电场能的性质
一、电势能和电势
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功的多少与路径无关，只与电荷在电场中的始、末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离。
②WAB＝qUAB，适用于任何电场。
(3)静电力做功与电势能变化的关系
①静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。
②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零势能位置过程中静电力所做的功。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
3．电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
4．等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
二、电势差
1．定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。
2．定义式：UAB＝。
3．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。即U＝Ed，也可以写作E＝。
2．公式U＝Ed的适用范围：匀强电场。
3．沿电场方向电势降落得最快。
四、静电平衡
1．定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
2．处于静电平衡状态的导体的特点
(1)导体内部的电场强度处处为零。
(2)导体表面处的电场强度方向与导体表面垂直。
(3)导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。
(4)处于静电平衡的导体是一个等势体，导体表面是等势面。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 (×)
(2)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。 (×)
(3)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。 (×)
(4)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。 (×)
(5)等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 (√)
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 (×)
二、教材习题衍生
1．(电势高低和电势能大小的判断)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒。当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色。下列说法正确的有( )
A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
C [像素呈黑色时，胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A错误；像素呈白色时，胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。故选C。]
2．(电势差与电场强度的关系)如图所示，在E＝500 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于( )
A．5 V B．10 V
C．－5 V D．－10 V
[答案] C
3．(静电平衡)接地导体球壳外固定放置着一个点电荷，a、b为过点电荷与球壳球心连线上的两点，a点在点电荷左侧，b点在点电荷右侧，a、b两点到点电荷的距离相等，a、b两点所在位置的电场线如图所示。下列说法正确的是( )
A．该点电荷带负电
B．a点的电场强度比b点的大
C．a点的电势大于b点的电势
D．导体球壳内的电场强度大于零
C [电场线由正电荷出发，由a、b两点所在位置的电场线方向可知该点电荷带正电，故A错误；电场线分布如图所示
电场线越密，场强越大，所以a点的电场强度比b点的小，故B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，电场线越密电势降低得越快，根据电场线分布情况，可知a点的电势大于b点的电势，故C正确；由静电屏蔽可知，导体球壳内的场强处处为零，故D错误。故选C。]
电势高低和电势能大小的判断
1．电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若UAB>0，则φA>φB；若UAB<0，则φA<φB。
2．电势能大小的判断方法
判断角度 判断方法
做功 判断法 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
电荷 电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值的绝对值越小，电势能越大
能量 守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大
[典例1] (电势高低的判断)(2022·江苏卷)如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O是正方形的中心，将A处的点电荷沿OA方向移至无穷远处，则( )
A．移动过程中，O点电场强度减少
B．移动过程中，C点电荷所受静电力变大
C．移动过程中，移动电荷所受静电力做负功
D．当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点电势
