课时分层作业(十一) 抛体运动
说明：选择题每小题4分；本试卷共58分。
题组一 平抛与斜抛运动的基本规律
1．(2021·江苏卷)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
2．(2024·江苏南京一模)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．两谷粒从O到P的运动时间相同
B．两谷粒从O到P的平均速度相同
C．两谷粒从O到P的加速度相同
D．两谷粒从O到P重力做的功相同
3．(2024·江苏南通一模)一小球先后三次以相等的速率从地面同一点抛出，速度与地面的夹角分别为30°、45°和60°，不计空气阻力，则小球在空中的轨迹关系可能正确的是( )
A B
C D
题组二 有约束条件的平抛运动
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
A． B．
C． D．(＋1)D
5．如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处。今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta＝tb B．ta＝3tb
C．va＝vb D．va＝vb
6．(2024·江苏海安高级中学高三月考)如图所示，将一小球从斜面上方的P点沿不同的方向以相同的速率抛出，不计空气阻力。要使得小球从抛出到落到斜面的时间最短，小球抛出的方向是( )
A．水平向左 B．竖直向下
C．垂直斜面向下 D．平行于斜面向下
题组三 平抛中的临界、极值问题
7．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．落点D与网之间的垂直距离为x
B．网球的初速度大小为x
C．若击球高度低于h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，球一定落在对方界内
8．将一抛球入框游戏简化如下：在地面上竖直固定一矩形框架，框架高 1 m、 长3 m，抛球点位于框架底边中点正前方2 m、离地高度1.8 m处，如图所示。假定球被水平抛出，方向可在水平面内调节，不计空气阻力，g取10 m/s2，忽略框架的粗细，球视为质点，球要在落地前进入框内，则球被抛出的速度大小可能为( )
A．2 m/s B．3 m/s
C．6 m/s D．7 m/s
9．某弹射管每次弹出的小球速度相等，在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
10．(2024·江苏无锡一模)玉米是我国重要的农作物。收割后脱粒玉米用如图甲所示的传送带装置运送。如图乙所示，将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒被放到底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，由静止开始运动，一段时间后和传送带保持相对静止，直至从传送带的顶端飞出，最后落在水平地面上，玉米粒被迅速装袋转运，提升了加工转运的效率。已知传送带与水平方向的夹角为θ、顶端的高度为h，玉米粒相对于传送带顶端的最大高度也是h，若不计风力、空气阻力和玉米粒之间的相互作用力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．玉米粒在传送带上时，所受摩擦力始终不变
B．玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为
C．传送带的速度大小为
D．玉米粒飞出后到落地所用的时间为3
11．如图所示，大炮在山脚直接对着倾角为α＝30°的斜坡发射炮弹，重力加速度为g，炮弹初速度为v0，要使炮弹打到斜坡上尽可能远的地方，则炮弹初速度方向与斜坡的夹角为多少？打到斜坡上的最远距离为多少？
12．如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，经过最高点Q后小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g。求：
(1)风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
(2)小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度。
1 / 5 抛体运动
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿__________抛出，物体只在______作用下所做的运动。
2．性质
加速度为____________的匀变速曲线运动，轨迹是________。
3．条件：v0≠0，沿__________；只受______作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：______直线运动。
(2)竖直方向：__________运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0__________或斜向下方抛出，物体只在______作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：______直线运动。
(2)竖直方向：________直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝__________，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝__________，F合y＝mg。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 ( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 ( )
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 ( )
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 ( )
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 ( )
二、教材习题衍生
1．(平抛运动的基本规律)某弹射管沿足够高的光滑竖直轨道自由下落，每隔相同时间以相同速度水平弹出一小球，且弹射管保持水平。若先后弹出a、b、c三只小球，忽略空气阻力，则( )
A．c球先落地
B．落地时三球速度方向不同
C．三球在空中始终在竖直线上
D．b球落地时在a、c两球连线的中点
2．(平抛与斜面的结合)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，垂直击中坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
3．(斜抛运动规律的应用)2023年诺贝尔物理学奖授予三位物理科学家，表彰他们对于超快激光和阿秒物理科学的开创性工作。阿秒激光脉冲(1阿秒＝10-18秒)是目前人们所能控制的最短时间过程，可用来测量原子内绕核运动电子的动态行为等超快物理现象。其应用类似于频闪照相机，下面三幅图是同一小球，在同一地点，用同一频闪照相仪得到的运动照片，下列说法正确的是( )
