知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第1节 功和功率 功和功率 2020T1：功率 1．从题型上看，选择题、计算题均有。 2．动能定理、机械能守恒定律经常与牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动结合起来命题，选材背景与生活实际相联系。
第2节 动能定理 动能和动能定理 2019T8：动能定理 2020T4：动能与位移的关系 2022T8：动能定理 2023T15：动能定理
第3节 机械能守恒定律及其应用 重力做功与重力势能的关系 机械能守恒定律及其应用
第4节 功能关系 能量守恒定律 功能关系 能量守恒定律 2021适应考T15：功和能 2021T14：能量守恒 2023T11：功能关系 2024T15：斜面＋电动机，利用能量守恒解决实际问题
实验七 验证机械能守恒定律
功和功率
一、功
1．做功两因素
力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Fl cos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体在力的作用下发生的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功 依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动 中的功 依据力与速度方向的夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化 时的功 功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fv cos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械长时间正常工作时输出的最大功率。
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。
5．发动机功率：机车发动机的功率P＝Fv，F为牵引力，并非机车所受的合力。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。 (×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 (√)
(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。 (×)
(4)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。 (√)
(5)汽车上坡的时候，司机减速换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。 (√)
(6)公式P＝Fv中的F是物体受到的合外力。 (×)
二、教材习题衍生
1．(对功的理解)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少( )
A B
C D
D [力做功只与力的大小及物体在力的方向上的位移有关，与接触面是否光滑无关，力F做功为W＝Fl cos α，可知WA>WB＝WC>WD，即D中F做功最少。]
2．(对功率的理解)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是( )
A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率，不可以求平均功率
C．由P＝Fv知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限增大
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
D [P＝只适用于求平均功率，P＝Fv虽是由前者推导得出，但可以用于求平均功率和瞬时功率，选项A、B错误；汽车运行时不能长时间超过额定功率，故随着汽车速度的增大，它的功率并不能无限制的增大，选项C错误；当功率一定时，速度越大，牵引力越小，速度越小，牵引力越大，故牵引力与速度成反比，选项D正确。]
3．(功的正负的判断)神舟十八号载人飞船返回舱于2024年11月4日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中( )
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
A [返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。]
功的分析与计算
[典例1] (功的计算)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢。在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A [根据功的公式可知，人对车的推力做的功为W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做的功为W＝－maL，故B错误；人在水平方向受到车的作用力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为FN＝＝m，故C错误；对人，由牛顿第二定律可得Ff－F＝ma，则Ff＝ma＋F，车对人的摩擦力做的功为W＝FfL＝(F＋ma)L，故D错误。]
[典例2] (正负功的判断)(2025·江苏南京模拟)如图所示，毛毛虫沿着树枝向上爬行一段距离，树枝与水平方向有一定夹角，则在该运动过程中( )
A．树枝对毛毛虫做的功为零
B．重力对毛毛虫做的功为零
C．树枝对毛毛虫的弹力做负功
D．摩擦力对毛毛虫做负功
A [树枝对毛毛虫的力为摩擦力与弹力的合力，由平衡条件知，树枝对毛毛虫的力与其重力大小相等方向相反，竖直向上，但树枝对毛毛虫的力没有位移，是毛毛虫的肌肉在做功，属于内力做功，则树枝对毛毛虫做的功为零，A正确；毛毛虫所受重力方向竖直向下，所以毛毛虫沿着树枝向上爬行一段距离的过程中重力对毛毛虫做负功，B错误；树枝对毛毛虫的弹力与其运动方向垂直，则树枝对毛毛虫的弹力不做功，C错误；毛毛虫受树枝摩擦力为静摩擦力，则摩擦力对毛毛虫不做功，D错误。故选A。]
[典例3] (结合图像计算恒力做的功)(2024·宿迁中学高三模拟)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v-t图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5
B．10 s内恒力F对物体做的功为102 J
C．10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处
D．10 s内物体克服摩擦力做的功为18 J
