课时分层作业(十三) 万有引力与航天
说明：选择题每小题4分；本试卷共56分。
题组一 开普勒定律的应用
1．“嫦娥五号”探测器着陆月球前的运动轨道示意图如图所示，“嫦娥五号”沿轨道Ⅰ运动到P点时点火减速，之后沿轨道Ⅱ运动，再次运动到P点时点火减速，之后沿近月(到月球表面的距离不计)轨道Ⅲ运动。月球的半径为R，轨道Ⅱ上的远月点a到月心的距离为5R，“嫦娥五号”在轨道Ⅲ上运行的周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期为3T
B．“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期为2T
C．月球表面的重力加速度大小为
D．月球表面的重力加速度大小为
2．国家航天局和中国科学院联合发布了我国首张火星全球影像图。它是天问一号环绕器携带的中分辨率相机获取的14 757幅影像数据进行处理后绘制而成的。综合考虑环绕器全球遥感探测和火星车中继通信需求，工程研制团队为环绕器优化了轨道设计，确定了近火点约265千米、远火点约 1.07 万千米、周期约7.08小时的椭圆轨道方案，如图所示。若只考虑环绕器和火星之间的相互作用，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．环绕器从Q到N阶段，速率逐渐变小
B．环绕器从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．题目信息可以估测火星的质量
D．题目信息可以估测火星的第一宇宙速度
题组二 万有引力定律的理解及应用
3．我国首次火星探测任务“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国行星探测之旅，“天问一号”离开地球时，所受万有引力F1与它距离地面高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”奔向火星时，所受万有引力F2与它距离火星表面高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球半径是火星半径的两倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的表面重力加速度之比为3∶2
B．地球与火星的质量之比为9∶2
C．地球与火星的第一宇宙速度之比为∶3
D．地球与火星的密度之比为9∶8
题组三 宇宙速度及卫星运行参量的分析计算
4．(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
5．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
6．(2024·浙江1月选考)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A．火箭的推力是空气施加的
B．卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C．卫星运行的周期约12 h
D．发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
7．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A． B．
C． D．(1＋k)3
题组四 卫星变轨问题
8．(2024·1月九省联考贵州卷)天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，每经过一段时间要进行轨道修正，使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的( )
A．轨道半径减小 B．速率减小
C．向心加速度增大 D．周期减小
9．(2024·江苏南京期末)2024年6月25日，嫦娥六号返回器携带约2 000克月壤返回地球，人类历史上首次月球背面采样返回顺利完成。返回过程从上升器进入环月飞行轨道开始，通过远程导引和近程自主控制，轨道器和返回器组合体逐步靠近上升器，以抱抓的方式捕获上升器，完成交会对接，并将样本转移至轨道器中后，上升器圆满完成使命与轨道器分离。为避免成为太空垃圾，上升器受控离轨落月。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，则( )
A．月球的第一宇宙速度约为地球的
B．已在停泊轨道运行的轨道器从停泊位(如图)喷气加速，可实现与前方上升器的对接
C．抱抓捕获过程，系统的机械能守恒
D．载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速
10．2022年8月15日发生了土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间，此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。则( )
A．地球绕太阳运转的向心加速度小于土星绕太阳运转的向心加速度
B．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小
C．2021年没有出现土星冲日现象
D．土星冲日现象下一次出现的时间是2023年
11．三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB
A．运行线速度大小关系为vA>vB＝vC
B．运行角速度大小关系为ωA>ωB＝ωC
C．向心力大小关系为FA＝FBD．轨道半径与运行周期关系为＝＝
12．天文观测中观测到有三颗星始终位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G，不计其他星球对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．它们两两之间的万有引力大小为
B．每颗星的质量为
C．三颗星的质量可能不相等
D．它们的线速度大小均为
13．我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭，成功将“遥感三十三号02”卫星发射升空。卫星被送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上。近地点A距地面高度为h1，实施变轨后，进入预定圆轨道，如图所示。卫星在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t。已知引力常量为G，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
(1)预定圆轨道距地面的高度；
(2)卫星在近地点A的加速度大小。
1 / 6 万有引力与航天
一、开普勒定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个______上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中______两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的________。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积________、与它们之间距离r的二次方________。
2．表达式
F＝___，其中G为引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，由______________实验测定。
3．适用条件
(1)公式适用于______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离。
