知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第1节 曲线运动、运动的合成与分解 运动的合成与分解 2023T10：运动的合成与分解 1．曲线运动在考题中综合性较强，多与电场、磁场、机械能等进行综合，内容涉及实际生活、高科技、新能源等问题。 2．万有引力多考选择题，一般以神舟、天宫、嫦娥系列飞行器的成功发射、变轨、对接、回收以及空间站问题作为高考命题的热点。
第2节 抛体运动 抛体运动 2020T8：平抛运动的规律 2021适应考T5：平抛运动的规律 2024T4：通过喷泉形状认识抛体的规律
第3节 圆周运动 匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 2019T6：匀速圆周运动的向心力 2023T13：匀速圆周运动的线速度和向心力 2024T8：匀速圆周运动的向心力 2024T11：比较不同水平面内圆锥摆的v、ω、F向、a向
匀速圆周运动的向心力
离心现象
第4节 万有引力与航天 万有引力定律及其应用 2019T4：万有引力定律的应用 2020T7：万有引力定律的应用 2021适应考T4：卫星运行参量 2021T3：卫星运行参量 2022T14：万有引力定律的应用 2023T4：卫星运行参量
环绕速度、第二和第三宇宙速度
经典时空观和相对论时空观
实验五 探究平抛运动的特点
实验六 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
曲线运动、运动的合成与分解
一、曲线运动
1．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的______方向。
2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的______时刻在改变，所以曲线运动一定是______运动。
3．曲线运动的条件
4．合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在______方向与______方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的________侧。
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________。
2．合运动与分运动的关系
合运动与分运动是__________关系，且具有________和独立性。
(1)等时性：合运动和分运动经历的______相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动__________，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的______。
3．合运动的性质判断
加速度(或合力)
加速度(或合力)方向与速度方向
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 __________运动
一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 ____________运动
两个初速度为零的 匀加速直线运动 ____________运动
两个初速度不为零的 匀变速直线运动 如果v合与a合共线， 为____________运动
如果v合与a合不共线， 为____________运动
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)曲线运动的速度大小可能不变。 ( )
(2)曲线运动的加速度可以为零。 ( )
(3)合运动的速度一定大于分运动的速度。 ( )
(4)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。 ( )
(5)船的实际运动即为船的合运动，其轨迹与水流速度和船在静水中的速度有关。 ( )
(6)船头指向的运动方向为船在静水中的速度方向。 ( )
二、教材习题衍生
1．(对曲线运动的理解)如图所示，一无动力飞行爱好者在某次翼装飞行过程中，在同一竖直平面内从A到B滑出了一段曲线轨迹，该过程中下列说法正确的是( )
A．爱好者在某点所受合力方向不可能沿轨迹的切线方向
B．爱好者的速度可能保持不变
C．爱好者的速度方向与加速度方向始终相互垂直
D．若爱好者在某点所受合力方向与速度方向成锐角，爱好者的速度将减小
2．(运动合成与分解的应用)如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做加速运动
B．物体A做匀速运动
C．A处于失重状态
D．T等于mg sin θ
曲线运动条件与轨迹分析
[典例1] (物体做曲线运动的条件与特点)(2024·江苏黄桥中学模拟)关于物体的受力和运动，下列说法正确的是( )
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用
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[典例2] (轨迹、速度与力的关系)(2024·江苏常州期末)一小球在光滑的水平面上以速度v0向右运动，运动中要穿过一段有水平向北的风带ab，经过风带时风会给小球一个向北的水平恒力，其余区域无风力，则小球穿过风带的运动轨迹及穿出风带时的速度方向正确的是( )
A B
C D
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(1)物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记为“无力不弯，力速两边”，如图所示。
(2)因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。
(3)若合力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大；若两者夹角为钝角，则速率减小。
运动的合成与分解
[典例3] (合运动轨迹和性质的判断)(2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
A B C D