C [设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由题图v-t图像得a1＝2 m/s2，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由题图v-t图像得a2＝1 m/s2，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律得，F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A错误；根据v-t图像与横轴所围成的面积表示位移得，x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在起点的左侧，则10 s内恒力F对物体做的功为W＝F·|x|＝3×2 J＝6 J，故B错误，C正确；10 s 内物体克服摩擦力做的功为Wf＝Ffs＝0.05×20× J＝34 J，故D错误。]
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合力做的功。
功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用 ＝。
(2)利用 ＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·v cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
[典例4] (功率的计算)(2024·江苏苏州一模)一架飞机从水平平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升，如图所示，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时( )
A．飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
B．飞机发动机推力大小保持不变
C．飞机克服重力做功的功率保持不变
D．空气阻力对飞机的作用力不变
A [飞机发动机推力等于空气阻力与重力在切向的分力之和，重力在切向的分力逐渐增大，所以飞机发动机的推力逐渐增大，故B错误；飞机推力与速度方向相同，飞机推力逐渐增大，根据P＝Fv，所以飞机推力做功的功率逐渐增大，故A正确；设飞机的速率为v，运动方向与竖直方向的夹角为θ，则竖直方向分速度为vy＝v cos θ，飞机克服重力做功的功率为PG＝mgvy＝mgv cos θ，角θ逐渐减小，所以功率逐渐增大，故C错误；飞机做匀速圆周运动，空气阻力大小不变，方向时刻与运动方向相反，发生改变，故D错误。]
【典例4 教用·备选题】 (功率的计算)引体向上是中学生体育测试的项目之一。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于( )
A．5 W B．20 W
C．100 W D．400 W
C [学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为 0.5 m，引体向上一次克服重力做功约为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝ W＝100 W，故C正确，A、B、D错误。]
[典例5] (瞬时功率与平均功率)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，不计空气阻力，经历时间t，则下列说法中不正确的是( )
A．t秒内重力对物体做功为mg2t2
B．t秒内重力的平均功率为mg2t
C．秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前秒内重力做功的平均功率与后秒内重力做功的平均功率之比为1∶3
B [物体自由下落，t秒内物体下落h＝gt2，Wt＝mgh＝mg2t2，A正确，不符合题意；P＝＝＝mg2t，B错误，符合题意；从静止开始自由下落，秒末与t秒末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故秒末与t秒末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确，不符合题意；前秒与后秒下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为 1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确，不符合题意。]
[典例6] (功与功率的计算)(2024·江苏常州一模)如图1，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝10 m/s2，则( )
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内摩擦力对物体做的功为2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为3 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
C [第1 s内物体未动，推力做的功为0，故A错误；物体第3 s内做匀速直线运动，则f＝F3＝2 N，物体第2 s内做匀加速直线运动，则位移为x＝×1×2 m＝1 m，则第2 s内摩擦力对物体做的功为Wf＝－fx＝－2 J，故B错误；第1.5 s时，根据题图3可知此时的速度为v＝1 m/s，推力F做功的功率为P＝F2v＝3 W，故C正确；第2 s内推力F做功为WF＝F2x＝3 J，则第2 s内推力F做功的平均功率＝＝3 W，故D错误。]
【典例6 教用·备选题】 (功与功率的计算)从地面上的某一点同时抛出两相同的小球A、B，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则下列选项一定正确的是( )
A．A、B同时落地
B．初速度vA>vB
C．初速度的水平分量vAx>vBx
D．落地时重力的瞬时功率PA>PB
D [斜抛运动竖直方向上是竖直上抛运动，由h＝gt2，可知A球在空中运动时间长，B球先落地，故A错误；水平方向是匀速直线运动，由x＝vxt，A球运动时间长，水平位移小，故A球初速度的水平分量小，故C错误；由竖直方向vy＝gt，由于A球达到最高点的时间长，所以A球的竖直方向初速度大，小球的初速度v＝，由于A球水平分速度小而竖直分速度大，故两球的初速度大小无法判断，故B错误；落地时重力的瞬时功率P＝mgvy，由于两球的质量相等，A球的竖直方向落地速度大，所以落地时重力的瞬时功率A球的大，故D正确。故选D。]
求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
机车启动问题
1．两种启动方式
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和 v-t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速运动
