4.5函数的应用（二）（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 函数的应用（二）
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 靖远县校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），且f（0）≠0，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝﹣1 B．函数f（x）为奇函数
C．函数f（x）有2个零点 D．f（2x）＝f（x）
2．（2024秋 重庆期中）已知实数a＞0，且a≠1，若函数f（x）＝ax+logax在（1，2）上存在零点，则（　　）
A．a2+loga2＜0 B．a2﹣log2a＜0
C．a4+loga2＞0 D．a﹣loga2＜0
3．（2024秋 西湖区校级期中）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金．小明先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1＝m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长）．
A．等于20g B．小于20g
C．大于20g D．与左右臂的长度有关
4．（2024秋 房山区校级期中）函数f（x）＝x3﹣x﹣5的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
二．多选题（共4小题）
（多选）5．（2024秋 寻甸县校级期中）已知f（x）＝kx2﹣4x﹣8，则（　　）
A．当时，f（x）＝0有两个零点
B．f（x）+4x为偶函数
C．f（x）在（5，7）上单调，则或
D．f（x）不可能为奇函数
（多选）6．（2024秋 朝阳区校级期中）已知函数，则下列关于x的方程[f（x）]2﹣2kf（x）+k＝0的命题正确的有（　　）
A．存在实数k，使得方程恰有1个实根
B．不存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不等的实根
D．不存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根
（多选）7．（2024秋 中山区校级期中）关于x的方程|x2﹣1|2﹣|x2﹣1|+k＝0，以下说法正确的是（　　）
A．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根
B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根
D．不存在实数k，使得方程恰有7个不同的实根
（多选）8．（2024秋 绵阳期末）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．若x1＞1，x2＞1，则
B．若2x1＝x2+3，则或3
C．若，则m＝±4
D． m∈R，使得
三．填空题（共3小题）
9．（2024秋 杨浦区校级期中）设a∈R，函数若关于x的方程f（x）＝a恰有一解，则a的取值范围为 　 　．
10．（2024秋 西湖区校级期中）已知函数若关于x的方程[f（x）]2+（2a﹣3）f（x）+a2﹣3a＝0有5个不同的实数根，则a的取值范围为 　 　．
11．（2024秋 浙江期中）证券公司现推出两种理财产品，所能获得的利润分别为A和B（万元），它们与投入资金x（万元）与利润有以下关系，，现有10万元投资这两种理财产品，可以获得的最大利润是 　 　（万元）．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为t（x）＝eax+b，新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48
13．（2024秋 泉州期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润M，乙产品的利润N与研发投入a（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为x（单位：万元），两种产品的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（x）的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？
14．（2024秋 南海区校级期中）2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产．生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x千台，需另投入成本R（x）（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．
（1）写出年利润P（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：千台）的关系式；
（2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
15．（2024秋 沙坪坝区校级期中）重庆市主城区城市公共供水企业（不含乡镇水厂）服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价（如下表所示）．阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
阶梯 用户用水量（吨） 综合水价（元/吨） 其中
自来水费（元/吨） 污水处理费（元/吨）
第一阶梯 0 260（含） 3.50 2.50 1.00