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1．合运动轨迹和性质的判断方法
(1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则物体做直线运动，否则做曲线运动。
(2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
2．分运动与合运动的关系
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
独立性 一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
[典例4] (由分运动的图像分析物体的运动规律)(2025·江苏盐城模拟)一质量为2 kg的物体在如图甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的 v-t 图像和在y轴方向上的s-t图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是( )
A．前2 s内物体做匀变速直线运动
B．物体的初速度为8 m/s
C．2 s末物体的速度大小为4 m/s
D．前2 s内物体所受的合外力为16 N
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1．由x方向的v-t图像可以确定质点在x方向的初速度及加速度。
2．由y方向的s-t图像可以确定在y方向的速度。
3．由F＝ma可以确定质点的合外力。
4．根据v0与F的方向关系可以判断质点运动的性质及运动轨迹。
[典例5] (根据运动轨迹分析物体运动情况)将一物体由坐标原点O以初速度v0抛出，在恒力作用下轨迹如图所示，A为轨迹最高点，B为轨迹与水平x轴交点，假设物体到B点时速度为vB，v0与x轴夹角为α，vB与x轴夹角为β，已知OA水平距离x1大于AB水平距离x2，则( )
A．物体在B点的速度vB大于v0
B．物体从O到A时间大于从A到B时间
C．物体在O点所受合力方向指向第三象限
D．α可能等于β
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运动合成和分解的三要点
(1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。
(2)恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。
(3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
小船渡河问题
1．船的实际运动：是水流的运动和船在静水中的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3．两类问题、三种情境
渡河 时间 最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船[典例6] (最小速度问题)(2024·淮安中学模拟)一艘船过河时，船头始终与船实际运动的方向垂直，水速恒为v1，船相对于水的速度大小恒为v2，船过河的时间为t，则( )
A．v1有可能等于v2
B．船的实际速度大小为
C．船头方向与河岸上游的夹角θ大小满足 cos θ＝
D．河宽为t
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[典例7] (最短时间问题)在杭州第19届亚运会皮划艇静水女子200米双人划艇决赛中，中国队以44秒296夺得金牌！决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面
B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小
D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为
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[典例8] (最短位移问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为 2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：
(1)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？
(2)小船渡河的最短时间为多长？
(3)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
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“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
(2)分速度→
(3)方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
[典例1] (绳关联速度的分解)(2024·江苏扬州一模)在没有起重机的年代，建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处，则( )
A．当绳与水平方向成θ角时，vA＝vB cos θ
B．当物块B匀速上升时，小车向左加速运动
C．当小车匀速向左运动时，绳对B的拉力大于B对绳的拉力
D．当小车匀速向左运动时，物块B向上加速运动
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绳(杆)牵连物体的分析技巧
(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。
(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。
(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，其中沿绳或杆方向的分速度大小相同。
[典例2] (杆关联速度的分解)(2024·江苏淮安期末)如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖直平面内，小球P、Q用小铰链(图中未画出)分别与圆环、轻杆两端相连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度大小为( )
