课时分层作业(十六) 机械能守恒定律及其应用
说明：选择题每小题4分；本试卷共64分。
题组一 机械能守恒定律的判断
1．下列对各图的说法正确的是( )
A．图甲中汽车匀速下坡的过程中机械能守恒
B．图乙中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合力为零，动能不变
C．图丙中弓被拉开过程弹性势能减少了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能增大
2．(2024·北京卷)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是( )
A．物体在C点所受合力为零
B．物体在C点的速度为零
C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
题组二 单物体机械能守恒问题
3．(2024·江苏常州一模)如图所示，小球从水平平台边缘水平抛出，恰好落到倾角为53°的光滑固定斜面顶端A点且速度方向与斜面平行，已知水平平台到斜面顶端的高度差为0.8 m，斜面AB的长度为1.5 m，重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．小球抛出时的速度大小为4 m/s
B．小球落到斜面顶端A点时的速度大小为4 m/s
C．斜面顶端A点到水平平台边缘的水平距离为 1.2 m
D．小球滑到斜面底端B点时的速度大小为 2 m/s
4．如图所示，小球沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点时，小球的机械能E、重力势能Ep(取圆轨道的最低点所在平面为零势能面)和动能Ek的大小关系，可能正确的是( )
A．E＝Ep B．E＝Ep
C．Ek＝Ep D．Ek＝Ep
题组三 多物体机械能守恒问题
5．如图所示，物体A、B质量相同，在倾角为30°的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A在下降h距离时的速度大小为( )
A． B．2
C． D．
6．如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100 g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m 的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至轻杆与圆环相切的Q点的过程中，轻杆对滑块b做的功。
题组四 用机械能守恒定律解决非质点问题
7．(2024·江苏无锡一模)一根质量为m、长为L的均匀铁链一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，如图(a)所示。若在铁链两端各挂一个质量为的小球，如图(b)所示。若在铁链两端和中央各挂一个质量为的小球，如图(c)所示。由静止释放，当铁链刚离开桌面时，图(a)中铁链的速度为v1，图(b)中铁链的速度为v2，图(c)中铁链的速度为v3(设铁链滑动过程中始终不离开桌面，挡板光滑，小球可看作质点)。下列判断正确的是( )
A．v1＝v2＝v3 B．v1C．v1>v2>v3 D．v1>v3>v2
8．(2024·启东吕四中学模拟)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
9．(2024·江苏苏州一模)如图所示，一倾角为37°的光滑斜面和光滑水平面平滑连接，两个质量均为m的小球A、B用长为L的轻质细杆连接固定，现将两球从斜面上由静止释放，释放时A离斜面底端的距离为L，重力加速度为g，两球可视为质点，sin 37°＝0.6。 两球从斜面滑到水平面上虚线位置的过程中，以下说法正确的是( )
A．到虚线位置时A球速度为
B．到虚线位置时B球的速度为
C．细杆对B球不做功
D．细杆对B球做功为－
10．(2024·扬州第一中学高三期末)如图所示，半径为R的半圆形管道ACB固定在竖直平面内，倾角为θ的斜面固定在水平面上，细线跨过小滑轮连接小球和物块，细线与斜面平行，物块质量为m，小球质量M＝3m，对物块施加沿斜面向下的力F使其静止在斜面底端，小球恰在A点。撤去力F后，小球由静止下滑。重力加速度为g，sin θ＝≈0.64，不计一切摩擦。求：
(1)力F的大小；
(2)小球运动到最低点C时，速度大小v以及管壁对它弹力的大小N；
(3)在小球从A点运动到C点过程中，细线对物块做的功W。
11．(2020·江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
6 / 6 机械能守恒定律及其应用
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的________有关。
(2)重力做功不引起物体________的变化。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝_____。
(2)特性：
①标矢性：重力势能是______，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。
②系统性：重力势能是物体和______所组成的“系统”共有的。
③相对性：重力势能的大小与__________的选取有关。重力势能的变化是______的，与参考平面的选取______。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就______；重力对物体做负功，重力势能就______。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝Ep1－Ep2＝_______。
二、弹力做功与弹性势能
1．弹性势能
定义：发生__________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能______；弹力做负功，弹性势能______。即W＝_______。
3．特别提示
对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等。
三、机械能守恒定律
1．机械能
______和______统称为机械能，其中势能包括______势能和______势能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有____________做功的物体系统内，动能和势能可以互相______，而总的机械能保持______。
(2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。
(3)守恒表达式：＝______________。