A．三种运动过程中，小球的加速度逐渐增大
B．前两种运动小球处于完全失重状态，而斜上抛运动的小球上升过程处于超重状态
C．三种运动过程中，相等时间内小球速度变化量的大小相同
D．三种运动过程中，相等时间内小球在竖直方向上位移相同
平抛与斜抛运动的基本规律
[典例1] (平抛规律的理解与应用)(2024·海南卷)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长x＝25 m的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为( )
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
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[典例2] (平抛运动推论的应用)将小球以某一初速度从A点水平向左抛出，运动轨迹如图所示，B为轨迹上的一点。改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过B点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是( )
A．在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球
B．在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球
C．在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球
D．在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球
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[典例3] (不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的小
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[典例4] (斜抛问题)(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同 B．初速度相同
C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
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平抛运动的重要结论和推论
(1)飞行时间
由t＝知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
(4)两个重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝。
②做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。
[典例5] (同一高度斜抛后落在同一竖直面上的斜抛问题)(2024·江苏宿迁一模)如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则( )
A．两次击中墙时的速度相等
B．沿1轨迹打出时的初速度大
C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角大
D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长
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有约束条件的平抛运动
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ →α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
[典例6] (从斜面平抛且落点在斜面上)(一题多法)如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
审题指导：
题干关键 获取信息
从O点水平飞出，不计空气阻力 运动员做平抛运动
经过3 s落到斜坡上的A点 空中运动时间为3 s，可求出竖直分运动的位移
斜坡与水平面的夹角θ＝37° 结合竖直分位移可求合位移和水平位移，进而求出水平分速度(即初速度)
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与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
[典例7] (物体从空中抛出垂直打在斜面上)(2025·江苏常州模拟)将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取 10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
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[典例8] (物体从斜面上抛出落在斜面上)(2024·江苏镇江一模)如图所示，斜面倾角为α，且tan α＝，现从斜面上O点与水平方向成60° 角以速度v0、2v0分别抛出小球1、2，小球1、2刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别为v1、v2，设O、A间的距离为s1，O、B间的距离为s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．＝，v1、v2方向相同
B．＝ ，v1、v2方向不同
C．s2＝2s1，v1、v2方向相同
D．2s1[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例9] (落点在圆弧面上的平抛运动)(2024·宜兴中学模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
A．小球到达B点飞行的时间为
B．小球平抛的初速度大小为
C．小球到达B点时水平位移为
D．小球到达B点时竖直位移为
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平抛中的临界、极值问题
平抛中常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例10] (平抛运动的临界和极值问题)排球场总长 18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在 3 m 线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
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平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