第二阶梯 260 360（含） 4.22 3.22
第二阶梯 360以上 5.90 4.90
（1）求用户水费y与用水量x的函数解析式，并求当某户一年所交水费为1078.8元时其一年的用水量：
（2）为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为z百吨（50≤z≤110），日处理污水的总成本w元与z百吨之间的函数关系可近似地表示为．若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴：处理z百吨污水补贴40z+2000元，求该企业每日可获得的最大利润．
预习衔接.夯实基础 函数的应用（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 靖远县校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），且f（0）≠0，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝﹣1 B．函数f（x）为奇函数
C．函数f（x）有2个零点 D．f（2x）＝f（x）
【考点】求函数的零点．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用赋值法令x＝y＝0可判断A错误；结合A可知f（0）＝1，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），可得B错误；解方程可得f（x）＝1或，所以函数y＝f（x）没有零点，即C错误；令y＝x，可得2f（2x）f（0）＝f（x）+f（x），即f（2x）＝f（x），所以D正确．
【解答】解：由2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），
令x＝y＝0，得2[f（0）]2＝2f（0），∵f（0）≠0，∴f（0）＝1，则A项错误；
函数f（x）的定义域为R，f（0）＝1≠0，∴函数f（x）不是奇函数，B项错误；
由2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），令y＝0，可得2[f（x）]2＝f（x）+f（0），
即2[f（x）]2﹣f（x）﹣1＝0，解得f（x）＝1或，f（x）的函数值只有这两个情况，
∴函数y＝f（x）没有零点，C项错误；
由2f（x+y）f（x﹣y）＝f（x）+f（y），令y＝x，可得2f（2x）f（0）＝f（x）+f（x），
∴2f（2x）＝2f（x），即f（2x）＝f（x），D项正确．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数的性质，属于中档题．
2．（2024秋 重庆期中）已知实数a＞0，且a≠1，若函数f（x）＝ax+logax在（1，2）上存在零点，则（　　）
A．a2+loga2＜0 B．a2﹣log2a＜0
C．a4+loga2＞0 D．a﹣loga2＜0
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数．
【专题】综合题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】A
【分析】分a＞1、0＜a＜1进行讨论，结合f（x）的单调性与零点的存在性定理可判断A，亦可得0＜a＜1，由0＜a＜1结合对数函数性质进行分析可判断B、C、D．
【解答】解：①当a＞1时，函数f（x）＝ax+logax在（0，+∞）上单调递增，
由题意知f（1）＝a+loga1＝a＜0，与a＞1矛盾，舍去；
②当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax+logax在（0，+∞）上单调递减，
由已知得，A正确；
再由0＜a＜1得，故B错误；
又，故C错误；
a﹣loga2＞a﹣0＞0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查函数零点个数的判断，对数函数与指数函数的性质，属于中档题．
3．（2024秋 西湖区校级期中）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金．小明先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1＝m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长）．
A．等于20g B．小于20g
C．大于20g D．与左右臂的长度有关
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，根据已知条件列式，然后利用基本不等式求得正确答案．
【解答】解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，
再设先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则bx＝10a，ay＝10b，
∴，∴，
当且仅当，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x+y＞20．
因此，小明两次称得的黄金总重量大于20g．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的应用，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2024秋 房山区校级期中）函数f（x）＝x3﹣x﹣5的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】求解函数零点所在区间．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】结合函数的零点存在定理，即可求解．