3．守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。 ( )
(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。 ( )
(3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。 ( )
(4)做曲线运动的物体机械能可能守恒。 ( )
(5)物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。 ( )
(6)只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。 ( )
二、教材习题衍生
1．(机械能守恒定律的理解及应用)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点。下列说法错误的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
2．(动能、重力势能及机械能的理解)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为－mgh
D．物体在海平面上的机械能为＋mgh
3．(机械能守恒定律与圆周运动问题综合)要使小球A能击中离地面H高的小球P，设计了甲、乙、丙、丁四条内、外侧均光滑的轨道。甲为高度小于H的倾斜平直轨道，乙、丙、丁均为圆轨道，圆心为O，如图所示。小球从地面出发，初速度大小都为v0＝，g为重力加速度，在甲轨道中初速度方向沿斜面，在乙、丙、丁轨道中初速度方向均沿轨道的切线方向，不计空气阻力，则小球A经过哪种轨道后有可能恰好击中P球( )
A．轨道甲 B．轨道乙
C．轨道丙 D．轨道丁
机械能守恒定律的判断
[典例1] (机械能守恒判断)(2025·南通模拟)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．图乙中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能增加
D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例2] (含有弹簧的系统机械能守恒的分析与判断)(2024·江苏南京一模)在一轻弹簧下挂一重物，将它从位置P处放开，它将迅速下降，直至位置N后再返回(如图甲所示)。若我们用手托着该重物使它缓缓下降，最终它在到达位置Q后就不再运动了(如图乙所示)。记弹簧的弹性势能为Ep1、重物和地球的重力势能为Ep2、重物的动能为Ek，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，关于两次实验，下列说法正确的是( )
A．图甲里重物从Q到N的过程中，Ep1＋Ep2持续减小
B．图乙里重物从P到Q的过程中，Ep1＋Ep2持续增大
C．图甲里重物从P到N的过程中，Ep1＋Ep2＋Ek保持不变
D．图乙里重物从P到Q的过程中，Ep1＋Ep2＋Ek保持不变
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例3] (系统机械能守恒的分析与判断)如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功判断：若单个物体所受外力只有重力做功，则其机械能守恒；若系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。
(2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
(3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．一般步骤
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
[典例4] (单物体机械能守恒与圆周运动问题的综合)如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
审题指导：
题干关键 获取信息
光滑固定圆弧轨道 小球在轨道内运动过程中不受摩擦力，弹力与速度方向垂直
小球能否运动到C点 由小球经C点的最小速度确定
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例5] (单物体机械能守恒与平抛运动问题的综合)(2024·常熟月考)如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求：
(1)A、B两点的高度差；
(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝ 或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情境的分析
(1)速率相等情境
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情境
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情境
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
[典例6] (多物体机械能守恒问题)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
关键语句 获取信息
固定的光滑斜面上 系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用 弹簧处于压缩状态，且弹力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面 弹簧处于伸长状态，且弹力等于C的重力
B、C的质量均为m 弹簧压缩量和伸长量相等，弹性势能相同
A球获得的最大速度vm A的加速度此时为零
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例7] (轻绳连接的物体系统)(2024·江苏南京一模)如图所示，两根不可伸长的轻绳连接质量为m的小球P，右侧绳一端固定于A，绳长为L，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，且两绳均拉直，由静止释放，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)物体Q的质量M；
(2)小球P运动到图示位置时的速度的大小。