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
[典例7] (恒定功率和恒定加速度启动)某汽车发动机的额定功率为120 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的 0.1(g取10 m/s2)。
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到10 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
思路点拨：(1)达到最大速度时，汽车处于匀速运动状态。
(2)以加速度0.5 m/s2匀加速启动时，达到匀加速的最大速度时功率达到额定功率。
[解析] (1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力大小相等，故最大速度为
vm＝＝＝ m/s＝24 m/s
v＝10 m/s时的牵引力为
F1＝＝ N＝1.2×104 N
由F1－Ff＝ma得a＝＝
m/s2
＝1.4 m/s2。
(2)当汽车以a′＝0.5 m/s2的加速度启动时的牵引力为
F2＝ma′＋Ff＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7 500 N
匀加速运动能达到的最大速度为
v′m＝＝ m/s＝16 m/s
由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v′m＝a′t，
故匀加速过程能维持的时间为
t＝＝ s＝32 s。
[答案] (1)24 m/s 1.4 m/s2 (2)32 s
机车启动问题的三点注意
(1)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Ffvm只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。
【典例7 教用·备选题】 (恒定功率启动)(2025·江苏徐州模拟)一动力机械质量为10 kg，输出功率为400 W且保持不变，某时刻以8 m/s的速度进入斜坡，斜坡长10.4 m，倾角为37°，到达坡顶前已做匀速运动，速度为4 m/s。该机械可视为质点，所受摩擦力恒定，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取 10 m/s2。 下列说法正确的是( )
A．机械先做匀减速运动后做匀速运动
B．机械所受摩擦力大小为50 N
C．机械刚进入斜坡时加速度大小为5 m/s2
D．机械从坡底到坡顶所用时间为3.2 s
C [在机械上坡时对机械受力分析有－μmg cos 37°－mg sin 37°＝ma，由于v在变，a在变，所以不是匀变速运动，A错误；由题意知当a＝0时，机械速度为4 m/s，根据选项A解得μ＝0.5，所以f＝μmg cos 37°＝40 N，B错误；由题意知机械以8 m/s的速度进入斜坡，根据选项A，代入数据解得a＝－5 m/s，则机械刚进入斜坡时加速度大小为5 m/s2，C正确；对机械用动能定理得Pt－μmgx cos 37°－mgx sin 37°＝，解得t＝2 s，D错误。故选C。]
[典例8] (机车启动中的图像问题)(2024·江苏苏州一模)如今我国物流运输事业发展迅猛，送件速度的提高离不开运输工具的高效率。已知一辆质量为2×103 kg的载物货车由静止开始沿平直公路行驶，货车牵引力F和车速倒数的关系如图所示。货车行驶过程中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则下列说法正确的是( )
A．AB段货车做匀减速直线运动，BC段货车做加速度增大的加速运动
B．货车启动过程最大功率为6 000 W
C．货车速度为20 m/s时的加速度为1 m/s2
D．货车做匀加速运动的时间为5 s
D [由题图可知AB段牵引力F不变，加速度恒定，因此AB段货车做匀加速直线运动，BC段牵引力F减小，所以加速度减小，因此BC段做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动，故A错误；当货车匀速运动时，车速最大，为30 m/s，牵引力和阻力相等，由题图可知F＝f＝2×103 N，则最大功率为Pm＝Fvm＝2×103×30 W＝6×104 W，故B错误；货车速度为20 m/s时，此时牵引力为F′＝＝ N＝3×103 N，由牛顿第二定律可得F′－f＝ma′，解得a′＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，故C错误；货车匀加速运动过程中，由题图可知牵引力大小为6×103 N，由牛顿第二定律可得a＝＝ m/s2＝2 m/s2，货车刚达到额定功率时的速度为v′＝＝ m/s＝10 m/s，所以货车做匀加速运动的时间t＝＝5 s，故D正确。]
【典例8 教用·备选题】 (机车启动中的图像问题)(2025·江苏镇江模拟)某汽车从静止开始以加速度a匀加速启动，最后做匀速运动。已知汽车的质量为m，额定功率为P额，匀加速运动的末速度为v1，匀速运动的速度为vm，所受阻力为f。下图是反映汽车的速度随时间及功率、牵引力和加速度随速度变化的图像，其中不正确的是( )
A B
C D
D [汽车开始做初速度为零的匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀加速结束，然后做加速度逐渐减小的加速运动，直至最后匀速运动。开始匀加速时，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，设匀加速刚结束时速度为v1，有P额＝Fv1，最后匀速时，有F＝f，可得P额＝fvm，由以上各式解得匀加速的末速度大小为v1＝，最后匀速运动速度大小为vm＝，在v-t图像中斜率表示加速度，汽车开始加速度不变，后来逐渐减小，最终做匀速直线运动，故A正确，不符合题意；开始汽车功率逐渐增加，有P＝Fv＝Fat，故为过原点的直线，后来功率恒定，故B正确，不符合题意；汽车牵引力大小开始不变，然后逐渐减小，最后牵引力等于阻力，故C正确，不符合题意；汽车运动过程中开始加速度不变，后来加速度逐渐减小，最后加速度为零，故D错误，符合题意。故选D。]
变力做功的分析与计算
求变力做功的几种方法
方法 举例说明 对应图
应用 动能 定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl·(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝Ff·2πR
功率法 汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中，牵引力做功WF＝Pt
等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