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度是物体在______附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为______ km/s。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最小______速度，也是人造卫星最大______速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
由G＝m得v＝ __；
由mg＝m得v＝__。
其中R为近地环绕半径，近似等于地球半径。
2．第二宇宙速度
使物体挣脱______引力束缚的最小发射速度，其数值为_______ km/s。
3．第三宇宙速度
使物体挣脱______引力束缚的最小发射速度，其数值为_______ km/s。
四、时空观
1．经典时空观
(1)物体的质量不随速度的变化而变化。
(2)同一过程的位移和对应时间在所有参考系中测量结果相同。
(3)适用条件：宏观物体、低速运动。
2．相对论时空观
同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果不同。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 ( )
(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 ( )
(3)开普勒第三定律＝k中k值与中心天体质量无关。 ( )
(4)第一宇宙速度与地球的质量有关。 ( )
(5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。 ( )
二、教材习题衍生
1．(开普勒定律的应用)北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是( )
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，根据开普勒第三定律有＝k，则地球和火星环绕太阳运动对应的k值不同
2．(万有引力定律的理解及应用)中国航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在离地球表面约 400 km 的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
3．(宇宙速度及卫星运行参量的分析计算)若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
开普勒定律的应用
[典例1] (物理史实)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
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[典例2] (对开普勒第二定律的理解及应用)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
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[典例3] (开普勒定律的理解与应用)(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则( )
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比＝
D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
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应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G ＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G ＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G ，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G ＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G ＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
[典例4] (万有引力定律的理解与应用)世界现役运输能力最大的货运飞船天舟八号，携带物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资( )
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
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[典例5] (天体质量与天体密度的计算)(2024·苏州中学模拟)若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的平均密度ρ＝
C．月球的第一宇宙速度v＝
D．月球的质量m月＝
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估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用条件。
宇宙速度及卫星运行参量的分析计算
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．静止卫星的六个“一定”
[典例6] (不同轨道行星运行参量的比较)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是( )
A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节
(1)赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助静止卫星过渡。
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研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)静止卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与静止卫星相等。
[典例7] (宇宙速度的理解)(2024·江苏泰州一模)“羲和号”卫星是我国首颗绕地球运行的太阳探测卫星。设该卫星在离地球表面高度517 km的圆轨道上运行，能经过地球南北两极上空，可24小时观测太阳。则该卫星( )
A．发射速度大于第二宇宙速度
B．向心加速度等于地球表面的重力加速度
C．运行周期等于地球同步卫星的周期
D．运行速度大于地球同步卫星的运行速度
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[典例8] (卫星的运行问题)A、B两颗卫星在同一水平面沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，如图甲所示，两卫星间的距离Δr随时间周期性变化，如图乙所示，仅考虑地球对卫星的引力，则下列说法正确的是( )
A．A、B轨道半径之比为1∶2
B．A、B线速度之比为1∶2
C．A的运动周期大于B的运动周期
D．A、B向心加速度之比为2∶1
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[典例9] (同步卫星、近地卫星与赤道上的物体)地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