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例8] (轻杆连接的物体系统)(2024·江苏南通期末)如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中AB是竖直轨道，CD是水平轨道，AB与BC相切于B点，BC与CD相切于C点。一根长为2R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q(视为质点)，将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。求：
(1)P球到达C点时的速度大小；
(2)P球到达B点时的速度大小。
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例9] (轻弹簧和轻绳连接的物体系统)如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和滑块Q连接起来，滑块Q的质量为4m，把滑块P从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等，已知OA与水平面的夹角θ＝53°，OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，滑块P从A到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．滑块P的最大速度为2
B．滑块P在A和B的中点速度最大
C．轻绳对滑块P做功8mgL
D．重力对滑块Q做功的功率一直减小
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例10] (轻弹簧和光滑杆连接的物体系统)(2025·江苏南京模拟)如图所示，在竖直面内，倾斜长杆上套一小物块，跨过轻质定滑轮的细线一端与物块连接，另一端与固定在水平面上的竖直轻弹簧连接。使物块位于A点时，细线自然拉直且垂直于长杆，弹簧处于原长。现将物块由A点静止释放，物块沿杆运动的最低点为B，C是AB的中点。弹簧始终在弹性限度内，不计一切阻力，则( )
A．A到B过程物块运动的加速度先增大后减小
B．A到C过程重力对物块做的功小于C到B过程重力对物块做的功
C．A到C过程物块所受合力做的功大于C到B过程物块克服合力做的功
D．物块下滑过程中，弹簧的弹性势能在A到C过程的增量小于C到B过程的增量
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
用机械能守恒定律解决非质点问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此不能再将这类物体视为质点来处理。
2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例11] (匀质软绳类问题)如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例12] (匀质流体类问题)如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12 / 12 机械能守恒定律及其应用
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。
(2)特性：
①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。
②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、弹力做功与弹性势能
1．弹性势能
定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。即W＝－ΔEp。
3．特别提示
对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等。
三、机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。
(3)守恒表达式：＝。
3．守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。 (√)
(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。 (×)
(3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。 (√)
(4)做曲线运动的物体机械能可能守恒。 (√)
(5)物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。 (×)
(6)只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。 (×)
二、教材习题衍生
1．(机械能守恒定律的理解及应用)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点。下列说法错误的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
D [在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故A正确，不符合题意；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故B正确，不符合题意；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故C正确，不符合题意；重力做功是重力势能变化的量度，即WG＝－ΔEp，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故D错误，符合题意。]
2．(动能、重力势能及机械能的理解)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为－mgh
D．物体在海平面上的机械能为＋mgh
A [重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故A正确；以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝，物体在海平面上的动能为Ek＝＋mgh，故C错误；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，物体抛出时的机械能为，所以物体在海平面时的机械能也为，故D错误。]
3．(机械能守恒定律与圆周运动问题综合)要使小球A能击中离地面H高的小球P，设计了甲、乙、丙、丁四条内、外侧均光滑的轨道。甲为高度小于H的倾斜平直轨道，乙、丙、丁均为圆轨道，圆心为O，如图所示。小球从地面出发，初速度大小都为v0＝，g为重力加速度，在甲轨道中初速度方向沿斜面，在乙、丙、丁轨道中初速度方向均沿轨道的切线方向，不计空气阻力，则小球A经过哪种轨道后有可能恰好击中P球( )