D [O点电场强度是四个点电荷电场强度的叠加，B处和D处两个点电荷在O点的电场强度抵消，C处点电荷在O点的电场强度大小不变，方向由O→A，移动电荷在O点的电场强度不断减小，方向由A→O，则O点电场强度不断增大，故A错误；B处和D处两个点电荷对C点电荷的静电力不变，方向由O→C，移动电荷对C处点电荷的静电力不断减小，方向沿O→C，则C点电荷所受静电力变小，故B错误；移动电荷所受静电力方向由A→∞，则移动电荷所受静电力做正功，故C错误；移动到无穷远处时，在B处和D处两个点电荷的电场中，AO段电场线方向由O→A，O点的电势高于A点电势；在C处点电荷和移动电荷的电场中，AO段电场线方向由O→A，O点的电势高于A点电势，所以合电场中O点的电势高于A点电势，故D正确。故选D。]
[典例2] (电势大小的判断)(2024·北京卷)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP＝QN。下列说法正确的是( )
A．P点电场强度比Q点电场强度大
B．P点电势与Q点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
C [由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误；由沿电场线方向电势越来越低知，P点电势高于Q点电势，B错误；由电场叠加得P点电场强度E＝k＋k，若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，同理Q点电场强度大小也变为原来的2倍，而PQ间距不变，根据U＝Ed定性分析可知，P、Q两点间电势差变大，C正确，D错误。]
【典例2 教用·备选题】 (电势大小的判断)如图所示，一个固定正电荷产生的电场中，同一个正电荷q两次以大小相同、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点、N点，且q在M、N点时速度大小也一样，则下列说法正确的有( )
A．P点电势小于M
B．M点电势小于N
C．q从P到M一直做减速运动
D．M、N两点处电场强度大小相同
D [由题知，同一个正电荷q两次以大小相同、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点、N点，且q在M、N点时速度大小也一样，则说明M、N两点的电势相同，所以场源电荷在MN连线中垂线上且在P点的右边，所以P点电势高于M点电势，故A、B、C错误；根据以上分析可知，M、N两点在同一等势面上，且该电场是固定正电荷产生的电场，则说明M、N到固定正电荷的距离相等，则M、N两点处电场强度大小相同，故D正确。故选D。]
[典例3] (电势、电场力做功、电势能的综合问题)(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的 M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则( )
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
C [根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误；当电场强度满足Eq＝mg时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误；根据动能定理(mg－Eq)R＝，可求出小球到B点时的速度vB，根据a1＝可得小球在B点时的向心加速度，再根据牛顿第二定律mg－Eq＝ma2，可得小球的切向加速度a2，再根据矢量合成可得B点的加速度为a＝，故C正确；小球在D点受到圆环指向圆心的力提供向心力，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。]
【典例3 教用·备选题】 (电势、电场力做功、电势能的综合问题)(2024·常州高三期中)如图所示，ABCD为真空中一正四面体区域，M和N分别为AC边和AD边的中点，A处和C处分别有等量异种点电荷＋Q和－Q。则( )
A．B、D处场强大小相等、方向不同
B．电子在M点的电势能小于在N点的电势能
C．将一正试探电荷从B沿直线BD移动到D电场力做正功
D．将位于C处的电荷－Q移到B处时，M、N点场强大小相等
D [因为是正四面体，所以各变长相等，A处和C处分别有等量异种点电荷，则根据点电荷的场强公式E＝k可知，两点电荷各自在B、D处产生的场强大小相等，但由于电场强度是矢量，其叠加遵循平行四边行法则，根据电场强度的叠加原理可知，两点电荷在B、D处产生的场强大小相等、方向相同，故A错误；根据等量异种点电荷形成的电场的特征可知，两点电荷连线的中垂面为等势面，电势为零，而M点在该等势面上，则可知M点的电势为零，以此中垂面为界限，靠近正电荷电势为正，靠近负电荷电势为负，N点靠近正电荷，则其电势大于零，因此有φN>φM，而带负电的粒子在电势越高的地方电势能越小，由此可知电子在M点的电势能大于在N点的电势能，故B错误；根据正四面体的性质可知，BD在该等量异种点电荷连线的中垂面上，因此B、D两点电势相等，均为零，将一正试探电荷从B沿直线BD移动到D电场力不做功，故C错误；将位于C处的电荷－Q移到B处时，可知M、N两点到正电荷的距离相等，且M、N两点到负电荷的距离也相等，根据点电荷的场强公式以及几何关系可知，两点电荷分别在M、N两点产生的合场强的大小相等，故D正确。故选D。]
电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．两个推论
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
3．三点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ-x图像的斜率判断沿x轴方向电场强度Ex随位置的变化规律。在φ-x图像中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[典例4] (公式E＝的理解与应用)如图所示，水平面内有A、B、C、D、M、N六个点，它们均匀分布在半径为R＝2 cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。已知A、C、M三点的电势分别为φA＝(2－)V、φC＝2 V、φM＝(2＋)V，下列判断正确的是( )