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卫星变轨问题
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1[典例10] (卫星变轨问题)(2024·江苏苏州期末)神舟十七号载人飞船与天和核心舱进行了对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天员入驻。如图为神舟十七号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为R1，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为R2，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点。关于神舟十七号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是( )
A．飞船从②轨道变轨到③轨道需要在Q点点火减速
B．飞船在轨道③上运行的速度大于第一宇宙速度
C．飞船在①轨道受到的引力一定大于天和核心舱在③轨道受到的引力
D．若核心舱在③轨道运行周期为T，则飞船在②轨道从P到Q的时间为T
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航天器变轨问题的“三点”注意
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道相交的点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
双星模型和多星模型
双星模型
1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
2．特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝r1，＝r2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
(4)两颗星到圆心的距离与星体质量成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π。
(6)双星的总质量m1＋m2＝。
[典例1] (双星模型)(2024·江苏南通期末)在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，其中恒星A做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星B的2倍，则( )
A．恒星B的周期为
B．A、B两颗恒星质量之比为1∶2
C．恒星B的线速度是恒星A的2倍
D．A、B两颗恒星质量之和为
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多星模型
1．定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，沿着外接于等边三角形的圆形轨道运行(如图乙所示)。
3．四星模型
(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
(2)另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
[典例2] (三星模型)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
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解决双星、多星问题的关键点
(1)由双星或多星模型的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
[典例3] (四星模型)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法不正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
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1 / 15 万有引力与航天
一、开普勒定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪什扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为7.9 km/s。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星最大环绕速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
由G＝m得v＝ ；
由mg＝m得v＝。
其中R为近地环绕半径，近似等于地球半径。
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
四、时空观
1．经典时空观
(1)物体的质量不随速度的变化而变化。
(2)同一过程的位移和对应时间在所有参考系中测量结果相同。
(3)适用条件：宏观物体、低速运动。
2．相对论时空观
同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果不同。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (√)
(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 (×)
(3)开普勒第三定律＝k中k值与中心天体质量无关。 (×)
(4)第一宇宙速度与地球的质量有关。 (√)
(5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。 (×)
二、教材习题衍生
1．(开普勒定律的应用)北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是( )
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，根据开普勒第三定律有＝k，则地球和火星环绕太阳运动对应的k值不同
C [由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小，所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确；根据开普勒第三定律有＝k，由于地球和火星环绕同一中心天体运动，则其对应的k值是相同的，故D错误。]
2．(万有引力定律的理解及应用)中国航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在离地球表面约 400 km 的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
C [航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，所受地球引力大小不为零，选项A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随飞船运动所需向心力的大小，选项D错误。]
3．(宇宙速度及卫星运行参量的分析计算)若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
[答案] C
开普勒定律的应用
