5.2三角函数的概念（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 三角函数的概念
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 湖北期中）已知cos（α+β），cosαcosβ，则tanαtanβ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（2024秋 通州区期中）已知角α终边经过点P（﹣3，y），且，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 东城区校级期中）在平面直角坐标系中，角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（2，4），则（　　）
A． B．﹣3 C． D．3
4．（2023秋 秦皇岛期末）已知角θ的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边上有一点P（4sinθ，cosθ），θ∈（π，），则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2023秋 江苏期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）6．（2023秋 吕梁期末）已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
（多选）7．（2024秋 冀州区校级期中）若角x是第二象限角，则（　　）
A．sinx＞0 B．cosx＞0
C．sin（cosx）＜0 D．cos（sinx）＞0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 杨浦区校级期中）若角α的终边经过点，则tanα＝ 　 　．
9．（2024秋 黄浦区校级期中）已知，α是第四象限角，则tanα＝　 　．
10．（2024秋 房山区期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则cosα＝　 　．
11．（2024 芝罘区校级模拟）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则的值为　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 湖北期中）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），将射线OA按逆时针方向旋转后于单位圆O交于点B（x2，y2），f（α）＝x1﹣x2，g（α）＝x1 x2．
（1）若，求f（α）的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数F（α）＝g（α）+mf（α）的最大值是时，求m的值．
13．（2024春 喀什市期中）（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值．
14．（2024秋 河南期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
15．（2024 海州区校级模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，A为锐角，且f（A），求△ABC面积S的最大值．
预习衔接.夯实基础 三角函数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 湖北期中）已知cos（α+β），cosαcosβ，则tanαtanβ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sinαsinβ即可得解．
【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，
可得．
故选：C．
【点评】本题考查了和角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2．（2024秋 通州区期中）已知角α终边经过点P（﹣3，y），且，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义，以及tanα，求得y，再求cosα 即可．
【解答】解：根据三角函数定义可得：，故可得y＝﹣4，
则．
故选：A．
【点评】本题考查任意角三角函数定义，属于基础题．
3．（2024秋 东城区校级期中）在平面直角坐标系中，角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（2，4），则（　　）
A． B．﹣3 C． D．3
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用三角函数的定义求出三角函数的值．
【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（2，4），则tanθ＝2，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2023秋 秦皇岛期末）已知角θ的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边上有一点P（4sinθ，cosθ），θ∈（π，），则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据θ的范围，可求4sinθ＜0，cosθ＜0，可得tanθ＞0，利用任意角的三角函数的定义即可计算求解tanθ的值．
【解答】解：因为θ∈（π，），
所以4sinθ＜0，cosθ＜0，可得tanθ＞0，
所以tanθ，即4tan2θ＝1，
解得tanθ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2023秋 江苏期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AD
【分析】对两边平方得，结合θ的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误．
【解答】解：，两边平方得：，
解得：，D正确；
故sinθ，cosθ异号，
因为θ∈（0，π），所以，A正确；
因为，结合，得到sinθ＞0，cosθ＜0，
解得：，故，BC错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
（多选）6．（2023秋 吕梁期末）已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AB
【分析】由已知结合同角基本关系检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，sin2α+cos2α＝1，
两边平方得，
所以，A正确；
因为α∈[0，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以 故选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 冀州区校级期中）若角x是第二象限角，则（　　）
A．sinx＞0 B．cosx＞0
C．sin（cosx）＜0 D．cos（sinx）＞0
【考点】三角函数值的符号．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意利用正弦函数及余弦函数的性质即可求解．
【解答】解：若x是第二象限角，易知sinx＞0，cosx＜0，故A正确，B错误；
又0，
则sin（cosx）＜0，故C正确；
又0＜sinx＜1，
可得cos（ sinx）＞0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正弦函数及余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 杨浦区校级期中）若角α的终边经过点，则tanα＝ 　2　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】2．
【分析】由题意利用任意角的三角函数值即可求解．
【解答】解：因为角α的终边经过点，
则tanα2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了任意角的三角函数值的应用，属于基础题．
9．（2024秋 黄浦区校级期中）已知，α是第四象限角，则tanα＝　　．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，α是第四象限角，
则sinα，可得tanα．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10．（2024秋 房山区期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则cosα＝　　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题设确定P的坐标，再由三角函数的定义求cosα．
【解答】解：由题设知：，故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11．（2024 芝罘区校级模拟）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则的值为　　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论．
【解答】解：∵点B的坐标为，设∠A0B＝θ
∴sin（2π﹣θ），cos（2π﹣θ），
即sinθ，cosθ，
∵∠AOC＝α，若|BC|＝1，∴θ+α，
则αθ，
则cosαsinα＝cos（α）＝cos（θ）＝sinθ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 湖北期中）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），将射线OA按逆时针方向旋转后于单位圆O交于点B（x2，y2），f（α）＝x1﹣x2，g（α）＝x1 x2．
（1）若，求f（α）的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数F（α）＝g（α）+mf（α）的最大值是时，求m的值．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）m＝﹣3或．
【分析】（1）利用三角函数求出x1，x2，进而求出f（α），利用正弦函数的性质求出范围．
（2）利用（1）的信息，求出F（α），利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得．
【解答】解：（1）因为角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），
所以x1＝cosα，，
所以，
由，得，则，
因此，f（α）的取值范围是；
（2）由（1）及已知，
可得，，
令，
可得，，
①当m≤1时，G（t）在上单调递减，，则m＝﹣3；
②当时，G（t）在[1，m]上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，G（t）在单调递增，，则，
所以m＝﹣3或．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，正弦函数的性质以及二次函数的性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
13．（2024春 喀什市期中）（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切；同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；
（2）弦化切即可．
【解答】解：（1）∵，α在第二象限，
∴，；
（2）由，
∴．
【点评】本题主要考查同角三角函数间的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2024秋 河南期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意得到tanα的值，将sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，即可得到有关tanα的式子，代入即可得到答案；
（2）先根据完全平方公式得到sinαcosα的值，然后再利用完全平方公式得到cosα+sinα的值，构造等式即可求得结果．
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1，或x＝2，
∵α是第三象限角，则tanα＞0，
∴tanα＝2，
∴
；
（2）∵，α∈（0，π），
则sinα＞0，cosα＞0，
∴，则，
故，
．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
15．（2024 海州区校级模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，A为锐角，且f（A），求△ABC面积S的最大值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域．
【专题】计算题；解三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系将f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1（x∈R）转化为f（x）sin（2x），利用正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A），可求得cos2A，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a，利用余弦定理与基本不等式可得bc，从而可求得△ABC面积S的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sinxcosx﹣sin2x+1
＝2sinxcosx+cos2x
＝sin2x+cos2x
（sin2xcos2x）
sin（2x）﹣﹣﹣（2分）
∴f（x）的最小正周期为π；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵2kπ≤2x2kπ（k∈Z），
∴kπ≤xkπ（k∈Z），
∴f（x）的增区间为（kπ，kπ）（k∈Z），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）∵f（A），
∴sin（2A），
∴cos2A，
∴2cos2A﹣1，
∵A为锐角，即0＜A，
∴cosA，
∴sinA．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
又∵a，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣2bc ，
∵b2+c2≥2bc，
∴bc．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴SbcsinA（） ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查同角三角函数基本关系，考查正弦函数的单调性与最值，突出余弦定理与基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．
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