A．电场强度的方向由A指向D
B．电场强度的大小为1 V/m
C．该圆周上的点电势最高为4 V
D．沿圆周将电子从D点经M点移到N点，电场力先做负功后做正功
C [在匀强电场中AM连线的中点G的电势φG＝(φA＋φM)＝2 V ＝φC，所以直线COGN为等势线，在匀强电场中等势线相互平行，电场线与等势线相互垂直，且由电势高的等势线指向电势低的等势线，可知直线AB、直线DM分别为等势线，直线DB、直线MA分别为电场线，可知电场强度的方向由M指向A(或由D指向B)，故A错误；MA两点间的电势差UMA＝φM－φA＝2 V，沿电场方向的距离d＝R＝ m，电场强度E＝＝100 V/m，故B错误；过圆心O作MA的平行线，与圆的交点H处电势最高，UHO＝E·R＝2 V，由UHO＝φH－φO可得最高电势φH＝UHO＋φO＝4 V，故C正确；沿圆周将电子从D点经M点移到N点，电场力先做正功再做负功，故D错误。
]
应用E＝关系的解题思路
[典例5] (利用E＝在非匀强电场中的定性分析)(2024·江苏苏州一模)如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为xB＝0.06 m，若一α粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15 V，下列说法正确的是( )
A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴正方向
B．该α粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C．B点电势是A点电势的2倍
D．图乙中E0应为2.5×102 V·m-1
D [α粒子由A点运动到B点，电场力做功为WAB＝2eUAB＝－60 eV，解得UAB＝－30 V，因为φA＝15 V，所以φB＝45 V，B点电势是A点电势的3倍，因为B点电势高于A点电势，所以电场强度的方向沿x轴负方向，A、C错误；题图乙中电场强度随位移x均匀变化，电场力为变力，所以α粒子沿x轴正方向做加速度增加的减速直线运动，B错误；题图乙中图线与横轴围成的面积为A、B两点间的电势差的大小，则|UAB|＝×0.06 V＝30 V，解得E0＝2.5×102 V·m-1，D正确。]
【典例5 教用·备选题】(利用E＝在非匀强电场中的定性分析)如图所示，在正点电荷Q的电场中，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点处的电势满足φA＝φC，φB＝φD，点电荷Q在A、B、C三点所在平面内，则( )
A．点电荷Q在A、C的连线上
B．点电荷Q在B、D连线的中点处
C．φD>φC
D．将负试探电荷从C点搬运到B点，电场力做负功
C [因φA＝φC，则点电荷Q在A、C连线的垂直平分线上；又φB＝φD，则点电荷Q又在B、D连线的垂直平分线上；如图所示，点电荷Q在A、B的连线上，选项A、B错误；D点距离正点电荷的距离较C点近，可知φD>φC，选项C正确；将负试探电荷从C点搬运到B点，电场力做正功，选项D错误。
]
[典例6] (利用E＝公式在匀强电场中的定量计算)如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为 3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
A [匀强电场的电场线与等势面都是平行、等间距排列的，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势逐渐降低，取OA中点C，则C点电势为3 V，连接BC即为电场中的一条等势线，作等势线的垂线，即电场中的电场线，如图所示，由几何关系可得，E＝＝＝200 V/m。故A正确。
]
电场线、等势面及运动轨迹问题
[典例7] (电场线与运动轨迹的关系)真空中某静电场电场线的分布如图所示，图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ，电势分别为φP、φQ。一个带电粒子仅在电场力作用下沿虚线轨迹从M运动至N。以下选项正确的是( )
A．φP＜φQ
B．EQ＞EP
C．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小
D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小
C [沿电场线方向电势降低，电场线越密电势降低越快，根据电场线的分布情况，可知φP＞φQ，A错误；根据电场线的疏密比较电场强度的大小，可知P点电场线密，电场强度大，EP＞EQ，B错误；根据电场线的特点，可知此电场是由不等量的异种电荷产生的，其中q1带负电，q2带正电，带电粒子从M点运动到N点，轨迹向左弯曲，受到了库仑斥力，所以此带电粒子带负电，电势先降低后升高，所以带电粒子的电势能先变大后变小，C正确，D错误。]
[典例8] (等势面与运动轨迹的关系)如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R点在等势面b上，据此可知( )
A．带电质点动能与电势能之和不变
B．带电质点在P点的电势能比在Q点的小
C．带电质点在R点的加速度方向与等势面不垂直
D．带电质点在P点的加速度比在R点的加速度小
A [此过程只有电场力做功，电势能与动能之和守恒，带电质点的动能与电势能之和不变，A正确；根据轨迹弯曲的方向和电场线与等势线垂直可知负电荷所受的电场力应向下，所以电场线垂直等势面向上，因此Q点的电势高于P点的电势，带负电荷的质点在电势高处电势能小，故质点在P点的电势能比在Q点的大，B错误；带电质点在R点的受力方向沿着电场线的切线方向，电场线与等势面垂直，因此带电质点在R点的加速度方向与等势面垂直，C错误；P处等差等势面较密，所以P处的电场强度大，电场力大，带电质点在P点的加速度比在R点的加速度大，D错误。]