A．轨道甲 B．轨道乙
C．轨道丙 D．轨道丁
D [根据题意可知小球A上升过程中，重力做负功，P球高度为H，所以至少重力做功WG＝－mgH，小球A的初动能为Ek0＝＝mgH，所以只有动能全部转化为重力势能才能上升高度H，即小球A击中P球时速度恰好为0。甲轨道小球A在轨道上沿斜面运动后斜抛，在最高点有动能，根据机械能守恒，小球不能到达H高度，甲轨道不可能，故A错误；乙轨道小球A做竖直上抛运动，在最高点速度为零，能达到高度H，但不能击中P球，乙轨道不可能，故B错误；丙轨道小球A通过圆周后，根据圆周运动规律，若在P球处速度为0，则小球A会做近心运动，所以在此之前小球A就不再做圆周运动，丙轨道不可能，故C错误；丁轨道小球A到达P球处，小球A的动能完全转化为重力势能，到达P球处动能恰好为零，小球A恰好击中P球，丁轨道可能，故D正确。]
机械能守恒定律的判断
[典例1] (机械能守恒判断)(2025·南通模拟)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．图乙中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能增加
D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
D [题图甲中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C错误；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
[典例2] (含有弹簧的系统机械能守恒的分析与判断)(2024·江苏南京一模)在一轻弹簧下挂一重物，将它从位置P处放开，它将迅速下降，直至位置N后再返回(如图甲所示)。若我们用手托着该重物使它缓缓下降，最终它在到达位置Q后就不再运动了(如图乙所示)。记弹簧的弹性势能为Ep1、重物和地球的重力势能为Ep2、重物的动能为Ek，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，关于两次实验，下列说法正确的是( )
A．图甲里重物从Q到N的过程中，Ep1＋Ep2持续减小
B．图乙里重物从P到Q的过程中，Ep1＋Ep2持续增大
C．图甲里重物从P到N的过程中，Ep1＋Ep2＋Ek保持不变
D．图乙里重物从P到Q的过程中，Ep1＋Ep2＋Ek保持不变
C [由题意可知，题图甲里重物在到达位置Q处时，弹簧的弹力与重物的重力大小相等，此时重物的速度最大，则有在重物从Q到N的过程中，弹力大于重力，重物做减速运动，动能减小，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可知，Ep1＋Ep2持续增大，A错误；题图乙里重物从P到Q的过程中，用手托着重物使它缓缓下降，重物动能不变，手对重物的支持力对重物做负功，则系统的机械能减小，则有Ep1＋Ep2持续减小，B错误；题图甲里重物从P到N的过程中，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，则有Ep1＋Ep2＋Ek保持不变，C正确；题图乙里重物从P到Q的过程中，手对重物的支持力对重物做负功，因此系统的机械能减小，则有Ep1＋Ep2＋Ek减小，D错误。]
【典例2 教用·备选题】 (含有弹簧的系统机械能守恒的分析与判断)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能增加
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
D [小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A、B错误；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。]
[典例3] (系统机械能守恒的分析与判断)如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
B [不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确；斜劈动能增加，重力势能不变，故斜劈的机械能增加，C错误；由系统机械能守恒可知，小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量和小球动能的增加量之和，D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误。]
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功判断：若单个物体所受外力只有重力做功，则其机械能守恒；若系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。
(2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
(3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．一般步骤
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
[典例4] (单物体机械能守恒与圆周运动问题的综合)如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
审题指导：
题干关键 获取信息
光滑固定圆弧轨道 小球在轨道内运动过程中不受摩擦力，弹力与速度方向垂直
小球能否运动到C点 由小球经C点的最小速度确定
[解析] (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg
设小球在B点的动能为EkB
同理有EkB＝mg
则小球在B、A两点的动能之比EkB∶EkA＝5∶1。
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心力公式有N＋mg＝
应满足
由机械能守恒定律有mg＝
得出小球恰好可以沿轨道运动到C点。
[答案] (1)5∶1 (2)见解析
【典例4 教用·备选题】 (单物体机械能守恒与圆周运动问题的综合)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C [小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，下落h高度过程中，有mgh＝mv2，解得v＝，B错误；设小环位置与P点连线所对的圆心角为θ，小环下滑过程滑过的弧长s＝Rθ，而 h＝R，A错误；小环位置到P点的距离L＝2R sin ，h＝R(1－cos θ)，1－cos θ＝2sin2，即h＝2R sin2＝，代入v＝可知v与L成正比，即小环的速率与小环到P点的距离成正比，C正确；小环位置与P点连线扫过的面积A＝R2θ－R2sinθ，分析知与v不成正比，D错误。]
