋 双城区校级期中）设函数，下列判断正确的是（　　）
A．函数f（x）的一个周期为π
B．函数f（x）的值域是
C．函数f（x）的图象上存在点P（x，y），使得其到点（1，0）的距离为
D．当时，函数f（x）的图象与直线y＝2有且仅有一个公共点
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解f（x）＝2，根据解的情况判断D，即得答案．
【解答】解：对于A，x∈R，，
故π不是函数f（x）的一个周期，A错误；
对于B，，
需满足2cos2x﹣1≥0，即，
令t＝cosx，，则f（x）即为，
当时，在上单调递增，则；
当时，，
（（2t2﹣1）﹣4t2＝﹣2t2﹣1＜0，故）
此时在上单调递减，则，
综上，f（x）的值域是，B错误；
对于C，由B知，，
当时，，
满足此条件下的f（x）图象上的点P（x，y）到（1，0）的距离；
当时，，
满足此条件下的f（x）图象上的点P（x，y）到（1，0）的距离，
当且仅当且x＝1时等号成立，
而时，，∴或，
满足此条件的x与x＝1矛盾，即等号取不到，
故函数f（x）的图象上不存在点P（x，y），使得其到点（1，0）的距离为，C错误；
对于D，由B的分析可知f（x）＝2，则cosx＝1，即x＝2kπ，k∈Z，
又，故当且仅当x＝0时，f（x）＝2，
即当时，函数f（x）的图象与直线y＝2有且仅有一个公共点，D正确．
故选：D．
【点评】本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解．
4．（2023秋 芜湖期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（　　）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，将各点代入，求得圆的方程，求出F的横坐标，即可求得结论．
【解答】解：建立平面直角坐标系，根据题意，
A（﹣10，0），B（10，0），P（0，5），D（﹣5，0），E（5，0），
设拱桥所在的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，，
解得，所以拱桥的方程为x2+（y）2（0≤y≤5），
当y＝3时，x，
由于船的水面以上高为3m，故船宽最长约为2∈（13，14）．
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程，是中档题．解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 菏泽期中）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x弧度，记表面积增加量为S＝f（x），则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．S呈周期变化
D．
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据锐角三角函数可得acosx+asinx+a＝1，即可化简，进而代入即可求解AC，根据对称的定义计算即可求解B，利用不等式以及辅助角公式即可结合三角函数的性质求解D．
【解答】解：∵把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，
若顶层旋转x弧度，又表面积增加量为S＝f（x），
设图中小三角形的斜边长为a，则acosx+asinx+a＝1①，
∴，
∵x∈（0，），∴S不呈周期变化，故C错误；
对于A，当时，由①式得，，
∴，故A正确；
对于B，由①可得，
∴，且，
∴f（x）的图象关于直线对称，故B错误；
对于D，S＝4a2sinxcosx，∵，
∴sinx＞0，cosx＞0，∴，
当且仅当sinx＝cosx时，等号成立，
又由①可得，，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，即，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数的综合应用，属难题．
（多选）6．（2024 回忆版）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．f（x）与g（x）有相同最大值
C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据零点的定义，三角函数的单调性、周期性、对称性逐项判断即可．
【解答】解：对于A，令f（x）＝sin2x＝0，解得x，k∈Z，即为f（x）零点，
令g（x）＝sin0，解得x，k∈Z，即为g（x）零点，
故f（x），g（x）零点不同，
f（0）＝0，g（0），故A错误；
对于B，f（x）∈[﹣1，1]，g（x）∈[﹣1，1]，两函数值域相同，故B正确；
对于C，显然两函数最小正周期都为π，故C正确；
对于D，由2x＝kπ，k∈Z得，函数f（x）的对称轴是x，k∈Z，
由2xkπ，k∈Z得，函数g（x）的对称轴是，k∈Z，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性，属于基础题．
（多选）7．（2024春 番禺区期中）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在上单调递增
【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：sin2x．
当sin（2x）＝1时，函数的最大值为2，故A错误；
函数的最小正周期为，故B正确；
当x时，f（）＝0，故C正确；
由于，故，故函数f（x）在该区间上单调递增，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 冀州区校级期中）函数f（x）＝cos2x﹣2sinx+3（x∈[0，π]）的最大值为 　4　．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】4．
【分析】首先利用三角函数的关系式的变换求出函数的最大值．
【解答】解：由于x∈[0，π]，所以sinx∈[0，1]；
函数f（x）＝cos2x﹣2sinx+3（x∈[0，π]）
故f（x）＝cos2x﹣2sinx+3＝﹣sin2x﹣2sinx+4＝﹣（sinx+1）2+5，
所以当sinx＝0时，函数的ymax＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9．（2023秋 海淀区校级期末）已知函数在区间上的最大值为2，则正数ω的最小值为 　　．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用正弦型函数的性质求出结果．
【解答】解：由于函数在区间x∈上的最大值为2，由于ω＞0，
故ωx，
故，解得ω．
故正数ω的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10．（2023秋 林州市校级期末）如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5min后，他距离地面的高度为 　85　m．
【考点】三角函数应用．
【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】85．
【分析】由题意可设在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，结合已知求得变量的值，再取t＝5求解y值即可．