平均 力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力做功W＝(x2－x1)
图像法 一水平拉力F拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝
[典例1] (微元法与动能定理)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg 的物块(可看成质点)。用大小始终为F＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。
[解析] (1)将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Fln cos 37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°··2πR≈376.8 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。
[答案] (1)376.8 J (2)－136.8 J
【典例1 教用·备选题】 (微元法)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法不正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
C [如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，摆球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影L，所以WG＝mgL，故A正确；因为拉力F在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WF＝0，故B正确；F阻所做的总功等于每个小弧段上F阻所做功的代数和，即WF阻＝－(F阻＋F阻Δx2＋…)＝－F阻πL，故C错误，D正确。
]
[典例2] (图像法)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
A [物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图像与坐标轴围成的面积表示F做的功可知，物块运动至x＝0.4 m处时F做的功W＝3.5 J，而此过程物块克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知W－Wf＝Ep，则此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。]
[典例3] (平均力法)(2024·江苏南京一模)一遵从胡克定律、劲度系数为k的弹性轻绳，绕过固定于平台边缘的小滑轮A，将其一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，静止于M处。已知OA的距离恰为弹性绳原长，现将小球拉至与M等高的N处静止释放，MN的距离为d，则小球从释放到与平台右侧面碰撞前的过程中(不计空气阻力及绳子和滑轮间的摩擦，小球视为质点，弹性绳始终在弹性限度内，重力加速度为g)( )
A．小球的最大速度为
B．小球的最大速度为
C．小球的最大加速度为
D．小球的最大加速度为
A [小球有最大加速度时，即合力最大，为一开始释放的时候，因为小球可静止于M点，因此弹力在竖直方向上的分力与重力相等，水平分力为合力，所以可得kd＝ma，解得a＝，C、D错误；根据受力分析可知，小球在从N到M的过程中，只受重力和弹力，且从N到M的过程中只有弹力在水平方向的分力做功，且弹力在水平方向上的分力即合力和位移成线性关系，因此可得kd·d＝mv2，解得最大速度为v＝，A正确，B错误。]
【典例3 教用·备选题】 (平均力法)(2024·苏州模拟)质量为m，长为L的匀质木板以速度v0向右运动，水平地面O点左侧是光滑的，右侧是粗糙的，与木板的摩擦系数为μ，当木板全部进入时刚好静止，则木板的初速度v0是( )
A． B．2
C． D．3
A [摩擦力与位移为线性关系，可以用平均摩擦力来求摩擦力做功，根据动能定理得－μmgL＝，解得v0＝，故选A。]
[典例4] (等效转化法)人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°。当人匀速提起物体由A点沿水平方向运动L＝2 m 而到达B点时，绳与水平方向成30°角。则人对绳的拉力做了多少功？(g取 10 m/s2)
[解析] 人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力 F＝mg，而物体上升的高度等于滑轮右侧绳子的伸长量ΔL，设定滑轮的高度为h，由几何关系易得L＝，可得ΔL＝，解得ΔL≈1.46 m，人对绳子做的功为W＝mgΔL＝50×10×1.46 J＝730 J。
[答案] 730 J
课时分层作业(十四) 功和功率
题组一 功和功率的分析与计算
1．如图所示，倾角为θ的斜劈放在水平面上，斜劈上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的质量为m的小球，当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，以下说法不正确的是( )
A．小球的重力做功为零
B．斜劈对小球的弹力做功为
C．挡板对小球的弹力做负功
D．合力对小球做功为零
B [小球的重力与速度方向始终垂直，不做功，A正确；由于小球做匀速直线运动，对小球受力分析如图所示，可求得斜劈对小球的弹力为FN＝，做功为WFN＝FNsin θ·vt＝mgvt·tan θ，B错误；挡板的弹力为F＝mg tan θ，做功为WF＝－Fvt＝－mgvt·tan θ，C正确；小球受到的合力为零，则合力对小球做功为零，D正确。
]
2．《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A． B．
C． D．nmgωRH
B [设两水轮的轴的连线与水平面的夹角为θ，水筒在两水轮间做匀速直线运动，由平衡条件知筒车对灌入稻田的水的作用力大小F＝n·60%mg，方向竖直向上，筒车的线速度大小v＝ωR，则筒车对灌入稻田的水做功的功率P＝Fv cos (90°－θ)＝，B正确，A、C、D错误。]
3．如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
D [两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝mv2，解得v＝，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，重力对甲做功的瞬时功率为零，重力对乙做功的瞬时功率大于零，D正确。]
4．质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为( )
A．
B．
C．
D．