[典例5] (单物体机械能守恒与平抛运动问题的综合)(2024·常熟月考)如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求：
(1)A、B两点的高度差；
(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？
[解析] (1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有
vA＝＝5 m/s
根据机械能守恒定律，有
mgh＝
解得A、B两点的高度差h＝0.8 m。
(2)假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
＋mgR(1＋cos θ)＝
代入数据解得vC＝3 m/s
小球通过C点的最小速度为v，则
mg＝m，v＝＝ m/s
因为vC>v，所以小球能到达最高点C
在C点，由牛顿第二定律得mg＋F＝
代入数据解得F＝4 N
由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4 N。
[答案] (1)0.8 m (2)见解析
【典例5 教用·备选题】 (单物体机械能守恒与平抛运动问题的综合)某篮球赛中甲将球传给队友，出手时离地 1.5 m，速度大小为 10 m/s，乙原地竖直起跳拦截，起跳后手离地面的高度为3.3 m，球越过乙时速度沿水平方向，且恰好未被拦截。球质量为0.6 kg，重力加速度为 10 m/s2，以地面为零势能面，忽略空气阻力，则( )
A．甲传球时，球与乙的水平距离为6 m
B．队友接球前瞬间，球的速度一定为10 m/s
C．队友接球前瞬间，球的机械能一定为39 J
D．若仅增大出手时球与水平方向的角度，球将不能被乙拦截
C [设出手时离地高度为h1，篮球到达最高点高度为h2，由题意可知，篮球从抛出到最高点竖直方向的位移为h＝h2－h1＝1.8 m，由＝2gh解得篮球竖直方向分速度vy＝6 m/s，则从抛出到最高点的时间为t＝＝0.6 s，篮球水平方向的速度为vx＝＝8 m/s，则甲传球时，球与乙的水平距离为x＝vxt＝4.8 m，故A错误；由机械能守恒定律可知，若队友接球高度和抛出的高度相等，则篮球的速度为10 m/s，若高度不相等，则篮球的速度可能大于 10 m/s，也可能小于10 m/s，故B错误；篮球在空中只受重力作用，机械能守恒，以地面为零势能面，则队友接球前瞬间篮球的机械能恒为E＝＋mgh1＝39 J，故C正确；若仅增大出手时球与水平方向的角度，角度太大，在水平方向的分速度过小，会导致到乙位置时，竖直方向的高度小于乙起跳的最大高度，则可能会被拦截，故D错误。故选C。]
多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝ 或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情境的分析
(1)速率相等情境
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情境
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情境
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
[典例6] (多物体机械能守恒问题)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
关键语句 获取信息
固定的光滑斜面上 系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用 弹簧处于压缩状态，且弹力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面 弹簧处于伸长状态，且弹力等于C的重力
B、C的质量均为m 弹簧压缩量和伸长量相等，弹性势能相同
A球获得的最大速度vm A的加速度此时为零
[解析] (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零
由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg＝0，则sin α＝，α＝30°。
(2)由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得4mgx sin α－mgx＝
联立化简得vm＝2g。
[答案] (1)30° (2)2g
[典例7] (轻绳连接的物体系统)(2024·江苏南京一模)如图所示，两根不可伸长的轻绳连接质量为m的小球P，右侧绳一端固定于A，绳长为L，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，且两绳均拉直，由静止释放，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)物体Q的质量M；
(2)小球P运动到图示位置时的速度的大小。
[解析] (1)小球P静止在题图所示位置时，受力分析如图所示
根据平衡条件可得TB＝mg sin 53°
物体Q静止，则TB＝Mg，解得M＝0.8m。
(2)小球P在与A、B等高的水平线上由静止释放，沿圆弧运动到图示位置。根据机械能守恒定律可得
mgh1－Mgh2＝
根据几何关系易得
h1＝L sin 37°＝0.6L
h2＝L tan 37°－＝0.5L
小球P运动到图示位置时，速度与AP垂直，即沿着BP方向，所以v1＝v2
解得v1＝。
[答案] (1)0.8m (2)
【典例7 教用·备选题】 (轻绳连接的物体系统)如图所示，质量为m的小环P套在竖直杆上，P通过不可伸长的轻绳跨过轻小定滑轮与质量也为m的物块Q相连。O点为杆上与定滑轮等高的点，杆上A点和B点分别在O点的上方和下方且到O点距离相等，OA＝OB＝h。将小环P从A点由静止释放，不计一切摩擦，已知绳始终绷紧，在小环P下降过程中，下列说法正确的是( )
A．小环从A到O的过程中，物块Q的动能不断增大
B．小环从A到B的过程中，物块Q的机械能先减小再增大
C．小环到达O点时，小环的动能为mgh
D．小环到达B点时，小环的动能小于mgh
B [当小环运动到O点时，速度方向向下，与绳垂直，沿绳方向速度为零，所以此时物块的速度为0，所以物块的速度先增大再减小，A错误；机械能的变化取决于除重力以外的其余外力做的功，也就是绳子拉力做的功，小环从A到B的过程中，物块先下降再升高，绳子拉力先做负功再做正功，机械能先减小后增大，B正确；根据能量守恒定律可知mgh＋mgH＝mv2，可解得小环到达O点时动能不为mgh，C错误；根据机械能守恒定律可知mg·2h＝EkP＋EkQ，根据关联速度可知vP cos θ＝vQ，即小环的速度大于物块的速度，所以EkP>mgh，D错误。]