[典例1] (物理史实)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B [开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，选项A错误，B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。]
[典例2] (对开普勒第二定律的理解及应用)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
B [根据开普勒第二定律可知v1>v2，若卫星在到地心为r的圆周轨道上做匀速圆周运动，有G＝m，则v＝，由于“东方红一号”在椭圆轨道上的近地点做离心运动，所以v1>，故B正确。]
[典例3] (开普勒定律的理解与应用)(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则( )
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比＝
D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
D [根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；根据＝ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比＝＝，故C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比，＝，故D正确。]
【典例3 教用·备选题】 (开普勒定律的理解与应用)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号( )
A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
C [因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于 11.2 km/s 与16.7 km/s之间，故A错误；因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(1年共12个月)，从P点转移到Q点的时间为转移轨道周期的一半时间，应大于6个月，故B错误；因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由＝m，可得v＝，可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误。故选C。]
应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G ＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G ＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G ，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G ＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G ＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
[典例4] (万有引力定律的理解与应用)世界现役运输能力最大的货运飞船天舟八号，携带物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资( )
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
D [物体在低速(速度远小于光速)宏观条件下质量保持不变，即在空间站和地面质量相同，故A错误；设空间站离地面的高度为h，这批物资在地面上静止所受合力为零，在空间站所受合力为万有引力即F＝，在地面受地球引力为F1＝，因此有F1>F，故B、C错误；物体绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有＝mω2r，解得ω＝，这批物资在空间站内的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因此这批物资的角速度大于同步卫星的角速度，同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，即这批物资的角速度大于地球自转的角速度，故D正确。故选D。]
[典例5] (天体质量与天体密度的计算)(2024·苏州中学模拟)若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的平均密度ρ＝
C．月球的第一宇宙速度v＝
D．月球的质量m月＝
B [设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝g月t2，解得g月＝，故A错误；在月球表面＝mg月，解得m月＝，则月球密度为ρ＝＝＝，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝＝，故C错误。]
估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用条件。
宇宙速度及卫星运行参量的分析计算
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．静止卫星的六个“一定”
[典例6] (不同轨道行星运行参量的比较)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法正确的是( )
A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节
(1)赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助静止卫星过渡。
D [b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，其线速度约为 7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为静止卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正确。]
研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)静止卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与静止卫星相等。
[典例7] (宇宙速度的理解)(2024·江苏泰州一模)“羲和号”卫星是我国首颗绕地球运行的太阳探测卫星。设该卫星在离地球表面高度517 km的圆轨道上运行，能经过地球南北两极上空，可24小时观测太阳。则该卫星( )
A．发射速度大于第二宇宙速度
B．向心加速度等于地球表面的重力加速度
C．运行周期等于地球同步卫星的周期
D．运行速度大于地球同步卫星的运行速度
D [第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度，第二宇宙速度是使卫星脱离地球束缚的最小发射速度，所以“羲和号”的发射速度应介于第一和第二宇宙速度之间，故A错误；设地球质量为M，质量为m的卫星绕地球做半径为r、周期为T、线速度大小为v的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有G＝m＝mr，分别解得v＝，T＝2π，地球同步卫星离地面高度约36 000 km，所以其轨道半径远大于“羲和号”卫星的轨道半径，则根据以上两式可知“羲和号”的运行周期小于地球同步卫星的周期，运行速度大于地球同步卫星的运行速度，故C错误，D正确；对“羲和号”卫星，由万有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝，对于地球表面上的物体，近似有G ＝m′g，可得g＝，由于r>R，故“羲和号”卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故B错误。]