A [设物体与地面间的动摩擦因数为μ，当小车拖动物体行驶的位移为s1的过程中有F－f－μmg＝(m＋M)a，v2＝2as1，P0＝Fv，轻绳从物体上脱落后有a2＝μg，v2＝2a2(s2－s1)，联立解得P0＝，故选A。]
5．(2024·江苏东海高中高考模拟)如图所示，从某高度以初速度v0水平抛出一个质量为m的小球，在小球未落地的过程中，其速度v、速度变化量Δv、重力的功率P和重力的功W与时间t的关系图像，正确的是( )
A B C D
C [小球t时刻的速度为v＝＝，由数学知识知，t＝0时，v≠0，所以 v-t 图像不过原点，故A错误；由Δv＝at＝gt分析可知，Δv-t图像是过原点的直线，故B错误；重力的功率P＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，P与t成正比，P-t图像是过原点的直线，故C正确；重力的功W＝mgh＝mg·gt2，W-t是过原点的开口向上的抛物线，故D错误。]
题组二 机车启动问题
6．如图所示，某列车正沿直线驶出车站，假设列车质量为m，牵引电机的输出功率恒为P，所受阻力恒为f。某时刻速度为v1、加速度为a1，一段时间t后速度为v2，在这段时间内位移为x。下列关系式正确的是( )
A．＝ B．a1＝
C．x＝v1t＋a1t2 D．Pt＝
B [列车以恒定功率运动，速度增大，牵引力减小，加速度减小，不是匀变速直线运动，x＝t和x＝v1t＋a1t2不适用，故A、C错误；列车速度为v1时，牵引力F＝，根据牛顿第二定律得a1＝，故B正确；根据动能定理可知，Pt－fx＝，故D错误。]
7．(2024·苏州中学模拟)提高物体(例如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与物体运动速率的平方成正比，即Ff＝kv2，k是阻力因数)。当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动的速率增大到2vm，则下列办法可行的是 ( )
A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0
B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到
C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0
D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到
C [物体匀速运动时，牵引力与阻力相等，由P＝Fvm＝Ffvm＝，要使物体运动的速率增大到2vm，阻力因数不变时，需使发动机额定功率增大到8P0，故A错误，C正确；发动机额定功率不变时，需使阻力因数减小到，故B、D错误。]
8．一辆动车组的总质量M＝2.0×105 kg，额定输出功率为4 800 kW。假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为 270 km/h，受到的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．该动车组以最大速度行驶时的牵引力为 6.4×104 N
B．从题中给出的数据可算出k＝1.0×103 N·s/m
C．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组受到的阻力为1.6×104 N
D．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为2 400 kW
A [最大速度为vm＝270 km/h＝75 m/s，根据P＝Fv，得该动车组以最大速度行驶时的牵引力为F＝＝ N＝6.4×104 N，故A正确；当牵引力与阻力相等时，速度达到最大，则有F＝Ff＝kvm，解得k＝＝ N·s/m≈853.3 N·s/m，故B错误；当匀速行驶的速度为v＝时，则有＝kv＝3.2×104 N，此时牵引力F′＝F′f＝3.2×104 N，动车组输出功率P′＝F′v＝3.2×104× W＝1 200 kW，故C、D错误。]
9．(2024·江苏无锡一模)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内拉力做的功为120 J
B．物体在0～2 s内所受的拉力为4 N
C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
D [0～6 s内拉力做的功为P-t图线与t轴所围的面积，W＝140 J，A错误；在0～2 s内拉力恒定不变，在2 s末，拉力的功率为60 W，而运动速度为 10 m/s，根据P＝Fv，可得拉力F＝6 N，B错误；在2～6 s内物体匀速运动，因此f＝F′＝＝2 N，由滑动摩擦力公式f＝μN，又N＝mg，得μ＝0.25，C错误；由于在 2～6 s内物体匀速运动，合外力做功为0，因此合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等，D正确。]
10．(2025·苏州调研)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
A [在0～t1时间内，如果匀速，则v-t图像是与时间轴平行的直线；如果是加速，根据P＝Fv，牵引力减小，根据F－Ff＝ma，加速度减小，汽车做加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即F1＝Ff，汽车开始做匀速直线运动，此时速度v1＝＝，所以0～t1时间内，v-t图像先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线；在t1～t2时间内，功率突然增加，故牵引力突然增加，汽车做加速运动，根据P＝Fv，牵引力减小，再根据F－Ff＝ma，加速度减小，汽车做加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即F2＝Ff，汽车开始做匀速直线运动，此时速度v2＝＝，所以在t1～t2时间内，即v-t图像先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线，故A正确。]
11．如图所示，固定在水平面上的斜面倾角为θ＝30°，物体P和Q叠放在斜面上，一起由静止开始沿斜面下滑。已知P与斜面间动摩擦因数为μ1＝，P与Q间动摩擦因数为μ2＝，P和Q质量分别为2m和m，重力加速度为g。求：
(1)经过时间t，重力对P做功的瞬时功率；
(2)经过时间t，物体P对Q的摩擦力所做的功。
[解析] (1)因为μ1<μ2，所以P、Q一起下滑，对P、Q应用牛顿第二定律可知P、Q沿斜面下滑的加速度a＝g sin θ－μ1g cos θ
应用速度公式可知经过时间t，P、Q的速度为v＝at
又P＝Fv
可知重力对P做功的功率为PG＝(2mg sin θ)v
解得PG＝mg2t。
(2)在时间t内P运动位移x＝at2
对Q，应用牛顿第二定律有mg sin θ－Ff＝ma