[典例8] (轻杆连接的物体系统)(2024·江苏南通期末)如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中AB是竖直轨道，CD是水平轨道，AB与BC相切于B点，BC与CD相切于C点。一根长为2R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q(视为质点)，将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。求：
(1)P球到达C点时的速度大小；
(2)P球到达B点时的速度大小。
[解析] (1)P球到达C点时，对系统由机械能守恒定律得
4mgR＝×2mv2
解得v＝2。
(2)当P球到达B点时，令杆与水平面的夹角为θ，则有
sin θ＝＝
解得θ＝30°
当P球到达B点时，由于两球在沿杆方向的分速度大小相等，则有
vQ cos 30°＝vP cos 60°
系统机械能守恒，则有
3mgR＝
解得vP＝。
[答案] (1)2 (2)
【典例8 教用·备选题】 (轻杆和轻绳连接的物体系统)(2024·扬州市邗江区蒋王中学高三月考)如图所示，一长为6L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端固定在铰链O处(轻杆可绕铰链自由转动)。一根不可伸长的轻绳一端系于轻杆的中点，另一端通过轻小定滑轮连接在小物块上，物块放置在倾角θ＝30°的斜面上。已知滑轮距正下方地面上的A点的距离为3L，铰链O距A点的距离为L，不计一切摩擦。整个装置由图示位置静止释放，当轻杆被拉至竖直位置时，小球的速度v＝3，物块仍在斜面上，求：
(1)此时小球对轻杆的作用力F；
(2)此过程中轻绳对轻杆做的功W；
(3)小物块的质量M。
[解析] (1)当轻杆被拉至竖直位置时，小球的速度v＝3，根据竖直平面内圆周运动的规律，小球受到的重力和轻杆对小球的作用力的合力提供向心力mg＋F′＝m
根据牛顿第三定律，可得F＝F′＝mg
方向竖直向上。
(2)将小球和轻杆看作一个整体，根据动能定理有W＋WG＝mv2
因为WG＝－6mgL，所以W＝mgL。
(3)将小球、轻杆、轻绳和小物块看作一个系统，则系统机械能守恒ΔEk＝ΔEp
小球和小物块动能增大，则动能增加量为
ΔEk＝mv2＋M
小球重力势能增大，小物块重力势能减小，则重力势能减少量为ΔEp＝Mg·2L－mg·6L
解得M＝12m。
[答案] (1)mg，方向竖直向上 (2)mgL (3)12m
[典例9] (轻弹簧和轻绳连接的物体系统)如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和滑块Q连接起来，滑块Q的质量为4m，把滑块P从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等，已知OA与水平面的夹角θ＝53°，OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，滑块P从A到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．滑块P的最大速度为2
B．滑块P在A和B的中点速度最大
C．轻绳对滑块P做功8mgL
D．重力对滑块Q做功的功率一直减小
C [滑块P速度最大时，加速度为零，当滑块P在A和B的中点时，弹簧的弹力为零，设轻绳与水平方向的夹角为α，根据牛顿第二定律有T sin α－mg＝ma，4mg－T＝4ma sin α，根据几何关系有sin α＝＝，可知滑块P在A和B的中点的加速度大于零，滑块P做加速运动，故滑块P在A和B的中点速度未达到最大，故B错误；滑块P、Q与弹簧组成的系统机械能守恒，根据几何关系可知，滑块P上升的高度为h＝3L tan 53°＝4L，滑块Q下落的高度为H＝OA－OB＝－OB＝2L，A、B两点弹簧对滑块P的弹力大小相等，可知A、B两点弹簧的弹性势能相等，滑块P运动至B点，沿绳方向的速度为零，故滑块Q的速度为零，根据机械能守恒有4mgH－mgh＝mv2，可得滑块P在B点的速度为v＝2，分析可得滑块P的最大速度大于2，滑块P从A到B的过程中，根据动能定理可得W－mgh＝mv2，解得轻绳对滑块P做功为W＝8mgL，故A错误，C正确；滑块P从A点开始运动时，滑块Q的速度为零，则滑块Q重力功率为零，当滑块P运动至B点时，滑块Q的速度为零，则滑块Q重力功率为零，故滑块P从A到B的过程中，重力对滑块Q做功的功率不会一直减小，故D错误。故选C。]
[典例10] (轻弹簧和光滑杆连接的物体系统)(2025·江苏南京模拟)如图所示，在竖直面内，倾斜长杆上套一小物块，跨过轻质定滑轮的细线一端与物块连接，另一端与固定在水平面上的竖直轻弹簧连接。使物块位于A点时，细线自然拉直且垂直于长杆，弹簧处于原长。现将物块由A点静止释放，物块沿杆运动的最低点为B，C是AB的中点。弹簧始终在弹性限度内，不计一切阻力，则( )
A．A到B过程物块运动的加速度先增大后减小
B．A到C过程重力对物块做的功小于C到B过程重力对物块做的功
C．A到C过程物块所受合力做的功大于C到B过程物块克服合力做的功
D．物块下滑过程中，弹簧的弹性势能在A到C过程的增量小于C到B过程的增量
D [依题意，可知物块从A运动到B，先加速后减速，到B点速度为零，细线上拉力不断变大，物块加速度先减小后反向增大，故A错误；A到C过程重力对物块做的功等于C到B过程重力对物块做的功，故B错误；根据动能定理，物块从A到C，合力做的功等于动能的增量，物块从C到B，克服合力做的功等于动能的减少量，而物块在A点和B点的速度都为零，故两个过程物块动能的变化量大小相等，所以A到C过程物块所受合力做的功等于C到B过程物块克服合力做的功，故C错误；根据几何关系，可知物块从A到C过程的弹簧形变量小于C到B过程的弹簧形变量，故物块下滑过程中，弹簧的弹性势能在A到C过程的增量小于C到B过程的增量，故D正确。]
【典例10 教用·备选题】 (轻弹簧和光滑杆连接的物体系统)如图所示，质量为M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l0的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中点，θ＝30°。现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．下滑过程中小球的机械能守恒
B．小球滑到B点时的加速度大小为g
C．小球下滑到B点时速度最大
D．小球下滑到C点时的速度大小为