A．v cos θ B．v
C． D．
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1 / 12课时分层作业(十) 曲线运动、运动的合成与分解
说明：选择题每小题4分；本试卷共52分。
题组一 曲线运动条件与轨迹分析
1．(2024·扬州中学质检)如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的动能继续前进
B．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
C．乒乓球将偏离原来的运动方向，但不会进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
2．如图所示是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度大小比C点的大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
题组二 运动的合成与分解
3．如图所示，竖直墙面和水平面均光滑，可视为质点的质量分别为m1、m2的A、B两球用轻杆连接，开始时小球A靠在竖直墙面上，小球B放在水平面上，杆与竖直方向的夹角为θ＝37°。由静止释放两球，当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球B仍在做加速运动，此时小球B的速度为v。已知重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，A、B两球始终在同一竖直面内运动，在小球A落地之前的运动过程中，下列判断不正确的是( )
A．小球A不会一直沿着墙面向下运动
B．小球A沿墙面向下运动的加速度不可能大于g
C．当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球A的速度大小为v
D．当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球A的速度大小为v
4．(2024·江苏徐州期末)一个质量为4 kg的质点在x-y平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．2 s时质点的速度为6 m/s
D．0时刻质点的速度为5 m/s
题组三 小船渡河问题
5．(2025·江苏镇江模拟)一小船以相对于静水不变的速度向对岸驶去，船头始终垂直河岸。河水向右流动，并且距离河岸越远水流速度越大，下列选项中描绘的小船过河轨迹可能正确的是( )
A B
C D
6．(2024·江淮十校第二次联考)一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A． B． C． D．
7．(2024·扬州江都区大桥高级中学高三月考)某人划船渡河，河宽为d，船在静水中划行速度大小为v1，船头方向与河岸间夹角为θ(θ<90°)，水流动速度大小为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A．若水流的速度增大，渡河时间变长
B．若水流的速度增大，渡河时间变短
C．改变θ，可使渡河的最短时间为
D．无论船速v1多大，通过改变θ，均可使小船到达正对岸O点
8．玻璃生产线的最后工序有一台切割机，能将宽度一定但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形。假设送入切割机的原始玻璃板的宽度L＝2 m，其沿切割机的轨道与玻璃板的两侧边平行，以 v1＝0.15 m/s 的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃的切割速度v2＝0.2 m/s，为了确保割下来的玻璃板是矩形，则相对地面参考系不正确的是( )
A．割刀运动的轨迹是一段直线
B．割刀完成一次切割的时间为10 s
C．割刀运动的实际速度为0.05 m/s
D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移是1.5 m
9．(2024·江苏南通期末)如图所示，物体M悬挂在动滑轮上，两者可沿竖直固定的杆运动。绳子的一端固定在A点，绳子的另一端以速率v匀速收绳，当绳BC段与竖直方向夹角为α时，物体M的速度大小是( )
A． B．v cos α
C．v(1＋cos α) D．
10．(2024·如东高级中学月考)质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝10 N作用2 s，则物体在这 4 s 内的轨迹为( )
A B
C D
11．(2024·江苏南通期末)修建高层建筑经常会用到塔式起重机，某塔式起重机某次提升质量为100 kg的建材(可视为质点)，使得建材正在沿竖直方向以1 m/s的速度向上做匀速直线运动，同时又使建材在水平方向上做匀加速运动，其水平方向的速度—时间(vx-t)关系图像如图甲所示(水平向右为正方向)，下列说法正确的是( )
A．0～2 s内建材的加速度大小为1.5 m/s2
B．1 s末建材受到的合力大小为75 N
C．1 s末建材的速度大小为1.75 m/s
D．建材的运动轨迹是图乙中的抛物线P
12．(2024·江苏姜堰中学高三月考)如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动。质量为m的物块放置在光滑水平面上。开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角为45°，用手控制物块静止。然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．球与物块分离前，球与物块速度相等
B．球与物块分离前，物块速度逐渐减小
C．球与物块分离前，杆上弹力逐渐增大
D．球与物块分离时，球加速度等于重力加速度g
13．如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )
A．t甲C．t甲>t乙 D．无法确定