摩擦力对Q做功为W＝－Ffx
解得W＝－mg2t2。
[答案] (1)mg2t (2)－mg2t2
12．(2025·昆山模拟)质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为 2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间。
[解析] (1)由牛顿第二定律得
F－mg sin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s。
(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，
则有P＝(mg sin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s。
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝，在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mg sin 30°＋Ff)x2＝－mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s。
[答案] (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
13．(2024·江苏南京一模)在平直的公路上汽车由静止开始做直线运动，运动过程中，汽车器件的摩擦损耗功率恒为3 kW(发动机功率为输出功率与损耗功率之和)。图中曲线1表示汽车运动的速度和时间的关系，折线2表示汽车的发动机功率和时间的关系，汽车全程所受阻力不变，14 s末恰好达到最大速度。求：
(1)汽车受到的阻力大小和牵引力最大值；
(2)汽车的质量；
(3)汽车从静止到匀速运动的总位移。
[解析] (1)由题图可知当汽车速度达到最大时，速度为
vm＝12 m/s
此时输出功率为
P出＝7×103 W－3×103 W＝4×103 W
此时牵引力等于阻力，则有
f＝＝ N＝ N
汽车做匀加速直线运动时的牵引力最大，由题图可知，t＝6 s时结束匀加速，则有
Fm牵＝＝ N＝500 N。
(2)由速度—时间图像可得汽车做匀加速运动的加速度为
a＝＝ m/s2＝ m/s2
由牛顿第二定律可得
Fm牵－f＝ma
解得m＝＝ kg＝125 kg。
(3)汽车做匀加速运动的位移大小
x1＝＝×62 m＝24 m
汽车在变加速运动中
P出t2－fx2＝
解得x2＝81 m
汽车从静止到匀速运动的总位移为
x总＝x1＋x2＝24 m＋81 m＝105 m。
[答案] (1) N 500 N (2)125 kg (3)105 m
12 / 27课时分层作业(十四) 功和功率
说明：选择题每小题4分；本试卷共75分。
题组一 功和功率的分析与计算
1．如图所示，倾角为θ的斜劈放在水平面上，斜劈上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的质量为m的小球，当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，以下说法不正确的是( )
A．小球的重力做功为零
B．斜劈对小球的弹力做功为
C．挡板对小球的弹力做负功
D．合力对小球做功为零
2．《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
A． B．
C． D．nmgωRH
3．如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
4．质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为( )
A．
B．
C．
D．
5．(2024·江苏东海高中高考模拟)如图所示，从某高度以初速度v0水平抛出一个质量为m的小球，在小球未落地的过程中，其速度v、速度变化量Δv、重力的功率P和重力的功W与时间t的关系图像，正确的是( )
A B C D
题组二 机车启动问题
6．如图所示，某列车正沿直线驶出车站，假设列车质量为m，牵引电机的输出功率恒为P，所受阻力恒为f。某时刻速度为v1、加速度为a1，一段时间t后速度为v2，在这段时间内位移为x。下列关系式正确的是( )
A．＝ B．a1＝
C．x＝v1t＋a1t2 D．Pt＝
7．(2024·苏州中学模拟)提高物体(例如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与物体运动速率的平方成正比，即Ff＝kv2，k是阻力因数)。当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动的速率增大到2vm，则下列办法可行的是 ( )
A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0
B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到
C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0
D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到
8．一辆动车组的总质量M＝2.0×105 kg，额定输出功率为4 800 kW。假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为 270 km/h，受到的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．该动车组以最大速度行驶时的牵引力为 6.4×104 N
B．从题中给出的数据可算出k＝1.0×103 N·s/m
C．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组受到的阻力为1.6×104 N
D．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为2 400 kW
9．(2024·江苏无锡一模)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内拉力做的功为120 J
B．物体在0～2 s内所受的拉力为4 N
C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
10．(2025·苏州调研)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
11．如图所示，固定在水平面上的斜面倾角为θ＝30°，物体P和Q叠放在斜面上，一起由静止开始沿斜面下滑。已知P与斜面间动摩擦因数为μ1＝，P与Q间动摩擦因数为μ2＝，P和Q质量分别为2m和m，重力加速度为g。求：
(1)经过时间t，重力对P做功的瞬时功率；
(2)经过时间t，物体P对Q的摩擦力所做的功。