电场中“三线”问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
电场中的四类图像问题
E-x图像
1．E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律。
2．E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
[典例9] (E-x图像)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴正方向运动，则点电荷( )
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
C [由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误；由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，A、B错误。]
【典例9 教用·备选题】 (E-x图像)在x轴上关于原点对称的a、b两点处固定有两个电荷量相等的点电荷，如图E-x图像描绘了x轴上部分区域的电场强度(以x轴正方向为电场强度的正方向)。对于该电场中x轴上关于原点对称的c、d两点，下列结论正确的是( )
A．两点场强相同，c点电势更高
B．两点场强相同，d点电势更高
C．两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势高
D．两点场强不同，两点电势相等，均比O点电势低
A [根据给出的E-x图像可知，a处为正电荷，b处为负电荷，根据点电荷产生的场强E＝及电场的叠加原理可知，c、d两处场强相同，电场方向由c指向d，故c点电势高，选项A正确。]
φ-x图像
1．电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零。
2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3．在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
[典例10] (φ-x图像)(2024·重庆卷)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量为e、带负电的试探电荷经过x2点时的动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受电场力，则其将( )
A．不能通过x3点
B．在x3点两侧往复运动
C．能通过x0点
D．在x1点两侧往复运动
B [在φ-x图像中，图像的斜率表示电场强度，因此在x3处，电场强度为零。假设试探电荷能到达x3，电场力做功W1＝－e(1－2) V＝＋1 eV，根据动能定理W1＝Ek3－Ek2，代入数据解得Ek3＝2.5 eV，假设成立，故A错误；当x>x3，电场强度方向沿x轴正方向，试探电荷所受电场力沿x轴负方向，试探电荷做减速运动至速度为零，再向左做加速运动，重新回到x3处时，动能最大，速度方向沿x轴负方向，在x1x3区域，试探电荷做减速运动至速度为零，再向左做加速运动，即试探电荷在x3点两侧往复运动，故B正确，C、D错误。]
【典例10 教用·备选题】(φ-x图像)在x轴上有两个点电荷q1和q2，其中有一个点电荷位于x＝0处，x轴上的电势φ随x变化的关系如图所示，则( )
A．x＝x1处电场强度为0
B．x＝x2处电场强度不为0
C．q1、q2为不等量异种点电荷，且正电荷在x＝0处，负电荷在x<0的某处
D．q1、q2为等量异种点电荷，且正电荷在x＝0处，负电荷在x>0的某处
C [由φ-x图像的斜率表示电场强度可知，x＝x1处电场强度不为0，x＝x2处电场强度为0，选项A、B错误；在两点电荷连线上出现电场强度为零的点有两种情况，一是同种电荷之间某点，该点两侧电势变化形状基本相同；二是异种电荷连线之外。x＝0处向右电势逐渐降低，说明电场强度方向向右，x＝0处为正电荷，负电荷应该在x<0某处，且负电荷电荷量较大，所以q1、q2为不等量异种点电荷，选项C正确，D错误。]
Ep-x图像
1．反映了电势能随位移变化的规律。
2．图线的切线斜率大小等于电场力大小。
3．进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况。
[典例11] (Ep-x图像)a、b、c是静电场中一直线上的三个点，从a点释放一个初速度为零的电子，电子仅在电场力的作用下，由a点经b点运动到c点，其电势能随该电子位置的变化关系如图所示，则( )
A．该电场可能是孤立的点电荷产生的
B．电子在a点加速度的值小于在b点加速度的值
C．电场中a点的电势大于b点的电势
D．电子从a点到c点的过程中动能先增大后减小
D [若该电场为孤立点电荷产生，则电子的电势能应当单调变化，选项A错误；图线在a点的斜率的绝对值大于b点，故电子在a点受到的电场力和加速度也大于b点，选项B错误；由题图可知，Epa>Epc>Epb，电子带负电，根据电势与电势能关系及能量守恒定律，则有φa<φc<φb，Eka【典例11 教用·备选题】 (Ep-x图像)如图所示，在光滑绝缘的水平面上固定两个等量正点电荷A和B，O点为AB连线的中点，C、D为AB连线上关于O点对称的两个点，且CO＝OD＝L，一带负电的可视为点电荷的小球以初速度v0从C点运动到D点，取无穷远处的电势φ＝0，以C点为坐标原点，向右为x轴的正方向，下列关于电势φ、电场强度E、小球的电势能Ep及动能Ek随小球运动的位移x变化的图像，可能正确的是( )
A B
C D
A [从C点到D点，电场线方向先向右后向左，则电势先降低后升高，且电势都大于零，并关于O点对称。小球带负电，所以小球的电势能先增大后减小，由对称性知小球在C、D两点处的电势能相同，故A正确，C错误；由于小球的电势能先增大后减小，在C、D两点处的电势能相同，由能量守恒定律得知，动能先减小后增大，在C、D两点处的动能相同，故D错误；设AC＝BD＝r，点电荷A和B的电荷量大小为Q，则当位移为x时，场强为E＝k－k，由数学知识得知E与x是非线性关系，图像是曲线，故B错误。故选A。]