【典例7 教用·备选题】 (宇宙速度的理解)星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A． B．
C． D．
A [该星球的第一宇宙速度满足G＝，在该星球表面处万有引力等于重力，有G＝m，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝，则第二宇宙速度v2＝＝，故A正确。]
[典例8] (卫星的运行问题)A、B两颗卫星在同一水平面沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，如图甲所示，两卫星间的距离Δr随时间周期性变化，如图乙所示，仅考虑地球对卫星的引力，则下列说法正确的是( )
A．A、B轨道半径之比为1∶2
B．A、B线速度之比为1∶2
C．A的运动周期大于B的运动周期
D．A、B向心加速度之比为2∶1
A [由题图知r2－r1＝2r，r1＋r2＝6r，解得r1＝2r，r2＝4r，所以A、B的轨道半径之比为1∶2，A正确；设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径和线速度分别为r′、v，由G＝m，得v＝，则A、B的线速度之比为∶1，B错误；由＝，r1[典例9] (同步卫星、近地卫星与赤道上的物体)地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
D [地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1v3，a2>a3，ω2>ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g。综上可知v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1，D项正确。]
卫星变轨问题
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1[典例10] (卫星变轨问题)(2024·江苏苏州期末)神舟十七号载人飞船与天和核心舱进行了对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天员入驻。如图为神舟十七号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为R1，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为R2，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点。关于神舟十七号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是( )
A．飞船从②轨道变轨到③轨道需要在Q点点火减速
B．飞船在轨道③上运行的速度大于第一宇宙速度
C．飞船在①轨道受到的引力一定大于天和核心舱在③轨道受到的引力
D．若核心舱在③轨道运行周期为T，则飞船在②轨道从P到Q的时间为T
D [飞船在Q点由②轨道变轨到③轨道，由近心运动变为圆周运动，需要点火加速，故A错误；设飞船在圆轨道上的运行速度为v，根据牛顿第二定律有G＝m，解得v＝，第一宇宙速度是飞船在轨道①时的运行速度，而轨道③的半径大于轨道①的半径，所以飞船在轨道③上运行的速度小于第一宇宙速度，故B错误；根据F＝可知，由于飞船和核心舱的质量关系未知，所以无法比较飞船在①轨道受到的引力和天和核心舱在③轨道受到的引力大小，故C错误；设飞船在②轨道从P到Q的时间为t，根据开普勒第三定律有＝，解得t＝T，故D正确。]
航天器变轨问题的“三点”注意
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道相交的点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【典例10 教用·备选题】 (卫星变轨问题)中国自主研发的神舟十七号载人飞船发射成功，并实现与中国空间站的快速对接。假设空间站在地球航天发射基地上方某高度的圆形轨道上运行。下列说法正确的是( )
A．神舟十七号的发射速度小于空间站的运行速度
B．神舟十七号在对接轨道上的运行周期大于空间站的运行周期
C．对接时，神舟十七号的加速度小于空间站的加速度
D．为了实现对接，神舟十七号应在对接时点火加速
D [第一宇宙速度是卫星最小发射速度，则神舟十七号的发射速度大于第一宇宙速度，第一宇宙速度是卫星最大环绕速度，则空间站的运行速度小于第一宇宙速度，故神舟十七号的发射速度大于空间站的运行速度，故A错误；根据开普勒第三定律＝k，神舟十七号在对接轨道的半长轴小于空间站的运行轨道的半径，故神舟十七号在对接轨道上的运行周期小于空间站的运行周期，故B错误；根据牛顿第二定律G ＝ma，对接时神舟十七号的加速度等于空间站的加速度，故C错误；为了实现对接，神舟十七号应在对接时点火加速，此时神舟十七号做圆周运动所需的向心力大于万有引力，从而做离心运动，与空间站实现对接，故D正确。故选D。]
双星模型和多星模型
双星模型
1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
2．特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝r1，＝r2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
(4)两颗星到圆心的距离与星体质量成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π。
(6)双星的总质量m1＋m2＝。
[典例1] (双星模型)(2024·江苏南通期末)在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，其中恒星A做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星B的2倍，则( )
A．恒星B的周期为
B．A、B两颗恒星质量之比为1∶2
C．恒星B的线速度是恒星A的2倍
D．A、B两颗恒星质量之和为
B [两颗恒星绕同一转动轴转动，可知周期相等，即恒星B的周期为T，选项A错误；恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，根据a＝ω2r，可知A、B两颗恒星转动半径之比为2∶1，根据 G ＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得＝＝，选项B正确；根据v＝ωr可知，恒星A的线速度是恒星B的2倍，选项C错误；根据G ＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得G ＝ω2r1＝r1，G ＝ω2r2＝r2，两式子相加可知，A、B两颗恒星质量之和为m1＋m2＝，选项D错误。故选B。]
【典例1 教用·备选题】 (双星模型)如图所示，地球和月球组成双星系统，它们共同绕某点O转动且角速度相同。L1、L2、L3、L4、L5称为拉格朗日点，在这些位置上的航天器也绕O点转动且相对地月系统静止，则下列说法正确的是( )
A．地月系统中，O点更靠近月球
B．在五个拉格朗日点中，L1位置上的航天器向心加速度最大
C．在五个拉格朗日点中，L2位置上的航天器所需向心力仅由地球引力提供
D．在地面附近给航天器一初速度v0，不考虑月球对航天器的引力，航天器沿椭圆轨道运动至L3处，则v0>7.9 km/s