12．(2025·昆山模拟)质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为 2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间。
13．(2024·江苏南京一模)在平直的公路上汽车由静止开始做直线运动，运动过程中，汽车器件的摩擦损耗功率恒为3 kW(发动机功率为输出功率与损耗功率之和)。图中曲线1表示汽车运动的速度和时间的关系，折线2表示汽车的发动机功率和时间的关系，汽车全程所受阻力不变，14 s末恰好达到最大速度。求：
(1)汽车受到的阻力大小和牵引力最大值；
(2)汽车的质量；
(3)汽车从静止到匀速运动的总位移。
1 / 6知能模块 考点内容 高考(江苏卷)六年命题情况对照分析
2019－2024 命题分析
第1节 功和功率 功和功率 2020T1：功率 1．从题型上看，选择题、计算题均有。 2．动能定理、机械能守恒定律经常与牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动结合起来命题，选材背景与生活实际相联系。
第2节 动能定理 动能和动能定理 2019T8：动能定理 2020T4：动能与位移的关系 2022T8：动能定理 2023T15：动能定理
第3节 机械能守恒定律及其应用 重力做功与重力势能的关系 机械能守恒定律及其应用
第4节 功能关系 能量守恒定律 功能关系 能量守恒定律 2021适应考T15：功和能 2021T14：能量守恒 2023T11：功能关系 2024T15：斜面＋电动机，利用能量守恒解决实际问题
实验七 验证机械能守恒定律
功和功率
一、功
1．做功两因素
力和物体在力的方向上发生的______。
2．公式：W＝____________
(1)α是力与______方向之间的夹角，l是物体在力的作用下发生的位移。
(2)该公式只适用于______做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功 依据力与______方向的夹角来判断
曲线运动 中的功 依据力与______方向的夹角α来判断，0°____α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α____180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化 时的功 功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用______的比值。
2．物理意义：描述做功的______。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的__________。
(2)P＝Fv cos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为__________。
②v为瞬时速度，则P为__________。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械长时间__________时输出的______功率。
(2)实际功率：动力机械__________时输出的功率，要求____________额定功率。
5．发动机功率：机车发动机的功率P＝____，F为______力，并非机车所受的合力。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。 ( )
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 ( )
(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。 ( )
(4)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。 ( )
(5)汽车上坡的时候，司机减速换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。 ( )
(6)公式P＝Fv中的F是物体受到的合外力。 ( )
二、教材习题衍生
1．(对功的理解)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少( )
A B
C D
2．(对功率的理解)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是( )
A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率，不可以求平均功率
C．由P＝Fv知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限增大
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
3．(功的正负的判断)神舟十八号载人飞船返回舱于2024年11月4日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中( )
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
功的分析与计算
[典例1] (功的计算)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢。在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例2] (正负功的判断)(2025·江苏南京模拟)如图所示，毛毛虫沿着树枝向上爬行一段距离，树枝与水平方向有一定夹角，则在该运动过程中( )
A．树枝对毛毛虫做的功为零
B．重力对毛毛虫做的功为零
C．树枝对毛毛虫的弹力做负功
D．摩擦力对毛毛虫做负功
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例3] (结合图像计算恒力做的功)(2024·宿迁中学高三模拟)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v-t图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5
B．10 s内恒力F对物体做的功为102 J
C．10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处
D．10 s内物体克服摩擦力做的功为18 J
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合力做的功。
功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用 ＝。
(2)利用 ＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·v cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