[典例11] (跳台滑雪中平抛运动的临界和极值问题)跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”的简化图如图所示，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成。比赛中运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为4.5 s，着陆坡的倾角θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取 10 m/s2，忽略空气阻力影响，求：
(1)运动员从B点水平飞出的速度大小；
(2)运动员从B点飞出后离斜面最远时速度大小。
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1 / 11 抛体运动
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动。
(2)竖直方向：自由落体运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动。
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 (×)
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (×)
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 (×)
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (√)
二、教材习题衍生
1．(平抛运动的基本规律)某弹射管沿足够高的光滑竖直轨道自由下落，每隔相同时间以相同速度水平弹出一小球，且弹射管保持水平。若先后弹出a、b、c三只小球，忽略空气阻力，则( )
A．c球先落地
B．落地时三球速度方向不同
C．三球在空中始终在竖直线上
D．b球落地时在a、c两球连线的中点
D [由于弹射管沿竖直轨道自由下落，则弹出的三个小球和弹射管始终保持在相同的高度，即三个小球和弹射管具有相同的竖直速度，弹出后始终处于同一水平线上继续下落，最终同时落地，故A、C错误；三个小球每隔相同时间以相同速度水平弹出，则a、b两球之间的水平距离始终等于b、c两球之间的水平距离，且等于弹射速度与弹射时间间隔的乘积，所以b球落地时在a、c两球连线的中点处，故D正确；三个小球始终具有相同的竖直速度和水平速度，则落地时速度方向也必然相同，故B错误。]
2．(平抛与斜面的结合)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，垂直击中坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
D [设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝vyt，x＝v0t，得＝，因为＝，x＝，联立解得H＝h＋，故A不符合题意；根据H－h＝gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C不符合题意；因不知道炸弹的质量，所以不能求出炸弹投出时的动能，故D符合题意。]
3．(斜抛运动规律的应用)2023年诺贝尔物理学奖授予三位物理科学家，表彰他们对于超快激光和阿秒物理科学的开创性工作。阿秒激光脉冲(1阿秒＝10-18秒)是目前人们所能控制的最短时间过程，可用来测量原子内绕核运动电子的动态行为等超快物理现象。其应用类似于频闪照相机，下面三幅图是同一小球，在同一地点，用同一频闪照相仪得到的运动照片，下列说法正确的是( )
A．三种运动过程中，小球的加速度逐渐增大
B．前两种运动小球处于完全失重状态，而斜上抛运动的小球上升过程处于超重状态
C．三种运动过程中，相等时间内小球速度变化量的大小相同
D．三种运动过程中，相等时间内小球在竖直方向上位移相同
C [三种运动小球均只受重力，小球处于完全失重状态，加速度为重力加速度，保持不变，故A、B错误；平抛运动和斜抛运动水平方向分运动是匀速直线运动，水平分速度不变，只有竖直分速度变化，根据Δvy＝gΔt可知，三种运动过程中，相等时间内速度变化量的大小相同，故C正确；自由落体运动和平抛运动相等时间内在竖直方向上的位移相同，斜上抛运动在竖直方向上做竖直上抛运动，与前两种运动相等时间内位移不同，故D错误。故选C。]
平抛与斜抛运动的基本规律
[典例1] (平抛规律的理解与应用)(2024·海南卷)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长x＝25 m的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为( )
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
B [车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向x＝v0t，其中x＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m，故选B。]
【典例1 教用·备选题】 (平抛规律的理解与应用)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
[解析] 设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy
不计空气阻力，石子做平抛运动
竖直方向有＝2gh
恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ＝
联立解得v0＝。
[答案]
[典例2] (平抛运动推论的应用)将小球以某一初速度从A点水平向左抛出，运动轨迹如图所示，B为轨迹上的一点。改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过B点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是( )
A．在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球
B．在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球
C．在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球
D．在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球
C [根据平抛运动的推论，速度反向延长线过水平位移的中点，如图所示，在与A等高处其他位置水平抛出，无论左侧还是右侧，只要沿原方向经过B点，则不满足平抛运动的推论，A、B项错误；当在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球，小球初速度等于原小球经过该点的速度，则小球轨迹重合，小球能够沿原方向经过B点，C项正确；在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球，根据几何关系可知：如果沿原方向经过B点，小球速度反向延长线不能过水平位移中点，D项错误。
]