D [对于双星系统，角速度相等，则有G＝mω2r1，G＝Mω2r2，解得＝，可知双星系统天体的转动半径与天体质量成反比，地球质量大于月球，则地球转动半径小于月球转动半径，即O点更靠近地球，故A错误；所有拉格朗日点上航天器角速度与地月系统角速度相等，由于an＝ω2r，L1位置上的航天器离O点最近，r最小，所以L1位置上的航天器向心加速度an最小，故B错误；L2位置上的航天器所需向心力由地球与月球对航天器的引力的合力提供，故C错误；航天器沿椭圆轨道运动至L3处，航天器没有脱离地球的束缚，则航天器的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s，则有v0>7.9 km/s，故D正确。故选D。]
多星模型
1．定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，沿着外接于等边三角形的圆形轨道运行(如图乙所示)。
3．四星模型
(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
(2)另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
[典例2] (三星模型)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
B [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；对直线三星系统有G ＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M，又两种系统的运动周期相同，联立解得L＝，选项D错误。]
解决双星、多星问题的关键点
(1)由双星或多星模型的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
[典例3] (四星模型)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法不正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
B [其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，所受合力方向指向正方形对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力提供向心力得＝m，解得T＝2πa，故D正确。]
课时分层作业(十三) 万有引力与航天
题组一 开普勒定律的应用
1．“嫦娥五号”探测器着陆月球前的运动轨道示意图如图所示，“嫦娥五号”沿轨道Ⅰ运动到P点时点火减速，之后沿轨道Ⅱ运动，再次运动到P点时点火减速，之后沿近月(到月球表面的距离不计)轨道Ⅲ运动。月球的半径为R，轨道Ⅱ上的远月点a到月心的距离为5R，“嫦娥五号”在轨道Ⅲ上运行的周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期为3T
B．“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期为2T
C．月球表面的重力加速度大小为
D．月球表面的重力加速度大小为
A [设“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期为T2，由开普勒第三定律可得＝，其中a＝3R，解得T2＝3T，A正确，B错误；对轨道Ⅲ上运行的探测器由万有引力提供向心力得＝mR，解得M＝，则月球表面的重力加速度大小为g月＝＝，C、D错误。故选A。]
2．国家航天局和中国科学院联合发布了我国首张火星全球影像图。它是天问一号环绕器携带的中分辨率相机获取的14 757幅影像数据进行处理后绘制而成的。综合考虑环绕器全球遥感探测和火星车中继通信需求，工程研制团队为环绕器优化了轨道设计，确定了近火点约265千米、远火点约 1.07 万千米、周期约7.08小时的椭圆轨道方案，如图所示。若只考虑环绕器和火星之间的相互作用，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．环绕器从Q到N阶段，速率逐渐变小
B．环绕器从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．题目信息可以估测火星的质量
D．题目信息可以估测火星的第一宇宙速度
C [环绕器从Q到N阶段，引力做正功，则速率逐渐变大，选项A错误；环绕器从Q到N阶段，只有引力做功，机械能保持不变，选项B错误；根据题中数据可知椭圆半长轴的长度，根据开普勒第三定律，相当于环绕器绕半径为长轴一半的圆轨道运动时的周期也为T，则根据G＝mr，可以估测火星的质量，选项C正确；因火星的半径未知，故不能估测火星的第一宇宙速度，选项D错误。故选C。]
题组二 万有引力定律的理解及应用
3．我国首次火星探测任务“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国行星探测之旅，“天问一号”离开地球时，所受万有引力F1与它距离地面高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”奔向火星时，所受万有引力F2与它距离火星表面高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球半径是火星半径的两倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的表面重力加速度之比为3∶2
B．地球与火星的质量之比为9∶2
C．地球与火星的第一宇宙速度之比为∶3
D．地球与火星的密度之比为9∶8
D [设“天问一号”的质量为m，结合题中两图像分析可知，在地球与火星表面，“天问一号”的重力分别为9F0和4F0，由此可知地球与火星的表面重力加速度之比为＝9∶4，故A错误；由星球表面重力等于万有引力有mg＝G，解得M＝，又有R地＝2R火，联立解得＝，故B错误；由第一宇宙速度表达式v＝可得，地球与火星的第一宇宙速度之比为＝3∶，故C错误；由密度公式ρ＝＝＝，解得＝，故D正确。故选D。]
题组三 宇宙速度及卫星运行参量的分析计算
4．(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
C [该人造卫星的质量不能确定，A错误；该卫星和月球环绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由F＝G可知，该卫星、月球受到地球的万有引力大小不确定，所以二者的向心力大小也不能确定，B、D错误；由牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝G，因为该卫星与月球的轨道半径相等，所以二者向心加速度大小相等，C正确。]
5．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
C [设比例系数为k，根据牛顿的猜想，地球表面物体的重力可表示为mg＝k，地球对月球的吸引力可表示为F月＝k，月球绕地球做匀速圆周运动，地球对月球的吸引力提供向心力，有F月＝m月r，又r＝60R，联立解得T＝120π，C正确。]
6．(2024·浙江1月选考)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A．火箭的推力是空气施加的
B．卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C．卫星运行的周期约12 h
D．发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