【解答】解：f（x）＝x3﹣x﹣5＝0，
则f（0）＝﹣5，f（1）＝﹣5，f（2）＝1，f（3）＝19，f（4）＝55，
故f（1）f（2）＜0，
所以函数f（x）＝x3﹣x﹣5的零点所在的区间是（1，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点存在定理，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）5．（2024秋 寻甸县校级期中）已知f（x）＝kx2﹣4x﹣8，则（　　）
A．当时，f（x）＝0有两个零点
B．f（x）+4x为偶函数
C．f（x）在（5，7）上单调，则或
D．f（x）不可能为奇函数
【考点】函数的零点与方程根的关系；由函数的单调性求解函数或参数；奇函数偶函数的判断．
【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，取k＝0，即可判断；
对于B，由偶函数的定义即可判断；
对于C，分k＝0和k≠0，分别求解，即可判断；
对于D，只需判断是否存在k，使得f（﹣x）+f（x）＝0恒成立，即可判断．
【解答】解：对于A，当k＝0时，f（x）＝﹣4x﹣8，
令f（x）＝0，解得x＝﹣2，
此时函数只有一个零点，故A错误；
对于B，f（x）+4x＝kx2﹣8，
令g（x）＝f（x）+4x，g（﹣x）＝k（﹣x）2﹣8＝kx2﹣8＝g（x），故B正确；
对于C，当k＝0时，f（x）＝﹣4x﹣8在（5，7）上单调递减，
当k≠0时，若f（x）在（5，7）上单调，则或，解得或k＜0或，
综上，或，故C正确；
对于D，因为f（﹣x）+f（x）＝k（﹣x）2﹣4（﹣x）﹣8+kx2﹣4x﹣8＝2kx2﹣16，
不存在k，使得f（﹣x）+f（x）＝0恒成立，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了函数的零点、奇偶性，考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 朝阳区校级期中）已知函数，则下列关于x的方程[f（x）]2﹣2kf（x）+k＝0的命题正确的有（　　）
A．存在实数k，使得方程恰有1个实根
B．不存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不等的实根
D．不存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】令u＝f（x），y＝g（u）＝u2﹣2ku+k，利用图象分别研究k∈（0，1），k＝0，k＝1，k＜0，k＞1下的根的情况．
【解答】解：对于关于x的方程[f（x）]2﹣2kf（x）+k＝0中，
令u＝f（x），y＝g（u）＝u2﹣2ku+k，
作出函数u＝f（x），y＝g（u）的图象如图：
，
g（u）＝u2﹣2ku+k＝（u﹣k）2+k﹣k2，
，
当k∈（0，1）时，gmin（x）＞0，方程g（u）＝0无解，即方程g（f（x））＝0无解；
当k＝0时，g（u）＝0，解得u＝0，此时f（x）＝0恰有一个根，即方程g（f（x））＝0恰有一个根；
当k＝1时，g（u）＝0，解得u＝1，此时f（x）＝1恰有一个根，即方程g（f（x））＝0恰有一个根；
当k＜0时，g（0）＝k＜0，g（1）＝1﹣k＞0，g（u）＝0有一个根在（0，1）内，另一根在（﹣∞，0）内，此时方程g（f（x））＝0恰有两个不等实根；
当k＞1时，g（0）＝k＞0，g（1）＝1﹣k＜0，g（u）＝0有一个根在（0，1）内，另一根在（1，+∞）内，此时方程g（f（x））＝0恰有三个不等实根；
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的性质，数形结合思想的应用，属中档题．
（多选）7．（2024秋 中山区校级期中）关于x的方程|x2﹣1|2﹣|x2﹣1|+k＝0，以下说法正确的是（　　）
A．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根
B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根
D．不存在实数k，使得方程恰有7个不同的实根
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】将方程化为（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|＝﹣k，然后采用换元法变形为t2﹣|t|＝﹣k，将问题转化为y＝t2﹣|t|，y＝﹣k 的函数图象交点个数问题，通过对k分类讨论，从而判断出正确选项．
【解答】解：将|x2﹣1|2﹣|x2﹣1|+k＝0化为（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|＝﹣k，
令t＝x2﹣1≥﹣1，则t2﹣|t|＝﹣k，
在同一平面直角坐标系中作出y＝t2﹣|t|，y＝﹣k 的函数图象，如下图所示：
（1）当k＝0时，即t2﹣|t|＝0，解得t＝﹣1，0，1，
令x2﹣1＝﹣1，解得x＝0；
令x2﹣1＝0，解得x＝±1；
令x2﹣1＝1，解得，此时有5个不同实根；
（2）当﹣k＞0时，即k＜0，此时图象有2个不同交点，
设交点横坐标为t1，t2（t1＞1，t2＜﹣1），
令x2﹣1＝t1，解得；
因为t2＜﹣1，
所以x2＝1＝t2无解，
所以此时共有2个不同实根；
（3）当，即时，此时图象有2个不同交点，
设交点横坐标为t3，t4（﹣1＜t3＜0，0＜t4＜1），
令x2﹣1＝t3，解得；
令x2﹣1＝t4，解得，所以此时有4个不同实根；
（4）当时，即，此时图象有4个不同交点，