1 / 5知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第1节 曲线运动、运动的合成与分解 运动的合成与分解 2023T10：运动的合成与分解 1．曲线运动在考题中综合性较强，多与电场、磁场、机械能等进行综合，内容涉及实际生活、高科技、新能源等问题。 2．万有引力多考选择题，一般以神舟、天宫、嫦娥系列飞行器的成功发射、变轨、对接、回收以及空间站问题作为高考命题的热点。
第2节 抛体运动 抛体运动 2020T8：平抛运动的规律 2021适应考T5：平抛运动的规律 2024T4：通过喷泉形状认识抛体的规律
第3节 圆周运动 匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 2019T6：匀速圆周运动的向心力 2023T13：匀速圆周运动的线速度和向心力 2024T8：匀速圆周运动的向心力 2024T11：比较不同水平面内圆锥摆的v、ω、F向、a向
匀速圆周运动的向心力
离心现象
第4节 万有引力与航天 万有引力定律及其应用 2019T4：万有引力定律的应用 2020T7：万有引力定律的应用 2021适应考T4：卫星运行参量 2021T3：卫星运行参量 2022T14：万有引力定律的应用 2023T4：卫星运行参量
环绕速度、第二和第三宇宙速度
经典时空观和相对论时空观
实验五 探究平抛运动的特点
实验六 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
曲线运动、运动的合成与分解
一、曲线运动
1．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3．曲线运动的条件
4．合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的“凹”侧。
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
2．合运动与分运动的关系
合运动与分运动是等效替代关系，且具有等时性和独立性。
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
3．合运动的性质判断
加速度(或合力)
加速度(或合力)方向与速度方向
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的 匀变速直线运动 如果v合与a合共线， 为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线， 为匀变速曲线运动
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)曲线运动的速度大小可能不变。 (√)
(2)曲线运动的加速度可以为零。 (×)
(3)合运动的速度一定大于分运动的速度。 (×)
(4)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。 (×)
(5)船的实际运动即为船的合运动，其轨迹与水流速度和船在静水中的速度有关。 (√)
(6)船头指向的运动方向为船在静水中的速度方向。 (√)
二、教材习题衍生
1．(对曲线运动的理解)如图所示，一无动力飞行爱好者在某次翼装飞行过程中，在同一竖直平面内从A到B滑出了一段曲线轨迹，该过程中下列说法正确的是( )
A．爱好者在某点所受合力方向不可能沿轨迹的切线方向
B．爱好者的速度可能保持不变
C．爱好者的速度方向与加速度方向始终相互垂直
D．若爱好者在某点所受合力方向与速度方向成锐角，爱好者的速度将减小
A [曲线运动中，合力方向指向轨迹的凹侧，速度才是沿轨迹的切线方向，故A正确；曲线运动中速度一直在变化，故B错误；曲线运动中，速度方向和加速度方向不能共线，并非一直相互垂直，匀速圆周运动时，速度方向与加速度方向一直相互垂直，故C错误；若爱好者在某点所受合力方向与速度方向成锐角，爱好者将做加速运动，故D错误。]
2．(运动合成与分解的应用)如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做加速运动
B．物体A做匀速运动
C．A处于失重状态
D．T等于mg sin θ
A [将B的竖直向下的运动分解为沿着绳子方向与垂直绳子方向两个分运动，如图所示
结合平行四边形定则以及三角函数可知v绳＝vA＝vB sin α，式中B速度恒定，α增大，故A的速度增大，有斜向左上方的加速度，A处于超重状态，故A正确，B、C错误；对A分析，根据牛顿第二定律可得T－mg sin θ＝ma>0，即T>mg sin θ，故D错误。故选A。]
曲线运动条件与轨迹分析
[典例1] (物体做曲线运动的条件与特点)(2024·江苏黄桥中学模拟)关于物体的受力和运动，下列说法正确的是( )
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用
D [如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一定改变，故A错误；物体做曲线运动时，通过某一点的曲线的切线方向是该点的速度方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。]
[典例2] (轨迹、速度与力的关系)(2024·江苏常州期末)一小球在光滑的水平面上以速度v0向右运动，运动中要穿过一段有水平向北的风带ab，经过风带时风会给小球一个向北的水平恒力，其余区域无风力，则小球穿过风带的运动轨迹及穿出风带时的速度方向正确的是( )
A B
C D
B [小球在光滑的水平面上以v0向右运动，给小球一个向北的水平恒力，根据曲线运动条件，合力指向曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着轨迹的切线方向，故B正确。]
(1)物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记为“无力不弯，力速两边”，如图所示。
(2)因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。
(3)若合力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大；若两者夹角为钝角，则速率减小。
【典例2 教用·备选题】 (轨迹、速度与力的关系)(2024·常州调研)第24届2022年冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，双人滑运动员在光滑水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