[典例3] (不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的小
A [位移为初位置到末位置的有向线段，如题图所示可得sA＝＝l ，sB＝＝l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动的运动时间由高度决定，即tA＝＝ ，tB＝＝，则A的运动时间是B的倍，B错误；平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝＝ ，vxB＝＝，则A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的末速度分别为vyA＝2，vyB＝，所以可得vA＝，vB＝2＝，即vA>vB，D错误。]
[典例4] (斜抛问题)(2024·江苏卷)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同 B．初速度相同
C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
A [不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知ta【典例4 教用·备选题】 (斜抛问题)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的 0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝2 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
D [设网球飞出时的速度为v0，根据运动学公式可知竖直方向＝2g (H－h)，代入数据得v0y＝12 m/s，运动时间t＝，根据速度的分解有v0x＝，网球打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0x1＝，根据几何关系可得，平行墙面的速度分量 v0x2＝，反弹后，垂直墙面的速度分量v0x3＝0.75v0x1，则反弹后的网球速度大小为v＝，联立代入数据解得v＝3 m/s，网球落到地面的时间t′＝，着地点到墙壁的距离d＝v0x3t′，代入数据解得d＝3.9 m，故D正确，A、B、C错误。]
平抛运动的重要结论和推论
(1)飞行时间
由t＝知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
(4)两个重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝。
②做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。
[典例5] (同一高度斜抛后落在同一竖直面上的斜抛问题)(2024·江苏宿迁一模)如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则( )
A．两次击中墙时的速度相等
B．沿1轨迹打出时的初速度大
C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角大
D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长
B [球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，则此时小球在竖直方向上的速度分量为0，有2gh＝，h＝gt2，vx＝，因为1轨迹与2轨迹竖直方向上的位移h相等，所以运动时间相等，vy也相等，根据vx＝，则vx1>vx2，所以v1>v2，B正确，D错误；两次击中墙时的速度等于初速度在水平方向上的分量，因为vx1>vx2，所以两次击中墙时的速度不相等，A错误；设球打出时速度方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝，所以tan θ1有约束条件的平抛运动
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ →α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
[典例6] (从斜面平抛且落点在斜面上)(一题多法)如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
审题指导：
题干关键 获取信息
从O点水平飞出，不计空气阻力 运动员做平抛运动
经过3 s落到斜坡上的A点 空中运动时间为3 s，可求出竖直分运动的位移
斜坡与水平面的夹角θ＝37° 结合竖直分位移可求合位移和水平位移，进而求出水平分速度(即初速度)
[解析] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有L sin 37°＝gt2
解得L＝＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有L cos 37°＝v0t，得v0＝＝20 m/s。
(3)方法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜坡方向的匀加速运动(初速度为v0cos 37°、加速度为g sin 37°)和垂直斜坡方向的类竖直上抛运动(初速度为 v0sin 37°、 加速度为g cos 37°)。当垂直斜坡方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin 37°＝g cos 37°·t′，解得t′＝1.5 s。
方法二：当运动员的速度方向平行于斜坡即与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有＝tan 37°，解得t′＝1.5 s。
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
[典例7] (物体从空中抛出垂直打在斜面上)(2025·江苏常州模拟)将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取 10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
C [设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tan θ＝，解得θ＝30°，A项错误；小球距过A点水平面的距离为h＝gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m，B项错误；若小球的初速度为＝5 m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正确，D项错误。]
[典例8] (物体从斜面上抛出落在斜面上)(2024·江苏镇江一模)如图所示，斜面倾角为α，且tan α＝，现从斜面上O点与水平方向成60° 角以速度v0、2v0分别抛出小球1、2，小球1、2刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别为v1、v2，设O、A间的距离为s1，O、B间的距离为s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．＝，v1、v2方向相同