【解答】解：由题意可设在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，
其中A＝50，h＝60，T＝15，可得ω，即f（t）＝50sin（φ）+60，
又∵f（0）＝10，∴50sinφ+60＝10，解得φ，
∴f（t）＝50sin（）+60＝﹣50cos60，
可得f（5）＝﹣50cos60＝85．
∴开始转动5min后，他距离地面的高度为85m．
故答案为：85．
【点评】本题考查三角函数模型的应用，考查三角函数的图象与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2023秋 普陀区校级期末）函数f（x）＝Asin（2x﹣π）的最大值为2，求A＝　±2　．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】±2．
【分析】利用正弦函数的有界性可求得答案．
【解答】解：∵f（x）＝Asin（2x﹣π）＝﹣Asin2x的最大值为|﹣A|＝2，
∴A＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查三角函数的最值，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 齐齐哈尔期中）已知数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在的最大值和最小值．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为，k∈Z，
（2）f（x）的最小值，最大值1．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简f（x），由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程，
（2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值．
【解答】解：（1）函数
；
所以函数f（x）的最小正周期为π．
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以函数f（x）图象的对称轴方程为，k∈Z．
（2）当时，，则，进而可得，
当时，即时，f（x）取最小值，时，即x＝0时，f（x）取最大值1．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13．（2023秋 通州区期末）若函数f（x）＝2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1（0＜ω＜4）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在．
（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最值．
条件①：；
条件②： x∈R，恒成立；
条件③：函数f（x）的图象关于点对称．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解；结构不良题．
【答案】（Ⅰ）f（x）sin（2x），Tπ；
（Ⅱ）当x时，f（x）取得最小值﹣1；当x时，f（x）取得最大值．
【分析】利用三角恒等变换得f（x）sin（2ωx），
（Ⅰ）若选条件①：，导出矛盾；
若选条件②： x∈R，恒成立，可列式求得ω＝8k+1（k∈Z），结合0＜ω＜4，可求得ω，进而可得f（x）的解析式与最小正周期；
若选条件③：函数f（x）的图象关于点对称，可求得ω＝﹣4k+1（k∈Z），结合0＜ω＜4，可求得ω，进而可得f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）x∈ 2x∈[，]，利用正弦函数的性质可求得f（x）在区间上的最值．
【解答】解：f（x）＝2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1
＝sin2ωx+cos2ωx
sin（2ωx），
（Ⅰ）若选条件①：，
∵f（x）sin（2ωx），而，
∴f（），这种情况不存在；
若选条件②： x∈R，恒成立，
则2ω2kπ（k∈Z），
∴ω＝8k+1（k∈Z），又0＜ω＜4，
∴ω＝1．
f（x）sin（2x），Tπ；
（Ⅱ）x∈ 2x∈[，] sin（2x）∈[﹣1，]，
∴当2x，即x时，f（x）取得最小值，f（x）min（）＝﹣1；
当2x，即x时，f（x）取得最大值，f（x）max1．
（Ⅰ）若选条件③：函数f（x）的图象关于点对称，
则2ω×（）kπ（k∈Z），
即ω＝﹣4k+1（k∈Z），又0＜ω＜4，
∴ω＝1，
∴f（x）sin（2x），Tπ；
（Ⅱ）x∈ 2x∈[，] sin（2x）∈[﹣1，]，
∴当2x，即x时，f（x）取得最小值，f（x）min（）＝﹣1；
当2x，即x时，f（x）取得最大值，f（x）max1．
【点评】本题考查正弦函数的解析式的确定及正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．
14．（2024春 城关区校级期中）已知函数．
（1）当时，求f（x）的最值；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；换元法；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）最小值为；最大值为2；
（2）[1，+∞）．
【分析】（1）根据三角恒等变换化简f（x）的表达式；由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（2）化简，参变分离，可得，换元，令t＝sinx，，求在上的最小值即可．
【解答】解：（1）由题意，得函数，
当时，，所以，则，
当，即时，函数f（x）取得最小值为；
当，即时，函数f（x）取得最大值为2；
（2）由题意得时，有解，
而此时sinx＞0，即有解，只需要即可，，，
令t＝sinx，，则在上单调递减，
所以当t＝1时，ymin＝1，即，所以a的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；也考查了参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题，是中档题．
15．（2024春 闵行区校级期末）已知函数的最大值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在上的单调递增区间．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数；三角函数的周期性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）a＝﹣2，T＝π；（2）[]．
【分析】（1）利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出a的值和最小值正周期；
（2）利用整体思想求出函数的单调递增区间．
【解答】解：（1），
由于函数的最大值为2；
故4+2，解得a＝﹣2．
函数的最小正周期为．
（2）由于函数f（x）＝4sin（2x）﹣2，
由于，故；
令，解得x，
故函数的单调递增区间为[]．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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