C [根据题图知乙运动员由M向N做曲线运动，乙运动员在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合力的方向与vM的方向成钝角，与vN的方向成锐角，即指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误。]
运动的合成与分解
[典例3] (合运动轨迹和性质的判断)(2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
A B C D
D [设罐子的初速度为v0，在空中水平向右的加速度为a，在某一时刻t，对于t之前的任一时刻t0漏出的沙子，其在t时间内水平方向的位移大小x＝＋(v0＋at0)(t－t0)＝＝2t0t)＋v0t＝－a(t－t0)2＋at2＋v0t，t时间内竖直方向的位移大小y＝g(t－t0)2，即＝(t－t0)2，联立解得y＝－x＋gt2＋(对于t时刻，t为定值)，则沙子的几何图形应为D。]
1．合运动轨迹和性质的判断方法
(1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则物体做直线运动，否则做曲线运动。
(2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
2．分运动与合运动的关系
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
独立性 一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
[典例4] (由分运动的图像分析物体的运动规律)(2025·江苏盐城模拟)一质量为2 kg的物体在如图甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的 v-t 图像和在y轴方向上的s-t图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是( )
A．前2 s内物体做匀变速直线运动
B．物体的初速度为8 m/s
C．2 s末物体的速度大小为4 m/s
D．前2 s内物体所受的合外力为16 N
C [由v-t图像可知，物体在x轴方向上做匀减速直线运动，由s-t图像可知，物体在y轴方向上做匀速直线运动。对两个方向的运动进行合成，物体应该做类平抛运动，即匀变速曲线运动，故A错误；x轴方向初速度为 8 m/s，y轴方向上速度为 4 m/s，二者合成，其合速度v合＝ m/s＝4 m/s，故B错误；2 s末物体x轴方向速度为0，y轴方向速度为4 m/s，二者合成，其速度大小为 4 m/s，故C正确；x轴方向上的加速度为4 m/s2，由牛顿第二定律 F＝ma得F＝2 kg×4 m/s2＝8 N，故D错误。]
1．由x方向的v-t图像可以确定质点在x方向的初速度及加速度。
2．由y方向的s-t图像可以确定在y方向的速度。
3．由F＝ma可以确定质点的合外力。
4．根据v0与F的方向关系可以判断质点运动的性质及运动轨迹。
[典例5] (根据运动轨迹分析物体运动情况)将一物体由坐标原点O以初速度v0抛出，在恒力作用下轨迹如图所示，A为轨迹最高点，B为轨迹与水平x轴交点，假设物体到B点时速度为vB，v0与x轴夹角为α，vB与x轴夹角为β，已知OA水平距离x1大于AB水平距离x2，则( )
A．物体在B点的速度vB大于v0
B．物体从O到A时间大于从A到B时间
C．物体在O点所受合力方向指向第三象限
D．α可能等于β
C [从题图中可知物体在竖直方向上做初速度不为零的匀减速直线运动，在A点竖直方向速度为零。根据运动对称性可得，物体从O到A时间等于从A到B时间；在水平方向上做初速度不为零的匀变速直线运动，从O到A和从A到B时间相等，位移x1> x2，则水平方向做匀减速直线运动，故到B点合力做负功，物体在B点的速度vB 运动合成和分解的三要点
(1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。
(2)恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。
(3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
小船渡河问题
1．船的实际运动：是水流的运动和船在静水中的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3．两类问题、三种情境
渡河 时间 最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船[典例6] (最小速度问题)(2024·淮安中学模拟)一艘船过河时，船头始终与船实际运动的方向垂直，水速恒为v1，船相对于水的速度大小恒为v2，船过河的时间为t，则( )
A．v1有可能等于v2
B．船的实际速度大小为
C．船头方向与河岸上游的夹角θ大小满足 cos θ＝
D．河宽为t
D [由于船头始终与船实际运动的方向垂直，即船在静水中的速度v2始终与船实际速度v垂直，如图所示，由几何关系可知，v1大于v2，A项错误；船的实际速度大小为，B项错误；cos θ＝，C项错误；河宽为v2t sin θ＝t，D项正确。
]
[典例7] (最短时间问题)在杭州第19届亚运会皮划艇静水女子200米双人划艇决赛中，中国队以44秒296夺得金牌！决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面
B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小
D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为
B [当v[典例8] (最短位移问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为 2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：
(1)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？