D [下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，因此小球的机械能不守恒，故A错误；因为在B点，弹簧恢复原长，因此重力沿杆的分力提供加速度，根据牛顿第二定律可得Mg cos 30°＝Ma，解得 a＝g，故B错误；到达B点时加速度与速度方向相同，因此小球还会加速，故C错误；因为C是AO′段的中点，θ＝30°，所以当小球到C点时，弹簧的长度与在A点时相同，故在A、C两位置弹簧弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，所以得Mgl0＝，解得vC＝，故D正确。]
用机械能守恒定律解决非质点问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此不能再将这类物体视为质点来处理。
2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例11] (匀质软绳类问题)如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
[解析] (1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由长度为L－a的部分下降引起的，如图所示。
该部分高度减少量为
h＝sin α＝sin α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2
解得v＝。
[答案] (1)见解析 (2)
【典例11 教用·备选题】(匀质软绳类问题)如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为L、质量为m、粗细和质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用轻质细线将物块与软绳连接，物块的质量也为m，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)。在此过程中( )
A．物块重力做的功等于软绳和物块动能的增加量
B．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量
C．软绳重力势能共减少了 mgL
D．软绳刚好全部离开斜面时的速度为
D [物块下降的高度为h＝L，物块重力做功为W＝mgL，所以物块重力势能减少了ΔEp＝mgL，物块减少的重力势能转化为软绳增加的机械能和物块本身的动能，故A、B错误；物块未释放时，软绳的重心离斜面顶端的高度为h1＝sin 30°＝，软绳刚好全部离开斜面时，软绳的重心离斜面顶端的高度h2＝，则软绳重力势能共减少mg＝mgL，故C错误；根据机械能守恒有mgL＋mgL＝(m＋m)v2，则v＝，故D正确。故选D。]
[典例12] (匀质流体类问题)如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B．
C． D．
A [如图所示，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为管中所有液体的动能，设管中所有液体的质量为m，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得v＝，A正确。
]
课时分层作业(十六) 机械能守恒定律及其应用
题组一 机械能守恒定律的判断
1．下列对各图的说法正确的是( )
A．图甲中汽车匀速下坡的过程中机械能守恒
B．图乙中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合力为零，动能不变
C．图丙中弓被拉开过程弹性势能减少了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能增大
D [题图甲中汽车匀速下坡的过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错误；题图乙中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合力提供向心力不为零，匀速圆周运动速度大小不变，则动能不变，故B错误；题图丙中弓被拉开过程弦的形变量增大，弹性势能增大，故C错误；题图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中竿对运动员做正功，运动员机械能增大，故D正确。]
2．(2024·北京卷)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是( )
A．物体在C点所受合力为零
B．物体在C点的速度为零
C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
C [物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆轨道的半径为r，由牛顿第二定律得mg＝m，解得物体在C点的速度v＝，A、B错误；由牛顿第二定律得mg＝ma，解得物体在C点的向心加速度a＝g，C正确；由机械能守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点时的动能和重力势能之和，D错误。]
题组二 单物体机械能守恒问题
3．(2024·江苏常州一模)如图所示，小球从水平平台边缘水平抛出，恰好落到倾角为53°的光滑固定斜面顶端A点且速度方向与斜面平行，已知水平平台到斜面顶端的高度差为0.8 m，斜面AB的长度为1.5 m，重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．小球抛出时的速度大小为4 m/s
B．小球落到斜面顶端A点时的速度大小为4 m/s
C．斜面顶端A点到水平平台边缘的水平距离为 1.2 m
D．小球滑到斜面底端B点时的速度大小为 2 m/s
C [小球恰好落到固定斜面顶端A点且速度方向与斜面平行，设此过程位移与水平面夹角为α，则tan α＝＝tan 53°＝，解得x＝1.2 m，根据h＝gt2，x＝v0t，解得v0＝3 m/s，t＝0.4 s，故A错误，C正确；小球落到斜面顶端A点时的竖直分速度为vy＝gt＝4 m/s，则小球在A点的速度大小为vA＝＝5 m/s，故B错误；小球从A到B的过程根据机械能守恒定律可知＋mglABsin 53°＝，解得vB＝7 m/s，故D错误。]
4．如图所示，小球沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点时，小球的机械能E、重力势能Ep(取圆轨道的最低点所在平面为零势能面)和动能Ek的大小关系，可能正确的是( )
A．E＝Ep B．E＝Ep
C．Ek＝Ep D．Ek＝Ep
