4.3对数（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 对数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）若2a＝5b＝20，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024秋 漳州期中）若3a+3b＝6，则a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2] B．[0，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
3．（2024秋 南山区校级期中）若m2024＝n（m＞0且m≠1），则（　　）
A．logmn＝2024 B．lognm＝2024
C．log2024m＝n D．log2024n＝m
4．（2024秋 浦东新区校级期中）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．若围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中最接近的是（　　）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 南通期中）下列结论正确的有（　　）
A．
B．log62﹣log82＝log84﹣log64
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝2
D．若3a＝10，log925＝b，则
（多选）6．（2024秋 赣州期中）已知，则a＝（　　）
A． B． C．3 D．81
（多选）7．（2024秋 李沧区校级期中）已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　）
A．lga＞lgb B．a+b＝ab
C． D．a+4b＞9
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）计算：2log26﹣log29＝ 　 　．
9．（2024秋 闵行区校级期中）已知x，y满足lgx+lgy＝2lg（2x﹣3y），则的值为 　 　．
10．（2024秋 闵行区校级期中）已知2a＝3b＝5，则 　 　．
11．（2024秋 新吴区校级期中）计算： 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）（1）已知2x＝6y＝24z＝t＞1，求证：；
（2）证明：log20242025是无理数．
13．（2024秋 秦淮区校级期中）求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．（2024秋 朝阳区校级期中）计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
15．（2024秋 徐汇区校级期中）设关于x的方程lg2x﹣lgx2+3p＝0的两个实根分别是α，β．
（1）求实数p的取值范围；
（2）求logαβ+logβα的取值范围．
预习衔接.夯实基础 对数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）若2a＝5b＝20，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：2a＝5b＝20，
则a＝log220，b＝log520，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
2．（2024秋 漳州期中）若3a+3b＝6，则a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2] B．[0，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据基本不等式的应用可得，即可求出a+b≤2．
【解答】解：3a＞0，3b＞0，则，
即可得，即3a+b≤9＝32，则a+b≤2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
则a+b的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
3．（2024秋 南山区校级期中）若m2024＝n（m＞0且m≠1），则（　　）
A．logmn＝2024 B．lognm＝2024
C．log2024m＝n D．log2024n＝m
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据对数的定义将指数化为对数．
【解答】解：因为m2024＝n（m＞0且m≠1），所以logmn＝2024．
故选：A．
【点评】本题考查对数的定义，属于基础题．
4．（2024秋 浦东新区校级期中）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．若围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中最接近的是（　　）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】结合指数与对数的性质，根据题意求解即可．
【解答】解：围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，
则，
所以，
，
故各数中最接近的是1073．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 南通期中）下列结论正确的有（　　）
A．
B．log62﹣log82＝log84﹣log64
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝2
D．若3a＝10，log925＝b，则
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】结合对数的运算性质，即可依次判断．
【解答】解：，，故A正确；
log62﹣log82﹣（log84﹣log64）＝log62+log64﹣（log82+log84）＝log68﹣1≠0，故B错误；
（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝lg2（lg2+lg5）+lg50＝lg2+lg50＝lg100＝2，故C正确；
3a＝10，log925＝b，
则a＝log310，log35＝b，
故，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 赣州期中）已知，则a＝（　　）
A． B． C．3 D．81
【考点】对数运算求值；指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】可设log3a＝t，然后即可得出，解出t，然后即可求出a的值．
【解答】解：设log3a＝t，则，
所以原式，即：2t2﹣5t﹣12＝0，解得或4，
所以或4，所以或81．
故选：BD．
【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数式和指数式的互化，是基础题．
（多选）7．（2024秋 李沧区校级期中）已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　）
A．lga＞lgb B．a+b＝ab
C． D．a+4b＞9
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D．
【解答】解：由题可得a＝log315＞log33＝1＞0，b＝log515＞log55＝1＞0．
∴，即，所以a＞b＞0，
对于A，因为a＞b＞0，所以lga＞lgb，故A正确；
对于B，∵，∴a+b＝ab，故B正确；
对于C，因为a＞b＞0，所以，故C错误；
对于D，因为a＞b＞0，．
所以．
当且仅当，即a＝2b时等号成立，这与已知3a＝5b矛盾，所以a+4b＞9，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查指数函数和对数函数，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）计算：2log26﹣log29＝ 　2　．
【考点】对数运算求值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用对数运算法则求解．
【解答】解：2log26﹣log29＝log236﹣log29＝log24＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2024秋 闵行区校级期中）已知x，y满足lgx+lgy＝2lg（2x﹣3y），则的值为 　　．
【考点】对数运算求值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用对数的性质、运算法则求解．
【解答】解：x，y满足lgx+lgy＝2lg（2x﹣3y），
∴lgxy＝lg（2x﹣3y）2，且x＞0，y＞0，2x﹣3y＞0，
∴4x2﹣13xy+9y2＝0，
∴4﹣139×（）2＝0，
解得或（舍），
则的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2024秋 闵行区校级期中）已知2a＝3b＝5，则 　log56　．
【考点】指数式与对数式的互化；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】log56．
【分析】利用指数幂的运算化简，然后利用对数定义求解即可．
【解答】解：因为2a＝3b＝5，所以a＝log25，b＝log35，
log52+log53＝log56，
所以．
故答案为：log56．
【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．
11．（2024秋 新吴区校级期中）计算： 　9　．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】9．
【分析】根据指数和对数的运算性质即可得解．
【解答】解：原式＝4+1+4＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了指数和对数的运算性质，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）（1）已知2x＝6y＝24z＝t＞1，求证：；
（2）证明：log20242025是无理数．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕；
（2）反证法进行证明，假设log20242025是有理数，则，其中为既约分数，可得矛盾．
【解答】证明：（1）2x＝6y＝24z＝t＞1，
x＝log2t＞0，y＝log6t＞0，z＝log24t＞0，
，
，
所以．
（2）假设log20242025是有理数，
则，其中为既约分数，
则，
则2024p＝2025q，
这与2024p为偶数，2025q为奇数相矛盾，
所以假设不成立，所以log20242025是无理数．
【点评】本题考查对数的运算，反证法，属于中档题．
13．（2024秋 秦淮区校级期中）求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）0；
（2）．
【分析】（1）利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可得结果．
（2）利用对数的运算性质化简可得结果．
【解答】（1）
．
（2）
．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，以及指数幂的运算，属于基础题．
14．（2024秋 朝阳区校级期中）计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法．
【答案】（1）；
（2）7．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得解；
（2）利用对数的运算法则计算即可得解．
【解答】解：（1）原式
．
（2）
．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算，属于基础题．
15．（2024秋 徐汇区校级期中）设关于x的方程lg2x﹣lgx2+3p＝0的两个实根分别是α，β．
（1）求实数p的取值范围；
（2）求logαβ+logβα的取值范围．
【考点】对数运算求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）．
【分析】（1）设t＝lgx，则关于t的方程t2﹣2t+3p＝0的两根为lgα和lgβ，根据Δ≥0计算可得；
（2）列出韦达定理，再利用换底公式将logαβ+logβα化为，再结合p的范围计算可得．
【解答】解：（1）因为lg2x﹣lgx2+3p＝0，即lg2x﹣2lgx+3p＝0，
设t＝lgx，则关于t的方程t2﹣2t+3p＝0的两根为lgα和lgβ，
所以Δ＝（﹣2）2﹣12p≥0，解得；
（2）由韦达定理，得，
所以
，
因为3p≤1且3p≠0，所以或，
所以或，
所以logαβ+logβα的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
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