(2)小船渡河的最短时间为多长？
(3)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
[解析] (1)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cos θ＝＝＝
故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时间
t＝＝ s＝ s。
(2)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示。船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin β，故小船渡河的时间为t＝，当β＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间tmin＝50 s。
(3)因为v船＝3 m/s＜v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游。如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短。以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大。
则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°，
又＝＝，
代入数据解得x′≈267 m。
[答案] (1)见解析 (2)50 s (3)见解析
【典例8 教用·备选题】 (最短位移问题)如图所示，河水流动的速度为v，且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝
D [当小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝，且t必须小于或等于，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，船头方向与AB垂直，由几何关系可得vmin＝，故选项C错误，D正确。]
“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
(2)分速度→
(3)方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
[典例1] (绳关联速度的分解)(2024·江苏扬州一模)在没有起重机的年代，建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处，则( )
A．当绳与水平方向成θ角时，vA＝vB cos θ
B．当物块B匀速上升时，小车向左加速运动
C．当小车匀速向左运动时，绳对B的拉力大于B对绳的拉力
D．当小车匀速向左运动时，物块B向上加速运动
D [当绳与水平方向成θ角时，将A的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则vB＝vA cos θ，选项A错误；当物块B匀速上升时，θ减小，则vA减小，即小车向左减速运动，选项B错误；绳对B的拉力与B对绳的拉力是相互作用力，总是等大反向，选项C错误；当小车匀速向左运动时，根据vB＝vA cos θ，θ减小，vB变大，即B加速上升，选项D正确。]
【典例1 教用·备选题】 (绳关联速度的分解)如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，在圆环的最高点O固定一个光滑的小环，穿过小环的细线两端分别连接着质量为2m的小球A和质量为m的小球B，A、B两球套在圆环上，用沿圆环切线方向的力F作用在B球上，使A、B保持静止，此时A、B连线刚好是圆环的直径，A、B连线与水平方向夹角为30°，撤去作用在小球B上的力后，两个小球由静止开始运动。已知重力加速度为g，不计小环和小球大小，运动过程中整个系统无能量损失。下列说法正确的是( )
A．F＝mg
B．F＝(－1)mg
C．当A球下降高度R到P位置时，A、B两球速度大小相等
D．当A球下降高度R到P位置时，A、B两球速度大小关系为vA＝vB
D [开始时，对小球A研究，根据力的平衡，细线拉力T＝2mg，对小球B研究，有T cos 60°＝mg sin 60°＋F，解得F＝mg，故A、B错误；当A球下降高度R到P位置时，B球上升的高度也为R，此时A、B两球的连线仍过圆心，由沿绳方向的速度大小相等得vA cos 60°＝vB cos 30°，解得vA＝vB，故C错误，D正确。故选D。]
绳(杆)牵连物体的分析技巧
(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。
(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。
(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，其中沿绳或杆方向的分速度大小相同。
[典例2] (杆关联速度的分解)(2024·江苏淮安期末)如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖直平面内，小球P、Q用小铰链(图中未画出)分别与圆环、轻杆两端相连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度大小为( )
A．v cos θ B．v
C． D．
B [若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度大小为vQ，两球沿轻杆方向的分速度相等，则有v cosθ＝vQ cos θ，解得vQ＝v，故选B。]
【典例2 教用·备选题】(杆关联速度的分解)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
思路点拨：(1)两个小球的速度都可分解为沿杆方向和垂直杆方向的两个分速度。
(2)杆的长度不变，两小球在沿杆方向的速度相等。
C [因球A与球形容器球心等高，则此时其速度方向竖直向下，将速度v1分解，如图所示。
由图可知v11＝v1sin 30°＝v1；对球B分析知，球B此时速度方向与杆所在直线夹角为α＝60°，如图所示，将球B的速度v2分解，由图可知v21＝v2cos 60°＝v2。又沿杆方向两球分速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项C正确。]