[典例4] (功率的计算)(2024·江苏苏州一模)一架飞机从水平平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升，如图所示，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时( )
A．飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
B．飞机发动机推力大小保持不变
C．飞机克服重力做功的功率保持不变
D．空气阻力对飞机的作用力不变
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例5] (瞬时功率与平均功率)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，不计空气阻力，经历时间t，则下列说法中不正确的是( )
A．t秒内重力对物体做功为mg2t2
B．t秒内重力的平均功率为mg2t
C．秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前秒内重力做功的平均功率与后秒内重力做功的平均功率之比为1∶3
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例6] (功与功率的计算)(2024·江苏常州一模)如图1，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝10 m/s2，则( )
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内摩擦力对物体做的功为2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为3 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
机车启动问题
1．两种启动方式
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和 v-t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速运动
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
[典例7] (恒定功率和恒定加速度启动)某汽车发动机的额定功率为120 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的 0.1(g取10 m/s2)。
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到10 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
思路点拨：(1)达到最大速度时，汽车处于匀速运动状态。
(2)以加速度0.5 m/s2匀加速启动时，达到匀加速的最大速度时功率达到额定功率。
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
机车启动问题的三点注意
(1)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Ffvm只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。
[典例8] (机车启动中的图像问题)(2024·江苏苏州一模)如今我国物流运输事业发展迅猛，送件速度的提高离不开运输工具的高效率。已知一辆质量为2×103 kg的载物货车由静止开始沿平直公路行驶，货车牵引力F和车速倒数的关系如图所示。货车行驶过程中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则下列说法正确的是( )
A．AB段货车做匀减速直线运动，BC段货车做加速度增大的加速运动
B．货车启动过程最大功率为6 000 W
C．货车速度为20 m/s时的加速度为1 m/s2
D．货车做匀加速运动的时间为5 s
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
变力做功的分析与计算
求变力做功的几种方法
方法 举例说明 对应图
应用 动能 定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl·(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝Ff·2πR
功率法 汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中，牵引力做功WF＝Pt
等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
平均 力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力做功W＝(x2－x1)
图像法 一水平拉力F拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝
[典例1] (微元法与动能定理)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg 的物块(可看成质点)。用大小始终为F＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例2] (图像法)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例3] (平均力法)(2024·江苏南京一模)一遵从胡克定律、劲度系数为k的弹性轻绳，绕过固定于平台边缘的小滑轮A，将其一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，静止于M处。已知OA的距离恰为弹性绳原长，现将小球拉至与M等高的N处静止释放，MN的距离为d，则小球从释放到与平台右侧面碰撞前的过程中(不计空气阻力及绳子和滑轮间的摩擦，小球视为质点，弹性绳始终在弹性限度内，重力加速度为g)( )
A．小球的最大速度为
B．小球的最大速度为
C．小球的最大加速度为
D．小球的最大加速度为
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例4] (等效转化法)人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°。当人匀速提起物体由A点沿水平方向运动L＝2 m 而到达B点时，绳与水平方向成30°角。则人对绳的拉力做了多少功？(g取 10 m/s2)
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12 / 12