D [小球能够沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点，说明在最高点时速度大于零，动能大于零，而机械能为重力势能和动能之和，故在最高点时，机械能大于重力势能，故A、B错误；小球能够沿竖直光滑圆轨道内侧运动到最高点，在最高点时，有≥mg，运动到最低点时，有2mgR＋mv2＝Ek0，解得最低点动能Ek0≥mgR，圆轨道的最低点重力势能为零，则2mgR＝Ep，E＝Ek0，则E＝Ek＋Ep≥Ep，Ek≥Ep，故C错误，D正确。]
题组三 多物体机械能守恒问题
5．如图所示，物体A、B质量相同，在倾角为30°的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A在下降h距离时的速度大小为( )
A． B．2
C． D．
A [设物体A在下降h距离时的速度为v，则此时B物体的速度为，由机械能守恒定律得mgh＋mg×h sin 30°＝mv2＋m，解得v＝，A项正确。]
6．如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100 g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m 的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至轻杆与圆环相切的Q点的过程中，轻杆对滑块b做的功。
[解析] (1)当a滑到与O同高度的P点时，a的速度v沿圆环切线方向向下，b的速度为零
由机械能守恒可得magR＝mav2
解得v＝
对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得
F＝＝2mag＝2 N。
(2)轻杆与圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向
设此时b的速度为vb，则知va＝vb cos θ
由几何关系可得cos θ＝＝0.8
球a下降的高度h＝R cos θ
a、b及轻杆组成的系统机械能守恒
magh＝－mav2
对滑块b，由动能定理得W＝＝0.194 4 J。
[答案] (1)2 N (2)0.194 4 J
题组四 用机械能守恒定律解决非质点问题
7．(2024·江苏无锡一模)一根质量为m、长为L的均匀铁链一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，如图(a)所示。若在铁链两端各挂一个质量为的小球，如图(b)所示。若在铁链两端和中央各挂一个质量为的小球，如图(c)所示。由静止释放，当铁链刚离开桌面时，图(a)中铁链的速度为v1，图(b)中铁链的速度为v2，图(c)中铁链的速度为v3(设铁链滑动过程中始终不离开桌面，挡板光滑，小球可看作质点)。下列判断正确的是( )
A．v1＝v2＝v3 B．v1C．v1>v2>v3 D．v1>v3>v2
D [铁链释放之后，到离开桌面，桌面无摩擦，以桌面下方L处为零势能面，则释放前，题图(a)中，系统的重力势能为Ep1＝mgL＋mg·L＝mgL，题图(b)中，Ep2＝＋mg·L＋mg＝mgL，题图(c)中，Ep3＝gL＋mg·L＋mg＝mgL，释放后E′p1＝mg，E′p2＝mgL＋mg＝mgL，E′p3＝mgL＋mgmgL＝mgL，则损失的重力势能，ΔEp1＝mgL，ΔEp2＝mgL，ΔEp3＝mgL，那么ΔEp1＝，ΔEp2＝，ΔEp3＝解得＝＝＝，显然，所以v1>v3>v2，故选D。]
8．(2024·启东吕四中学模拟)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
B [圆环在下滑过程中，弹簧对其做负功，故圆环机械能减小，选项A错误；圆环下滑到最大的距离时，由几何关系可知，圆环下滑的距离为L，圆环的速度为零，由能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加量等于圆环重力势能的减小量，为mgL，选项B正确；圆环下滑过程中，所受合力为零时，加速度为零，速度最大，而下滑至最大距离时，物体速度为零，加速度不为零，选项C错误；在下滑过程中，圆环的机械能与弹簧弹性势能之和保持不变，即系统机械能守恒，选项D错误。]
9．(2024·江苏苏州一模)如图所示，一倾角为37°的光滑斜面和光滑水平面平滑连接，两个质量均为m的小球A、B用长为L的轻质细杆连接固定，现将两球从斜面上由静止释放，释放时A离斜面底端的距离为L，重力加速度为g，两球可视为质点，sin 37°＝0.6。 两球从斜面滑到水平面上虚线位置的过程中，以下说法正确的是( )
A．到虚线位置时A球速度为
B．到虚线位置时B球的速度为
C．细杆对B球不做功
D．细杆对B球做功为－
D [滑到水平面上时，A、B两球的速度相同，根据系统机械能守恒，可得mgL sin 37°＋2mgL sin 37°＝·2mv2，可解得v＝，故A、B错误；以B为研究对象，根据动能定理2mgL sin 37°＋W＝mv2，可解得W＝－mgL，故C错误，D正确。故选D。]
10．(2024·扬州第一中学高三期末)如图所示，半径为R的半圆形管道ACB固定在竖直平面内，倾角为θ的斜面固定在水平面上，细线跨过小滑轮连接小球和物块，细线与斜面平行，物块质量为m，小球质量M＝3m，对物块施加沿斜面向下的力F使其静止在斜面底端，小球恰在A点。撤去力F后，小球由静止下滑。重力加速度为g，sin θ＝≈0.64，不计一切摩擦。求：
(1)力F的大小；
(2)小球运动到最低点C时，速度大小v以及管壁对它弹力的大小N；
(3)在小球从A点运动到C点过程中，细线对物块做的功W。
[解析] (1)对小球，细线上的拉力为T＝3mg
对物块有mg sin θ＋F＝T
解得F＝2.36mg。
(2)小球在C点时速度与物块速度大小相等
对小球和物块组成的系统，由机械能守恒定律可得
3mgR－mgπR sin θ＝(3m＋m)v2
解得v＝
在C点，对小球在竖直方向上受力分析，由牛顿第二定律可得N－3mg＝3m
解得N＝6mg。
(3)在小球从 A 点运动到 C 点过程中，对物块，由动能定理W－mgπR sin θ＝－0
解得W＝mgR。
[答案] (1)2.36mg (2) 6mg (3)mgR
11．(2020·江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
[解析] (1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为v＝2Rω。
(2)小球匀速转动，在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有
＝m
结合(1)可解得杆对球的作用力大小为F＝m。
(3)重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知
Mgh＝＋×4mv2
而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有v1＝Rω
联立各式解得h＝。
[答案] (1)2Rω (2)m (3)
1 / 29