B．＝ ，v1、v2方向不同
C．s2＝2s1，v1、v2方向相同
D．2s1A [设抛出时的速度为v，则水平速度vx＝v cos 60°＝v，竖直速度vy＝v sin 60°＝v，则位移关系有tan α＝＝＝，解得t＝，则落点与抛出点的距离s＝＝∝v2，由题意可知初速度分别为v0、2v0，则s2＝4s1，落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角满足tan θ＝＝＝0，即速度方向均为水平，v1、v2方向相同，则有＝＝，故选项A正确，B、C、D错误。]
【典例8 教用·备选题】(物体从斜面上抛出落在斜面上)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得 tan (φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]
[典例9] (落点在圆弧面上的平抛运动)(2024·宜兴中学模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
A．小球到达B点飞行的时间为
B．小球平抛的初速度大小为
C．小球到达B点时水平位移为
D．小球到达B点时竖直位移为
B [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝tan 30°＝，又知x＝R＋R cos 60°＝＝2gy，联立解得y＝R，vy＝，v0＝，小球到达B点飞行的时间为t＝＝，选项A、C、D错误，B正确。]
平抛中的临界、极值问题
平抛中常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例10] (平抛运动的临界和极值问题)排球场总长 18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在 3 m 线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
[解析] 球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则
h＝
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m代入得
v1＝12 m/s
球以v2速度被击回，球正好触网，则
h′＝
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m，x′＝3 m
代入得v2＝6 m/s
故球被击回的水平速度范围是
6 m/s[答案] 6 m/s 平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
【典例10 教用·备选题】 (平抛运动的临界和极值问题)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A．B．
C．
D．
D [设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好接触球网上边沿正中间，则竖直方向上有3h－h＝水平方向上有＝v1t1，由两式可得v1＝； 设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝在水平方向有＝v2t2，由两式可得v2＝，则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。]
[典例11] (跳台滑雪中平抛运动的临界和极值问题)跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”的简化图如图所示，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成。比赛中运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为4.5 s，着陆坡的倾角θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取 10 m/s2，忽略空气阻力影响，求：
(1)运动员从B点水平飞出的速度大小；
(2)运动员从B点飞出后离斜面最远时速度大小。
[解析] (1)运动员从B点水平飞出后做平抛运动，竖直方向y＝gt2
水平方向x＝vBt
根据几何关系得tan 37°＝
联立解得vB＝30 m/s。
(2)运动员从B点飞出后离斜面最远时速度方向与斜面平行，根据几何关系得
tan 37°＝
根据运动的合成v′＝
联立解得v′＝37.5 m/s。
[答案] (1)30 m/s (2)37.5 m/s
课时分层作业(十一) 抛体运动
题组一 平抛与斜抛运动的基本规律
1．(2021·江苏卷)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
D [若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。]
2．(2024·江苏南京一模)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．两谷粒从O到P的运动时间相同
B．两谷粒从O到P的平均速度相同
C．两谷粒从O到P的加速度相同
D．两谷粒从O到P重力做的功相同
C [由题意可知，谷粒1在竖直方向做自由落体运动，谷粒2在竖直方向做竖直上抛运动，设v2与水平方向夹角为θ，竖直方向位移相同时，在竖直方向上谷粒1有h＝，谷粒2有h＝，比较两式可知t13．(2024·江苏南通一模)一小球先后三次以相等的速率从地面同一点抛出，速度与地面的夹角分别为30°、45°和60°，不计空气阻力，则小球在空中的轨迹关系可能正确的是( )
A B
C D
C [设小球从地面抛出时的速率为v0，速度与地面的夹角为θ，则在竖直方向vy＝v0sin θ，t＝，在水平方向vx＝v0cos θ，x＝vxt，联立解得x＝，则当θ＝30°和θ＝60°时水平位移相同，为；当θ＝45°时，水平位移为，故选C。]
题组二 有约束条件的平抛运动
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
A． B．
C． D．(＋1)D
C [设出水口到水桶中心水平距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝，故选C。]
5．如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处。今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta＝tb B．ta＝3tb
C．va＝vb D．va＝vb
C [由于a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝可知下落时间t＝，则两小球运动的时间关系是ta＝tb，故A、B错误；因为两球水平位移之比为3∶2，由v0＝得va＝vb，故C正确，D错误。]
6．(2024·江苏海安高级中学高三月考)如图所示，将一小球从斜面上方的P点沿不同的方向以相同的速率抛出，不计空气阻力。要使得小球从抛出到落到斜面的时间最短，小球抛出的方向是( )
A．水平向左 B．竖直向下
