4.2指数函数（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 指数函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西湖区校级期中）设，，c＝3﹣2.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b
2．（2024秋 浑南区校级期中）下列各式错误的是（　　）
A．30.8＞30.7 B．0.75﹣0.1＜0.750.1
C． D．0.50.4＞0.50.6
3．（2024秋 朝阳区校级期中）已知，，则（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
4．（2024秋 朝阳区校级期中）函数y＝3|x|的大致图象是（　　）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2023秋 越秀区期末）下列结论正确的有（　　）
A．函数f（x）＝loga（x+1）+loga（x﹣1）（a＞0且a≠1）是偶函数
B．函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（2，1）
C．函数在R上单调递增
D．函数与函数y＝﹣log2x的图像关于直线y＝x对称
（多选）6．（2023秋 七里河区校级期末）若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）7．（2023秋 孝南区校级期末）若函数y＝ax﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则（　　）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．b＞0 D．b＜0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期中）不等式与不等式x2+ax+b＜0解集相同，则a+b＝ 　 　．
9．（2023秋 赤峰期末）函数的定义域为 　 　．
10．（2023秋 浦东新区校级期末）若a＞0，a≠1，则函数y＝ax﹣1+2的图象一定过点　 　．
11．（2024春 宝山区期末）已知指数函数y＝（m﹣2）x在R上是严格增函数，则实数m的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2023秋 静宁县校级期末）已知函数．
（1）若f（x）≥1，求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．
13．（2024春 昌邑区校级期末）已知函数f（x）＝4x+a 2x．
（1）若a＝﹣5，求不等式f（x）≤﹣4的解集；
（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）的最小值为﹣1，求a的值．
14．（2023秋 广昌县校级期末）已知指数函数y＝（a2﹣3a+3）ax（a＞0，a≠1）的反函数为y＝f（x）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）＝f（x2+1），求不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）的解集．
15．（2024春 辽宁期末）在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用．喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气．能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量y（单位：mg/L）与时间x（x≥0）（单位：h）间的关系为，其中y0，k为正常数，已知过滤2h消除了20%的有害物质．
（1）过滤4h后还剩百分之几的有害物质？
（2）要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间（精确到1h）？参考数据：lg2≈0.3
预习衔接.夯实基础 指数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西湖区校级期中）设，，c＝3﹣2.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【考点】指数函数的单调性与最值；对数函数的单调性与最值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数的性质分析判断即可．
【解答】解：∵y＝3x为R上的增函数，﹣2.5＜﹣2.3，
∴0＜a3﹣2.5＜c＝3﹣2.3＜1，
又b0，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题．
2．（2024秋 浑南区校级期中）下列各式错误的是（　　）
A．30.8＞30.7 B．0.75﹣0.1＜0.750.1
C． D．0.50.4＞0.50.6
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性逐项判断即可．
【解答】解：由对数函数y＝ax的性质知，
当0＜a＜1时，y＝ax在R上单调递减，所以0.75﹣0.1＞0.750.1，0.50.4＞0.50.6，选项B错误，选项D正确；
当a＞1时，y＝ax在R上单调递增，所以30.8＞30.7，，选项A、C正确．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
3．（2024秋 朝阳区校级期中）已知，，则（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【答案】A
【分析】根据函数y是定义域R上减函数判断b＞c，根据函数y是定义域R上的增函数判断a＜c．
【解答】解：根据函数y是定义域R上减函数，且，∴，即b＞c；
又函数y是定义域R上的增函数，且，∴，即a＜c；
所以a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数、指数函数的单调性应用问题，是基础题．
4．（2024秋 朝阳区校级期中）函数y＝3|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】数形结合；分类讨论；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用分段函数表示函数y＝3|x|，画出函数的大致图象，即可得出答案．