课时分层作业(十) 曲线运动、运动的合成与分解
题组一 曲线运动条件与轨迹分析
1．(2024·扬州中学质检)如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的动能继续前进
B．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
C．乒乓球将偏离原来的运动方向，但不会进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
C [当乒乓球经过筒口的正前方时，对着球横向吹气，乒乓球会获得一个横向的速度，此速度与乒乓球原有的速度的合速度方向斜向左下方，因此乒乓球将偏离原来的运动方向，向左下方运动，不会进入纸筒，故选C。]
2．如图所示是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度大小比C点的大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
C [物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率大于B点的速率，故选项A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度大小不变，所以物体经过C点时的加速度大小与A点相同，故选项B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的速度方向与加速度方向夹角小于90°，所以从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角一直减小，物体的速率先减小后增大，故选项D错误。]
题组二 运动的合成与分解
3．如图所示，竖直墙面和水平面均光滑，可视为质点的质量分别为m1、m2的A、B两球用轻杆连接，开始时小球A靠在竖直墙面上，小球B放在水平面上，杆与竖直方向的夹角为θ＝37°。由静止释放两球，当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球B仍在做加速运动，此时小球B的速度为v。已知重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，A、B两球始终在同一竖直面内运动，在小球A落地之前的运动过程中，下列判断不正确的是( )
A．小球A不会一直沿着墙面向下运动
B．小球A沿墙面向下运动的加速度不可能大于g
C．当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球A的速度大小为v
D．当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球A的速度大小为v
C [如果小球A能一直沿着墙面向下运动，当小球A刚要落地时速度向下，则小球B速度为零，此过程小球B一定是先向右加速运动后向右减速运动，杆对小球B先推后拉，杆拉小球B时一定拉小球A，因此小球A一定会在运动到地面前离开竖直墙面，故A正确；小球A沿墙面向下运动时，杆对球一定施加推力，因此小球A向下的加速度一定不会大于g，故B正确；当杆与竖直方向的夹角为53°时，设小球A的速度为v′，则v′cos 53°＝v cos 37°，解得v′＝v，故C错误，D正确。故选C。]
4．(2024·江苏徐州期末)一个质量为4 kg的质点在x-y平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．2 s时质点的速度为6 m/s
D．0时刻质点的速度为5 m/s
D [由题图可知质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向。在x轴方向上的初速度为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝＝4 m/s，则初速度大小为v0＝＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，故质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为1.5 m/s2，合力大小为F＝ma＝6 N，故B错误；由题图可知2 s末在x轴方向上的速度为6 m/s，在y轴方向上的速度为4 m/s，则合速度为v＝＝2 m/s，故C错误。故选D。]
题组三 小船渡河问题
5．(2025·江苏镇江模拟)一小船以相对于静水不变的速度向对岸驶去，船头始终垂直河岸。河水向右流动，并且距离河岸越远水流速度越大，下列选项中描绘的小船过河轨迹可能正确的是( )
A B
C D
C [距离河岸越远水流速度越大，则从出发到河中心沿水流方向上做加速运动，垂直河岸方向上做匀速直线运动，类比于平抛运动的图像可知C符合题意。故选C。]
6．(2024·江淮十校第二次联考)一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A． B． C． D．
D [两船抵达的地点相同，知合速度方向相同，A船静水速度垂直于河岸，B船的静水速度与合速度垂直，如图所示，两船的合位移相等，则渡河所用时间之比等于两船合速度之反比，则＝＝＝，故选项D正确，A、B、C错误。
]
7．(2024·扬州江都区大桥高级中学高三月考)某人划船渡河，河宽为d，船在静水中划行速度大小为v1，船头方向与河岸间夹角为θ(θ<90°)，水流动速度大小为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A．若水流的速度增大，渡河时间变长
B．若水流的速度增大，渡河时间变短
C．改变θ，可使渡河的最短时间为
D．无论船速v1多大，通过改变θ，均可使小船到达正对岸O点
C [船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，可得两个方向上的分速度，则有渡河所需的时间为 t＝，因此渡河时间与水流速度无关，故A、B错误；当θ＝90°时，渡河时间最短且为tmin＝，故C正确；当船在静水中划行速度v1大于水流动速度v2时，无论船速v1多大，通过改变θ，都能使小船到达正对岸O点；而当船在静水中划行速度v1小于水流动速度v2时，不论如何改变θ，都不能使小船到达正对岸，故D错误。]