设交点横坐标为t5，t6，t7，t8且t5，t6∈（﹣1，0），t7，t8∈（0，1），
令x2﹣1＝t5，解得；令x2﹣1＝t6，解得；
令x2﹣1＝t7，解得；令x2﹣1＝t8，解得，
所以此时有8个不同实根；
（5）当时，即，此时两图象无交点，所以方程无解；
综上可知，BD选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 绵阳期末）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）
A．若x1＞1，x2＞1，则
B．若2x1＝x2+3，则或3
C．若，则m＝±4
D． m∈R，使得
【考点】函数的零点与方程根的关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】综合题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】结合韦达定理、一元二次方程的解法逐项判断．
【解答】解：由已知得Δ＝m2﹣8＞0，解得或m，且x1+x2＝m，x1x2＝2，
对于A，由题意x1﹣1+x2﹣1＞0，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＞0，
即m﹣2＞0，2﹣m+1＞0，解得2＜m＜3，综上m＜3符合题意，A正确；
对于B，因为2x1＝x2+3且x1x2＝2，解得x1＝2，x1＝1，此时m＝3，B错误；
|x1﹣x2|，解得m＝±4，C对；
因为，即1，解得m＝2，由于m，故不存在符合题意的m．
故选：AC．
【点评】本题考查一元二次方程根的分布问题，注意函数思想的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024秋 杨浦区校级期中）设a∈R，函数若关于x的方程f（x）＝a恰有一解，则a的取值范围为 　[﹣1，2]　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[﹣1，2]．
【分析】画出f（x）的图象，数形结合求解即可．
【解答】解：画出f（x）的图象，如图所示：
方程f（x）＝a恰有一解，等价于函数y＝f（x）的图象和y＝a的图象恰有一个交点，
结合图像可知，﹣1≤a≤2，
即a的取值范围为[﹣1，2]．
故答案为：[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查了分段函数图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
10．（2024秋 西湖区校级期中）已知函数若关于x的方程[f（x）]2+（2a﹣3）f（x）+a2﹣3a＝0有5个不同的实数根，则a的取值范围为 　（﹣1，0]∪（2，3]　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣1，0]∪（2，3]．
【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再由[f（x）]2+（2a﹣3）f（x）+a2﹣3a＝0可得f（x）＝3﹣a 或f（x）＝﹣a，然后数形结合，即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程[f（x）]2+（2a﹣3）f（x）+a2﹣3a＝0可化为：
[f（x）+a﹣3][f（x）+a]＝0，
∴f（x）＝3﹣a 或f（x）＝﹣a，
又函数，
∴作出f（x）的图象，如图所示：
∵关于x的方程[f（x）]2+（2a﹣3）f（x）+a2﹣3a＝0有5个不同的实数根，
∴关于x的两方程：f（x）＝3﹣a，f（x）＝﹣a共有5个不同的实数根，
即y＝f（x）与y＝3﹣a，y＝﹣a共有5个交点，
∴数形结合可得或，
解得2＜a≤3或﹣1＜a≤0，
∴a的取值范围为（﹣1，0]∪（2，3]．
故答案为：（﹣1，0]∪（2，3]．
【点评】本题考查嵌套型方程的根问题，数形结合思想的应用，化归转化思想，属中档题．
11．（2024秋 浙江期中）证券公司现推出两种理财产品，所能获得的利润分别为A和B（万元），它们与投入资金x（万元）与利润有以下关系，，现有10万元投资这两种理财产品，可以获得的最大利润是 　　（万元）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由题可得A+B关于x的表达式，后由换元法可得最值．
【解答】解：设关于B的投资为x万元，则关于A的投资为（10﹣x）万元，其中x∈[0，10]，
则总利润为，令，
则，
当且仅当t＝2，即x＝4时取等号，
则可以获得的最大利润是（万元）．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为t（x）＝eax+b，新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）499；
（2）2.33．
【分析】（1）由题意有，则，代入x＝7，计算即可得t（7）；
（2）令eax+b≥960，结合指数函数的性质计算即可得．
【解答】解：（1）依题意得，则，
当x＝7时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为499小时；
（2）由题意令eax+b≥960，得，
即，则，
则，
即，
解得：x≤2.334，
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
13．（2024秋 泉州期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润M，乙产品的利润N与研发投入a（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为x（单位：万元），两种产品的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（x）的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），88万元；