【解答】解：因为y＝3|x|，
画出函数的大致图象，如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2023秋 越秀区期末）下列结论正确的有（　　）
A．函数f（x）＝loga（x+1）+loga（x﹣1）（a＞0且a≠1）是偶函数
B．函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（2，1）
C．函数在R上单调递增
D．函数与函数y＝﹣log2x的图像关于直线y＝x对称
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数，以及函数的单调性和反函数的关系，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于A中，函数f（x）＝loga（x+1）+loga（x﹣1），则满足，
解得x＞1，
即f（x）的定义域为（1，+∞），不关于原点对称，
所以f（x）为非奇非偶函数，故A不正确；
对于B中，函数f（x）＝2ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1），
令x﹣2＝0，可得x＝2，
则f（2）＝2a0﹣1＝1，
所以f（x）恒过定点（2，1），所以B正确；
对于C中，函数，
因为函数y＝ex+1为单调递增函数，且y＞0
所以为递减函数，则为递增函数，所以C正确；
对于D中，由函数与函数互为反函数，
所以函数与函数y＝﹣log2x的图像关于直线y＝x对称，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，考查了反函数的定义，属于基础题．
（多选）6．（2023秋 七里河区校级期末）若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】指数函数的图象；对数函数的图象；函数的图象与图象的变换．
【专题】分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维；直观想象．
【答案】BC
【分析】讨论0＜a＜1和a＞1两种情况，结合对数函数单调性求解logab＜0，再根据指数函数单调性分析判断即可．
【解答】解：由logab＜0＝loga1，可得：
当0＜a＜1时，因为y＝logax在定义域内单调递减，所以b＞1．
此时f（x）＝ax+b＞1，且f（x）在定义域内单调递减，选项B成立，D错误；
当a＞1时，因为y＝logax在定义域内单调递增，所以0＜b＜1，
此时f（x）＝ax+b＞b，不能保证f（x）＞1，且f（x）在定义域内单调递增，选项A错误，C成立．
故选：BC．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的应用问题，是基础题．
（多选）7．（2023秋 孝南区校级期末）若函数y＝ax﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，则（　　）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．b＞0 D．b＜0
【考点】指数函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BC
【分析】由已知结合指数函数的性质即可求解．
【解答】解：若函数y＝ax﹣2b﹣1（a＞0且a≠0）的图象过第一、三、四象限，
则，解得a＞1，b＞0．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期中）不等式与不等式x2+ax+b＜0解集相同，则a+b＝ 　﹣5　．
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】﹣5．
【分析】根据y＝2x在R上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可．
【解答】解：不等式可化为23﹣3x，
因为y＝2x在R上单调递增，
所以x2﹣2x﹣3＜3﹣3x，整理得x2+x﹣6＜0，
由题意知两不等式的解集相同，则a＝1，b＝﹣6，
所以a+b＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题．
9．（2023秋 赤峰期末）函数的定义域为 　（﹣∞，1）　．
【考点】指数函数的定义域．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，1）．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0及分式的分母不等于0求解即可得答案．
【解答】解：要使函数有意义，则1﹣x＞0，
解得x＜1．
∴函数的定义域为：（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．
10．（2023秋 浦东新区校级期末）若a＞0，a≠1，则函数y＝ax﹣1+2的图象一定过点　（1，3）　．
【考点】指数函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断．
【解答】解：方法1：平移法
∵y＝ax过定点（0，1），
∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax﹣1+2，此时函数过定点（1，3），
方法2：解方程法
由x﹣1＝0，解得x＝1，
此时y＝1+2＝3，
即函数y＝ax﹣1+2的图象一定过点（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．
11．（2024春 宝山区期末）已知指数函数y＝（m﹣2）x在R上是严格增函数，则实数m的取值范围是 　{m|m＞3}　．
【考点】指数函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】{m|m＞3}．
【分析】结合指数函数的性质，即可求解．
【解答】解：指数函数y＝（m﹣2）x在R上是严格增函数，
则m﹣2＞1，解得m＞3，
故实数m的取值范围是{m|m＞3}．
故答案为：{m|m＞3}．