v-t图像
1．由v-t图像的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
2．根据牛顿第二定律a＝＝，判断场强E的大小变化。
3．根据v-t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，进而分析场强的方向。
4．进而由场强的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面、电势、电势能的变化等。
[典例12] (v-t图像)一带负电粒子在电场中仅受静电力作用沿x轴正方向做直线运动的v-t图像如图所示，起始点O为坐标原点，下列关于电势φ、粒子的动能Ek、电场强度E、粒子加速度a与位移x的关系图像中可能合理的是( )
A B C D
C [由题中v-t图像可知速度减小，且加速度逐渐减小，电场力做负功，动能逐渐减小，而电场强度E＝＝，所以沿＋x方向电场强度逐渐减小，则电势不是均匀减小，所以A、B、D错误，C正确。]
【典例12 教用·备选题】 (v-t图像)如图甲所示，Q1、Q2为两个被固定的点电荷，a、b是它们连线的延长线上的两点。现有一带正电的粒子只在电场力作用下以一定的初速度从a点开始经b点向远处运动，粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度—时间图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．粒子由a点到b点运动过程中加速度逐渐增大
B．b点的电场强度大于零
C．Q1的电荷量一定小于Q2的电荷量
D．粒子由a点到b点向远处运动过程中，粒子的电势能先增大后减小
D [速度—时间图线上每一点的切线斜率表示瞬时加速度，从题中图像可见粒子由a点到b点运动过程中加速度逐渐减小，故A错误；粒子从a到b做加速度减小的变速运动，在b点时粒子运动的加速度为零，则粒子所受电场力为零，所以b点场强为零，故B错误；由于b点的场强为零，所以有＝，由于r2b课时分层作业(二十一) 电场能的性质
题组一 电势高低和电势能大小的判断
1．如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面。在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点。不计液滴重力。下列说法正确的是( )
A．a点的电势比b点的低
B．a点的电场强度比b点的小
C．液滴在a点的加速度比在b点的小
D．液滴在a点的电势能比在b点的大
D [由于发射极与电源正极相连接，故发射极电势高于吸极电势，故a点电势比b点电势高，A错误；等差等势面的疏密反映电场线的疏密，故a点的电场强度比b点的大，液滴在a点的加速度比b点的大，B、C错误；带电液滴从发射极加速飞向吸极，从a到b静电力做正功，故电势能减小，D正确。]
2．(2024·江苏常州期末)如图所示为静电除尘机原理图，废气先经过一个机械过滤装置再进入静电除尘区，放电极和集尘极加上高压电场，使尘埃带上负电，尘埃在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，达到除尘目的，图中虚线为电场线(方向未标)。不考虑尘埃在迁移过程中的相互作用和电量变化，则( )
A．电场线方向由放电极指向集尘极
B．图中A点电势高于B点电势
C．尘埃在迁移过程中电势能减小
D．尘埃在迁移过程中动能减小
C [由于尘埃带负电，要使尘埃向集尘极迁移，所受的电场力应指向集尘极，所以电场线应由集尘极指向放电极，故A错误；由上述分析可知，电场线从集尘极指向放电极，放电极带负电，由于A点离放电极较近，所以A点电势较低，故B错误；在尘埃迁移过程中电场力做正功，尘埃电势能减小，故C正确；在尘埃迁移过程中由动能定理可知，尘埃动能增大，故D项错误。]
题组二 电势差与电场强度的关系
3．如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，某电场线上有两点M和N，距离为2d。在M和N处分别固定电荷量为＋q和－q的两个点电荷，电荷间作用力不可忽略。下列说法正确的是( )
A．点电荷＋q和－q受到的静电力大小均为qE，方向相反
B．将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力对点电荷＋q做功qEd
C．交换两个点电荷的位置，静电力对两个点电荷做功之和为零
D．将两点电荷沿MN连线移动距离d，保持两个点电荷的距离不变，静电力对两个点电荷做功之和为零
D [点电荷＋q受到的静电力为匀强电场给其向右的电场力qE以及点电荷－q所给其向右的库仑力k，合力为F1＝qE＋k，方向水平向右；点电荷－q受到的静电力为匀强电场给其向左的电场力qE以及点电荷＋q所给其向左的库仑力k，合力为F2＝qE＋k，方向水平向左，故A错误；将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力做功既有电场力对点电荷＋q做功为qEd，又有点电荷－q库仑力对其做正功，故B错误；交换两个点电荷的位置，静电力对点电荷＋q做正功，对点电荷－q也做正功，代数和不为0，故C错误；将两点电荷沿MN连线移动距离d，保持两个点电荷的距离不变，此时库仑力做功相互抵消，电场力对两个点电荷做功相互抵消，故静电力对两个点电荷做功之和为零，故D正确。]
4．(2024·江苏无锡期末)匀强电场中的三点A、B、C是一个直角三角形的三个顶点，AB的长度为2 m，D点为AB的中点，如图所示，已知电场线的方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为10 V、6 V、2 V，设电场强度的大小为E，一电荷量为1×10-6 C的正电荷从D点移到C点，电场力做功为W，则( )
A．W＝6×10-6 J，E>6 V/m