B [根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误；根据万有引力定律可知卫星的向心加速度大小为a＝＝≈8.4 m/s2，故B正确；卫星运行的周期为T＝2π≈1.6 h，故C错误；发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。]
7．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A． B．
C． D．(1＋k)3
D [设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3，故选D。]
题组四 卫星变轨问题
8．(2024·1月九省联考贵州卷)天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，每经过一段时间要进行轨道修正，使其回到原轨道。修正前、后天宫空间站的运动均可视为匀速圆周运动，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的( )
A．轨道半径减小 B．速率减小
C．向心加速度增大 D．周期减小
B [天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响，天宫空间站的机械能减小，天宫空间站轨道高度降低，则与修正前相比，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，故A错误；根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则速率减小，故B正确；根据牛顿第二定律G＝ma，可得a＝，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则向心加速度减小，故C错误；根据万有引力提供向心力G＝mr，可得T＝2π，修正后天宫空间站运行的轨道半径增大，则周期增大，故D错误。故选B。]
9．(2024·江苏南京期末)2024年6月25日，嫦娥六号返回器携带约2 000克月壤返回地球，人类历史上首次月球背面采样返回顺利完成。返回过程从上升器进入环月飞行轨道开始，通过远程导引和近程自主控制，轨道器和返回器组合体逐步靠近上升器，以抱抓的方式捕获上升器，完成交会对接，并将样本转移至轨道器中后，上升器圆满完成使命与轨道器分离。为避免成为太空垃圾，上升器受控离轨落月。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，则( )
A．月球的第一宇宙速度约为地球的
B．已在停泊轨道运行的轨道器从停泊位(如图)喷气加速，可实现与前方上升器的对接
C．抱抓捕获过程，系统的机械能守恒
D．载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速
B [根据万有引力提供向心力有G ＝m，解得v＝，则有v月＝v地≈v地＝v地，故A错误；使轨道器在停泊位喷气加速，向高轨道运动，追上前方的上升器，能与前方上升器对接，故B正确；抱抓捕获完成对接前后，轨道器与上升器相当于完全非弹性碰撞，系统机械能不守恒，故C错误；载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火加速，使返回器速度增大，向高轨道运动，故D错误。]
10．2022年8月15日发生了土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间，此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。则( )
A．地球绕太阳运转的向心加速度小于土星绕太阳运转的向心加速度
B．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小
C．2021年没有出现土星冲日现象
D．土星冲日现象下一次出现的时间是2023年
D [地球的公转周期比土星的公转周期小，由万有引力提供向心力有G ＝mr，解得T＝，可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小。又G＝ma，解得a＝∝，可知行星的轨道半径越大，加速度越小，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，选项A错误；由万有引力提供向心力有 G＝m，解得v＝，可知土星的运行速度比地球的小，选项B错误；设T地＝1年，则T土＝29.5年，出现土星冲日现象则有(ω地－ω土)·t＝2π，解得距下一次土星冲日所需时间t＝＝≈1.04年，选项C错误，D正确。]
11．三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBA．运行线速度大小关系为vA>vB＝vC
B．运行角速度大小关系为ωA>ωB＝ωC
C．向心力大小关系为FA＝FBD．轨道半径与运行周期关系为＝＝
C [根据万有引力提供向心力有F＝G＝m＝mω2r，所以F＝G，v＝，ω＝，所以vA>vB＝vC，ωA>ωB＝ωC，FA>FB，FB12．天文观测中观测到有三颗星始终位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G，不计其他星球对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．它们两两之间的万有引力大小为
B．每颗星的质量为
C．三颗星的质量可能不相等
D．它们的线速度大小均为
A [三颗星的轨道半径r等于等边三角形外接圆的半径，即r＝l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以任意两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于任意两颗星到第三颗星的距离相同，故任意两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设每颗星的质量为m，则F合＝2F cos 30°＝。星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，故F合＝mr，解得m＝，它们两两之间的万有引力大小 F＝＝＝，选项A正确，B、C错误；根据v＝可得，线速度大小v＝，选项D错误。]
13．我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭，成功将“遥感三十三号02”卫星发射升空。卫星被送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上。近地点A距地面高度为h1，实施变轨后，进入预定圆轨道，如图所示。卫星在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t。已知引力常量为G，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
(1)预定圆轨道距地面的高度；
(2)卫星在近地点A的加速度大小。
[解析] (1)卫星做匀速圆周运动，在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，所以卫星在预定圆轨道上运行的周期为T＝，设预定圆轨道距地面的高度为h，卫星在预定圆轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律及万有引力定律得＝m(R＋h)
在地球表面时有万有引力等于重力
即mg＝
联立解得预定圆轨道距地面的高度为
h＝－R。
(2)根据万有引力定律可知卫星在近地点A所受的万有引力为F＝
其中GM＝gR2
根据牛顿第二定律F＝ma
联立解得卫星在近地点A的加速度大小为a＝。
[答案] (1)－R (2)
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