【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2023秋 静宁县校级期末）已知函数．
（1）若f（x）≥1，求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．
【考点】指数函数的值域．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）[0，2]；
（2）（0，3]．
【分析】（1）根据指数函数单调性可得﹣x2+2x≥0，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知﹣x2+2x≤1，结合指数函数性质求值域．
【解答】解：（1）因为，且y＝3x在定义域R内单调递增，
则﹣x2+2x≥0，解得0≤x≤2，
所以实数x的取值范围是[0，2]．
（2）因为﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1≤1，当且仅当x＝1时等号成立，
且y＝3x在定义域R内单调递增，则，
又因为，所以f（x）的值域为（0，3]．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
13．（2024春 昌邑区校级期末）已知函数f（x）＝4x+a 2x．
（1）若a＝﹣5，求不等式f（x）≤﹣4的解集；
（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）的最小值为﹣1，求a的值．
【考点】指数函数及指数型复合函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）[0，2]；
（2）﹣2．
【分析】（1）当a＝﹣5时，将不等式转化为（2x﹣1）（2x﹣4）≤0，并用指数函数的单调性求解；
（2）先使用换元法，将函数f（x）转化为，并分3类讨论函数g（t）的最小值即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣5时，不等式f（x）≤﹣4即为4x﹣5 2x+4≤0，
所以（2x﹣1）（2x﹣4）≤0，
则有1≤2x≤4，则0≤x≤2，
故不等式f（x）≤﹣4的解集为[0，2]；
（2）令t＝2x，x∈[﹣2，2]，则，
f（x）＝g（t）＝t2+at开口向上，对称轴方程为，
①当，即时，，则，不符合题意；
②当，即时，，则a＝﹣2；
③当，即a＜﹣8时，g（t）min＝g（4）＝16+4a＝﹣1，则，不满足条件．
综上所述，a的值为﹣2．
【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
14．（2023秋 广昌县校级期末）已知指数函数y＝（a2﹣3a+3）ax（a＞0，a≠1）的反函数为y＝f（x）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）＝f（x2+1），求不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）的解集．
【考点】指数函数的单调性与最值；反函数；指数函数的图象．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝log2x，x∈（0，+∞）；
（2）（﹣4，）．
【分析】（1）根据指数函数的定义列方程求出a的值，即可写出该函数的反函数；
（2）根据函数g（x）的奇偶性与单调性，把不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）化为|2x+1|＜|3﹣x|，两边平分求解即可．
【解答】解：（1）指数函数y＝（a2﹣3a+3）ax（a＞0，a≠1）中，
a2﹣3a+3＝1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2，函数y＝2x；
反函数为y＝f（x）＝log2x，x∈（0，+∞）；
（2）函数g（x）＝f（x2+1）＝log2（x2+1），
是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增；
所以不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）可化为|2x+1|＜|3﹣x|，
即（2x+1）2＜（3﹣x）2，即3x2+10x﹣8＜0，
解得﹣4＜x，所以不等式的解集为（﹣4，）．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的定义与性质应用问题，是基础题．
15．（2024春 辽宁期末）在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用．喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气．能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量y（单位：mg/L）与时间x（x≥0）（单位：h）间的关系为，其中y0，k为正常数，已知过滤2h消除了20%的有害物质．
（1）过滤4h后还剩百分之几的有害物质？
（2）要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间（精确到1h）？参考数据：lg2≈0.3
【考点】指数函数的实际应用；对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）还剩64%的有害物质；
（2）大约需要过滤14小时．
【分析】（1）首先确定y0为初始含量，再代入条件，利用指数运算，即可求解；
（2）根据（1）的结果，代入条件，转化为求解指数方程．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝y0，
所以y0是初始有害物质的含量，
由题意可知，，得e﹣2k＝0.8，
4h后有害物质含量，
所以过滤4小时后还剩64%的有害物质；
（2）设过滤t小时后，有害物质减少80%，即还剩20%，
则，
则，
则，
则t＝14，
所以要使有害物质减少80%，大约需要过滤14小时．
【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型，考查了指数和对数的运算，考查了函数思想，属于中档题．
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