C．垂直斜面向下 D．平行于斜面向下
C [小球抛出后加速度都为g，方向竖直向下，各个小球垂直于斜面方向的分加速度相等。由x＝v0t＋at2可知，x、a相等，小球垂直斜面向下抛出时垂直斜面向下方向的分初速度最大，所用时间最短，故C正确，A、B、D错误。]
题组三 平抛中的临界、极值问题
7．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．落点D与网之间的垂直距离为x
B．网球的初速度大小为x
C．若击球高度低于h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，球一定落在对方界内
C [因为h1－h2＝h1，由t＝可知，＝，由x＝v0t可知＝，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝x，选项A错误；球从B到D的过程中，有h1＝，x＝v0t1，得v0＝x，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝g·，h′＝g，又有h2＝h1，联立解得h′＝h1，若击球高度低于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又能过网，根据h1＝，得t1＝，则球的最大初速度v0max＝＝，由h1－h2＝，得t2＝ ，则球的最小初速度v0min＝＝，选项D错误。]
8．将一抛球入框游戏简化如下：在地面上竖直固定一矩形框架，框架高 1 m、 长3 m，抛球点位于框架底边中点正前方2 m、离地高度1.8 m处，如图所示。假定球被水平抛出，方向可在水平面内调节，不计空气阻力，g取10 m/s2，忽略框架的粗细，球视为质点，球要在落地前进入框内，则球被抛出的速度大小可能为( )
A．2 m/s B．3 m/s
C．6 m/s D．7 m/s
C [球从框架底边中点处入框时，初速度最小，此时水平位移x1＝2 m，飞行时间t1＝ ＝ s＝0.6 s，故可得最小初速度v1＝＝ m/s；球从框的左上角或右上角处穿入框内时，初速度最大，此时水平位移x2＝ m＝2.5 m，飞行时间t2＝＝ s＝0.4 s，故可得最大初速度v2＝＝6.25 m/s，故球被抛出的初速度大小的取值范围为 m/s9．某弹射管每次弹出的小球速度相等，在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
B [弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出的小球在竖直方向运动的时间相等，因此两小球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，且弹出小球的初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故选项B正确。]
10．(2024·江苏无锡一模)玉米是我国重要的农作物。收割后脱粒玉米用如图甲所示的传送带装置运送。如图乙所示，将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒被放到底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，由静止开始运动，一段时间后和传送带保持相对静止，直至从传送带的顶端飞出，最后落在水平地面上，玉米粒被迅速装袋转运，提升了加工转运的效率。已知传送带与水平方向的夹角为θ、顶端的高度为h，玉米粒相对于传送带顶端的最大高度也是h，若不计风力、空气阻力和玉米粒之间的相互作用力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．玉米粒在传送带上时，所受摩擦力始终不变
B．玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为
C．传送带的速度大小为
D．玉米粒飞出后到落地所用的时间为3
B [玉米粒刚放在传送带上时，玉米粒受到沿传送带向上的滑动摩擦力，当玉米粒与传送带达到共速后，受到沿传送带向上的静摩擦力，所受摩擦力发生改变，故A错误；设传送带速度为v，玉米粒脱离传送带后水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，所以vx＝v cos θ，v0y＝v sin θ，到达最高点时有h＝，解得v＝，故C错误；玉米粒从飞出到落地过程，竖直方向上根据位移时间关系有－h＝v0yt－gt2，解得t＝(2＋，故D错误；从玉米粒脱离传送带到落地时水平位移为x1＝vxt，所以玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为x＝x1＋＝，故B正确。]
11．如图所示，大炮在山脚直接对着倾角为α＝30°的斜坡发射炮弹，重力加速度为g，炮弹初速度为v0，要使炮弹打到斜坡上尽可能远的地方，则炮弹初速度方向与斜坡的夹角为多少？打到斜坡上的最远距离为多少？
[解析] 设炮弹初速度方向与斜坡成θ角，如图所示，将炮弹运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动，炮弹沿斜坡的位移x为两个方向上位移的矢量和。
由正弦定理可得＝，可得t＝
又由正弦定理得＝，可得x＝
联立可得x＝＝[sin(α＋2θ)－sin α]
当α＋2θ＝90°，即θ＝45°－＝30°时，炮弹射到斜坡上的距离最远，最远距离为xm＝＝。
[答案] 30°
12．如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，经过最高点Q后小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g。求：
(1)风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
(2)小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度。
[解析] (1)小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，受力情况如图所示
根据平行四边形定则和几何知识知
tan 37°＝
解得F＝mg。
(2)最高点的小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N点的水平方向速度也为v，设小球在M、N点竖直方向的速度大小为vy，在 O点的初速度为v0。由O到M的时间为t，水平方向有
v＝t＝gt
在P点，水平方向有
vx1＝v＋gt＝2v
竖直方向速度大小为vy1，则
tan 37°＝
解得vy1＝v
在竖直方向上，小球在从O点到P点做上抛运动，O点和P点竖直方向上速度大小相等，可得
v0＝vy1＝v
由N到P小球做直线运动，则有
＝
可得vy＝
最高点为Q点，则在竖直方向上，由Q到N有
vy＝gt1
由N到P有vy1－vy＝gt
解得t1＝t
QN在竖直方向上有t＝h
NP在竖直方向上有t1＝H
可得h＝H
小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度hm＝＋H＝H。
[答案] (1)mg (2)H
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