8．玻璃生产线的最后工序有一台切割机，能将宽度一定但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形。假设送入切割机的原始玻璃板的宽度L＝2 m，其沿切割机的轨道与玻璃板的两侧边平行，以 v1＝0.15 m/s 的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃的切割速度v2＝0.2 m/s，为了确保割下来的玻璃板是矩形，则相对地面参考系不正确的是( )
A．割刀运动的轨迹是一段直线
B．割刀完成一次切割的时间为10 s
C．割刀运动的实际速度为0.05 m/s
D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移是1.5 m
C [为了使切割下来的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的运动速度方向应垂直于玻璃板两侧边。割刀实际参与两个分运动，即沿玻璃板长边的运动和垂直于玻璃板两侧边的运动。两个分运动都是匀速直线运动，则割刀的合运动为匀速直线运动，故A正确；割刀切割玻璃板的速度为垂直于玻璃板两侧边的运动速度，则其完成一次切割的时间为t＝＝ s＝10 s，故B正确；根据运动的合成与分解可知，割刀运动的实际速度为v＝＝ m/s＝0.25 m/s，故C错误；10 s内玻璃板的位移x＝v1t＝1.5 m，故D正确。]
9．(2024·江苏南通期末)如图所示，物体M悬挂在动滑轮上，两者可沿竖直固定的杆运动。绳子的一端固定在A点，绳子的另一端以速率v匀速收绳，当绳BC段与竖直方向夹角为α时，物体M的速度大小是( )
A． B．v cos α
C．v(1＋cos α) D．
D [根据题意可得vΔt＝vBCΔt＋vABΔt，vBC＝vM cos α，vAB＝vM，所以物体M的速度为vM＝，故选D。]
10．(2024·如东高级中学月考)质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝10 N作用2 s，则物体在这 4 s 内的轨迹为( )
A B
C D
D [物体在F1的作用下由静止开始从坐标系原点沿x轴正方向做匀加速直线运动，加速度a1＝＝4 m/s2，末速度为v1＝a1t1＝8 m/s，对应位移x1＝＝8 m，到 2 s 末撤去F1再受到沿y轴正方向的力F2的作用，物体在x轴正方向做匀速直线运动，x2＝v1t2＝16 m，4 s内x轴方向的位移x＝x1＋x2＝24 m；在y轴正方向做匀加速直线运动，y轴正方向的加速度a2＝＝5 m/s2，对应的位移y＝＝10 m，物体做曲线运动。再根据曲线运动的加速度方向指向轨迹的凹侧，可知选项A、B、C错误，D正确。]
11．(2024·江苏南通期末)修建高层建筑经常会用到塔式起重机，某塔式起重机某次提升质量为100 kg的建材(可视为质点)，使得建材正在沿竖直方向以1 m/s的速度向上做匀速直线运动，同时又使建材在水平方向上做匀加速运动，其水平方向的速度—时间(vx-t)关系图像如图甲所示(水平向右为正方向)，下列说法正确的是( )
A．0～2 s内建材的加速度大小为1.5 m/s2
B．1 s末建材受到的合力大小为75 N
C．1 s末建材的速度大小为1.75 m/s
D．建材的运动轨迹是图乙中的抛物线P
B [由题知，建材在竖直方向做匀速直线运动，ay＝0；由题图甲，0～2 s内建材的加速度大小ax＝ m/s2＝0.75 m/s2，由牛顿第二定律可知，1 s 末建材受到的合力大小F＝max＝75 N，故A错误，B正确；1 s末建材的水平分速度大小为vx＝axt＝0.75 m/s，竖直分速度大小为vy＝1 m/s，此时合速度大小为v＝＝1.25 m/s，故C错误；由于建材在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，因此建材的运动轨迹向右弯曲，题图乙中的抛物线Q符合，不可能是题图乙中的抛物线P，故D错误。故选B。]
12．(2024·江苏姜堰中学高三月考)如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动。质量为m的物块放置在光滑水平面上。开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角为45°，用手控制物块静止。然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．球与物块分离前，球与物块速度相等
B．球与物块分离前，物块速度逐渐减小
C．球与物块分离前，杆上弹力逐渐增大
D．球与物块分离时，球加速度等于重力加速度g
D [设球的速度为v，根据题意得物块与球的水平速度相等，设杆与地面夹角为θ，由运动的分解有vx＝v sin θ，所以分离前，球与物块速度不相等，A错误；由于地面光滑，物块水平方向只受到球对物块的弹力，所以分离前，物块受力即加速度始终向左，一直加速，B错误；对小球和物块整体受力分析，受重力、杆的弹力F、地面的支持力FN，在水平方向运用牛顿第二定律得F cos θ＝(m＋m)ax，根据题意知，水平方向加速度逐渐变小，cos θ逐渐变大，所以弹力变小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度为g，C错误，D正确。]
13．如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )
A．t甲C．t甲>t乙 D．无法确定
C [设水速为v0，人在静水中的速度为v，OA＝OB＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝；A→O 阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝，故甲所用时间t甲＝t1＋t2＝＝。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成速度，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝，故乙所用时间t乙＝。＝>1，即t甲>t乙，故C正确。
]
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