B．W＝－6×10-6 J，E>6 V/m
C．W＝6×10-6 J，E≤6 V/m
D．W＝－6×10-6 J，E≤6 V/m
A [由于D为AB的中点，则D点的电势φD＝＝8 V，正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W＝qUDC＝q(φD－φC)＝6×10-6 J，设AC的中点为E，有φE＝＝6 V，连接BE，BE为等势线，电场强度方向垂直BE，方向斜向下，AB的长度为2 m，由几何关系可知DC的长度为1 m，由于电场强度的方向并不是沿着DC方向，所以D、C两点沿电场方向的距离d1<1 m，匀强电场中两点间的电势差与两点沿电场方向的距离成正比，即U＝Ed，所以E＝>6 V/m，故选A。]
题组三 电场线、等势面及运动轨迹问题
5．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。如图所示，某“静电透镜”区域的等差等势面为图中虚线，其中M、N两点电势φM>φN。现有一正电子束沿垂直虚线AB的方向进入“透镜”电场，仅在静电力的作用下穿过小孔CD。下列说法正确的是( )
A．M点的电场强度小于N点的电场强度
B．正对N点射入“透镜”电场的正电子会经过 N点
C．正对小孔CD中心射入“透镜”电场的正电子不会沿直线穿出小孔
D．该“透镜”电场对垂直虚线AB射入小孔CD的正电子束有发散作用
D [M点处的等势面比N点处等差等势面密集，则M点的电场强度大于N点的电场强度，故A错误；电场线与等势面垂直，则正对N点射入“透镜”电场的正电子受到的静电力的方向不总是指向N点，不会经过N点，故B错误；电场线与等势面垂直，由题图中对称性及力的合成法则可知，正对小孔CD中心射入“透镜”电场的正电子受到的静电力的方向与速度方向始终相同，会沿直线穿出小孔，故C错误；电场线与等势面垂直，根据垂直虚线AB射入小孔CD的正电子束受到的静电力方向和电场线方向一致可知，该“透镜”电场对垂直虚线AB射入小孔CD的正电子束有发散作用，故D正确。]
6．三个带电粒子从同一点O，以相同的初速度v射入一电场中，在某段时间内的运动轨迹如图中虚线所示，其中a粒子刚好做圆周运动。图中实线为电场线，不计粒子重力，则下列有关粒子在该段时间内的运动以及相关说法正确的是( )
A．a粒子带负电，c粒子带正电
B．c粒子运动过程中电势能增加
C．运动过程中，b、c两粒子的速度均增大
D．运动过程中，a粒子的加速度和动能均不变
C [根据曲线运动的特点，可知a粒子所受的静电力方向与电场方向一致，c粒子所受的静电力方向与电场方向相反，因此a粒子带正电，c粒子带负电，故A错误；由题图可知，静电力对c粒子做正功，电势能减少，故B错误；由题图可知，静电力对b、c两粒子做正功，由于只受静电力，则速度增加，故C正确；由于a粒子刚好做圆周运动，根据匀速圆周运动的特点知，a粒子的加速度大小和动能均不变，加速度的方向是变化的，故D错误。]
题组四 电场中的四类图像问题
7．(2024·江苏苏州一模)半径为R、均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场，电场强度大小沿半径分布如图所示。图中E0已知，E-r曲线下O～R部分的面积等于2R～3R部分的面积，A、B为过球心的直线上的两点，离球心的距离分别为2R、3R。下列说法正确的是( )
A．A点的电势低于B点的电势
B．A、B两点的电场强度大小之比是4∶9
C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差
D．电荷量为q的正电荷沿直线从A移到B的过程中电场力做功
D [带正电荷的球体在空间产生的电场方向为向外辐射，即直线上电场方向由A到B，由沿电场方向电势降低可知，A点的电势高于B点的电势，A错误；由于球体带电均匀，因此可等效为相同电荷量的电荷集中在圆心位置产生的电场，由点电荷的电场强度公式E＝k，又rA∶rB＝2∶3，可得EA∶EB＝9∶4，B错误；由U＝Ed，可知E-r曲线与r轴所围面积表示两点间的电势差，可知从球面到A点的电势差大于A、B两点间的电势差，C错误；由E-r曲线下O～R部分的面积等于2R～3R部分的面积，可知球心到R的电势差等于A、B两点间的电势差，其大小为UAB＝RE0，由电场力做功与电势差的关系公式，可得电荷量为q的正电荷沿直线从A移到B的过程中电场力做功WAB＝UABq＝，D正确。]
8．某静电场中x轴上的电势随x坐标变化的图像如图所示，φ-x图像关于φ轴对称，a、b两点到O点的距离相等。将一电荷从x轴上的a点由静止释放后电荷沿x轴运动到b点，运动过程中电荷只受电场力作用，则下列说法正确的是( )
A．该电荷一定带负电
B．电荷在b点时动能为正
C．从O到b，电荷的电势能减小
D．从a到b电场力对电荷先做正功，后做负功
D [题φ-x图像可视为在x轴上关于坐标原点对称的两个等量正点电荷形成的电场在它们连线上电势随x坐标变化的图像，则从a到b电场的方向先向右再向左，所以该电荷一定带正电，选项A错误；由于a、b两点等电势，所以a、b两点电势差为零，由动能定理可知，将一电荷从x轴上的a点由静止释放后沿x轴运动到b点，电荷到b点时动能为零，选项B错误；电荷从O到b，电势升高，电荷的电势能增大，选项C错误；电荷从a到b，电势能先减小后增大，电场力对电荷先做正功，后做负功，选项D正确。]
9．某同学制作了一除尘装置，装置由带正电的圆筒Q和带负电的线状电极P组成。由于制作失误线状电极偏离圆心，形成如图所示的电场线。若A、B两点到P距离相等，A、C两点到Q距离相等，则( )
A．A、B两点电场强度相等
B．A点的电势比B点电势高
C．带负电的粉尘从B点运动到C点静电力做负功
D．带电荷量均为－q的粉尘在A、C两点电势能相等
B [由题图电场线的分布特点可以看出，A点附近电场线密集，B点附近电场线稀疏，所以A点电场强度大于B点电场强度，A错误；由电场线疏密程度可以看出，AP间平均电场强度大于BP间平均电场强度，由U＝Ed知AP间电势差大于BP间电势差，结合电场线方向有UAP>UBP，所以A点电势高于B点电势，B正确；带负电的粉尘从B点运动到C点，静电力与位移同向，都向右，静电力做正功，C错误；由B项中分析可知，A与圆筒间平均电场强度大于C与圆筒间平均电场强度，所以有UQA>UQC，得φA<φC，由电势能决定式Ep＝qφ，知带电荷量均为－q的粉尘在A、C两点电势能不相等，D错误。]