（2）在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元．
【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；
（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可．
【解答】解：（1）因为甲产品的投入为x万元（15≤x≤57），则乙产品的投入为（72﹣x）万元，
所以当15≤x≤37时，，
当37＜x≤57时，，
所以，
所以当x＝26时，f（26）＝413+81＝88，
即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元；
（2）当15≤x≤37时，令，
则总收益为g（t）＝4t（t2+1）+81（t﹣4）2+88.5，
所以当t＝4时，g（t）取得最大值88.5万元，
当37＜x≤57时89.5，
当且仅当，即x＝39时，等号成立，
因为89.5＞88.5，
所以该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为89.5万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
14．（2024秋 南海区校级期中）2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产．生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x千台，需另投入成本R（x）（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．
（1）写出年利润P（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：千台）的关系式；
（2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）产量为7万台时，年利润最大为700万元．
【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数；
（2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大值，比较后即可得．
【解答】解：（1）由题意得空调销售收入为0.5×1000x＝500x（万），
则
；
（2）由（1）得：
当1≤x≤60时，，
∴当x＝50时，P（x）取得最大值250；
当60＜x≤100时，
由勾形函数性质知P（x）在（60，70）上递增，在（70，100）上递减，
∴当x＝70时，P（x）取得最大值700，
综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期中）重庆市主城区城市公共供水企业（不含乡镇水厂）服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价（如下表所示）．阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
阶梯 用户用水量（吨） 综合水价（元/吨） 其中
自来水费（元/吨） 污水处理费（元/吨）
第一阶梯 0 260（含） 3.50 2.50 1.00
第二阶梯 260 360（含） 4.22 3.22
第二阶梯 360以上 5.90 4.90
（1）求用户水费y与用水量x的函数解析式，并求当某户一年所交水费为1078.8元时其一年的用水量：
（2）为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为z百吨（50≤z≤110），日处理污水的总成本w元与z百吨之间的函数关系可近似地表示为．若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴：处理z百吨污水补贴40z+2000元，求该企业每日可获得的最大利润．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），300；
（2）2000．
【分析】（1）根据题设写出水费的分段函数f（x）表达式，即可求解；
（2）表示出利润的表达式，即可求解．
【解答】解：（1）设用水量为x吨，则：
当0≤x≤260，水费f（x）＝3.5x元，
当260＜x≤360，水费f（x）＝260×3.5+4.22×（x﹣260）＝4.22x﹣187.2元，
当x＞360，水费f（x）＝260×3.5+4.22×（360﹣260）+5.9（x﹣360）＝5.9x﹣792元，
由题设，用户水费y与用水量x的函数解析式为，
当f（x）＝1078.8元，而3.5×260＝910＜1078.8，3.5×260+4.22×（360﹣260）＝1332＞1078.8，
所以4.22x﹣187.2＝1078.8，可得x＝300吨，
也即一年的用水量为300吨；
（2）已知该企业污水日处理量为z百吨（50≤z≤110），日处理污水的总成本w元与z百吨之间的函数关系可近似地表示为，
由题意可得该企业每日可获得的利润为：
，
，
由二次函数对称轴为z＝100，开口向下可知：
当z＝100时，取得最大值，最大值为：y＝2000，
所以该企业每日可获得的最大利润为2000元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
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