10．(2025·江苏盐城模拟)在电荷量分别为2q和－q的两个点电荷形成的电场中，电场线分布如图所示，在两点电荷连线上有a、b、c三点，且b、c两点到正点电荷距离相等，则下列说法不正确的是( )
A．在两点电荷之间的连线上不存在一处电场强度为零的点
B．将一电子从a点由静止释放，它将在a、b间往复运动
C．c点的电势高于b点的电势
D．负试探电荷在a点具有的电势能比在b点时具有的电势能小
B [电场线是从正电荷出发，终止于负电荷，由电场的叠加原理可知，在两点电荷之间的连线上不存在电场强度为零的点，故A正确；由于ab间的电场强度方向始终由a指向b，所以电子受到向右的电场力，所以在a处由静止释放电子，电子将向右运动，故B错误；正电荷与b点和c点的距离相等，由题图可知，正电荷与b点间的电场线比正电荷与c点间的电场线更密，由公式U＝Ed可知b点电势降落更多，即b点电势比c点电势更低，故C正确；由题图可知，从a点到b点电势越来越低，根据负电荷在电势低处电势能大，所以负试探电荷在a点具有的电势能比在b点时具有的电势能小，故D正确。]
11．如图所示，O点是竖直平面内圆的圆心，A、B、C三点将圆三等分，CD是圆的水平直径，在A、B两点分别固定等量的正点电荷。不计重力，下列说法正确的是( )
A．D、O、C三点的电势大小关系为φD＝φO＝φC
B．一个电子可以在A、B两点电荷的电场中做圆周运动
C．将一个电子从C点静止释放，电子从C点沿直线到D点的过程中所受的电场力一定是先减小后再增大
D．若一电子源从O点以相同的初动能沿圆周平面内向各个方向发射电子，则从D点离开圆周的电子的动能最大
B [D、O与两点电荷的距离相等且小于C点与两点电荷的距离，由电势的叠加可知φD＝φO>φC，故A错误；在A、B两点连线的中垂面内，电子受到的合电场力方向指向A、B两点连线的中点，若给电子适当的初速度，电子可以在A、B两点连线的中垂面内绕AB的中点做匀速圆周运动，故B正确；设A、B两点间距为L，两点电荷的电量均为＋Q，在CD上取某点M，设∠MAB＝θ(0<θ<90°)，A、B两点电荷在M点形成电场的合场强沿OC方向，其大小为EM＝＝sin θcos2θ，由数学知识可知当tanθ＝ 时，EM有最大值。由几何知识可知，当电子在C点时，∠CAB＝60°，当电子在O点时，∠OAB＝30°，因此电子在CO之间的某处受到的电场力达到最大值，而电子运动到A、B两点连线的中点时，受到的电场力为零，然后往左运动时，受到的电场力反向增大。因此，电子从C点沿直线到D点的过程中所受的电场力先增大后减小，然后再增大，故C错误；由题知电子运动过程只有电场力做功，所以带电粒子的动能与电势能之和为一个定值，由于D点不是圆上电势最高的点，因此D点不是电子的电势能最小的点，故电子从D点离开圆时动能不是最大的，故D错误。故选B。]
12．在某个电场中，x轴上各点的电场强度E随x坐标变化的图线如图所示，图线关于原点O中心对称。一质量为m、电荷量为q的粒子只在电场力作用下沿x轴做直线运动，x轴上x＝x1和x＝是粒子运动轨迹上的两点，下列说法正确的是( )
A．x轴上x＝x1和x＝－x1两点电场强度和电势都相同
B．粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中，经过x＝x1和x＝－x1两点时速度一定相同
C．粒子运动过程中，经过x＝x1点的加速度与经过x＝－x1点的加速度相同
D．粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中电势能先增大后减小
B [由E-x图像可知，x＝x1和x＝－x1两点电场强度大小相等、方向相反，故选项A错误；粒子在x＝x1和x＝－x1两点所受电场力大小相等、方向相反，由于粒子只在电场力作用下运动，根据牛顿第二定律可知，粒子在这两点的加速度大小相等、方向相反，故选项C错误；E-x图像中图线与横轴所围的面积表示电势差，且W＝qU，因此粒子由x＝－x1运动到x＝0的过程和由x＝0运动到x＝x1的过程电场力分别做的功满足W1＝－W2，根据动能定理可知，粒子经过x＝x1和x＝－x1两点时速度一定相同，故选项B正确；题中未能说明粒子的电性或运动状态，因此粒子从x＝点到x＝x1点的运动过程中电势能可能先增大后减小，也可能先减小后增大，故选项D错误。]
13．如图(a)所示，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则( )
A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpN
C．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN
A [根据电场线和等势线互相垂直的特点可以大致确定电场线的分布，如图所示。根据电场线的特点，电场线越密集处电场强度越强，所以EM＜EN，电荷在电场中所受的电场力F＝qE，可知对于同一个正试探电荷有FM＜FN，B、D错误；因为沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φM＞φN，电荷在电场中的电势能Ep＝qφ，可知EpM＞EpN，A正确，C错误。
]
14．(2024·1月九省联考甘肃卷改编)用于医学成像的X射线是由电子加速后轰击重金属靶产生的。图(a)中M、N是电子被电场加速过程中一条电场线上的两点。电子在电场力的作用下从M点运动到N点，其运动的v-t图像如图(b)所示，下列说法正确的是( )
A．M点的电场强度小于N点的电场强度
B．M点的电势高于N点的电势
C．电子从M点运动到N点电场力做负功
D．电子在M点的电势能大于N点的电势能
D [根据v-t图像的变化特点可知，从M点运动到N点电荷做加速度减小的加速运动，负电荷在M、N两点的加速度大小关系为aM>aN，负电荷仅受电场力的作用，则qEM＝maM，qEN＝maN，得EM>EN，故A错误；由题图(b)可知负电荷的速度在增大，根据动能定理可知从M点运动到N点电场力对负电荷做了正功，即WMN＝－qUMN>0，则UMN＝φM－φN<0，得φM<φN，故B、C错误；由题图(b)可知负电荷的速度在增大，根据动能定理可知电场力对负电荷做了正功，根据电场力做功与电势能变化的关系W＝－ΔEp，因为电场力做正功，电势能减小，即得ΔEp＝EpM－EpN>0，则EpM>EpN，故D正确。]
1 / 8课时分层作业(二十一) 电场能的性质
说明：选择题每小题4分；本试卷共56分。
题组一 电势高低和电势能大小的判断
1．如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面。在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点。不计液滴重力。下列说法正确的是( )
A．a点的电势比b点的低
B．a点的电场强度比b点的小
C．液滴在a点的加速度比在b点的小
D．液滴在a点的电势能比在b点的大
2．(2024·江苏常州期末)如图所示为静电除尘机原理图，废气先经过一个机械过滤装置再进入静电除尘区，放电极和集尘极加上高压电场，使尘埃带上负电，尘埃在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，达到除尘目的，图中虚线为电场线(方向未标)。不考虑尘埃在迁移过程中的相互作用和电量变化，则( )
A．电场线方向由放电极指向集尘极
B．图中A点电势高于B点电势
C．尘埃在迁移过程中电势能减小
D．尘埃在迁移过程中动能减小
题组二 电势差与电场强度的关系
3．如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，某电场线上有两点M和N，距离为2d。在M和N处分别固定电荷量为＋q和－q的两个点电荷，电荷间作用力不可忽略。下列说法正确的是( )
A．点电荷＋q和－q受到的静电力大小均为qE，方向相反
B．将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力对点电荷＋q做功qEd
C．交换两个点电荷的位置，静电力对两个点电荷做功之和为零
D．将两点电荷沿MN连线移动距离d，保持两个点电荷的距离不变，静电力对两个点电荷做功之和为零
4．(2024·江苏无锡期末)匀强电场中的三点A、B、C是一个直角三角形的三个顶点，AB的长度为2 m，D点为AB的中点，如图所示，已知电场线的方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为10 V、6 V、2 V，设电场强度的大小为E，一电荷量为1×10-6 C的正电荷从D点移到C点，电场力做功为W，则( )
A．W＝6×10-6 J，E>6 V/m
B．W＝－6×10-6 J，E>6 V/m
C．W＝6×10-6 J，E≤6 V/m
D．W＝－6×10-6 J，E≤6 V/m
题组三 电场线、等势面及运动轨迹问题
5．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。如图所示，某“静电透镜”区域的等差等势面为图中虚线，其中M、N两点电势φM>φN。现有一正电子束沿垂直虚线AB的方向进入“透镜”电场，仅在静电力的作用下穿过小孔CD。下列说法正确的是( )
A．M点的电场强度小于N点的电场强度
B．正对N点射入“透镜”电场的正电子会经过 N点
C．正对小孔CD中心射入“透镜”电场的正电子不会沿直线穿出小孔
D．该“透镜”电场对垂直虚线AB射入小孔CD的正电子束有发散作用
6．三个带电粒子从同一点O，以相同的初速度v射入一电场中，在某段时间内的运动轨迹如图中虚线所示，其中a粒子刚好做圆周运动。图中实线为电场线，不计粒子重力，则下列有关粒子在该段时间内的运动以及相关说法正确的是( )
A．a粒子带负电，c粒子带正电
B．c粒子运动过程中电势能增加
C．运动过程中，b、c两粒子的速度均增大
D．运动过程中，a粒子的加速度和动能均不变
题组四 电场中的四类图像问题
7．(2024·江苏苏州一模)半径为R、均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场，电场强度大小沿半径分布如图所示。图中E0已知，E-r曲线下O～R部分的面积等于2R～3R部分的面积，A、B为过球心的直线上的两点，离球心的距离分别为2R、3R。下列说法正确的是( )
A．A点的电势低于B点的电势
B．A、B两点的电场强度大小之比是4∶9
C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差
D．电荷量为q的正电荷沿直线从A移到B的过程中电场力做功
8．某静电场中x轴上的电势随x坐标变化的图像如图所示，φ-x图像关于φ轴对称，a、b两点到O点的距离相等。将一电荷从x轴上的a点由静止释放后电荷沿x轴运动到b点，运动过程中电荷只受电场力作用，则下列说法正确的是( )
A．该电荷一定带负电
B．电荷在b点时动能为正
C．从O到b，电荷的电势能减小
D．从a到b电场力对电荷先做正功，后做负功
9．某同学制作了一除尘装置，装置由带正电的圆筒Q和带负电的线状电极P组成。由于制作失误线状电极偏离圆心，形成如图所示的电场线。若A、B两点到P距离相等，A、C两点到Q距离相等，则( )
A．A、B两点电场强度相等
B．A点的电势比B点电势高
C．带负电的粉尘从B点运动到C点静电力做负功
D．带电荷量均为－q的粉尘在A、C两点电势能相等
10．(2025·江苏盐城模拟)在电荷量分别为2q和－q的两个点电荷形成的电场中，电场线分布如图所示，在两点电荷连线上有a、b、c三点，且b、c两点到正点电荷距离相等，则下列说法不正确的是( )
A．在两点电荷之间的连线上不存在一处电场强度为零的点
B．将一电子从a点由静止释放，它将在a、b间往复运动
C．c点的电势高于b点的电势
D．负试探电荷在a点具有的电势能比在b点时具有的电势能小
11．如图所示，O点是竖直平面内圆的圆心，A、B、C三点将圆三等分，CD是圆的水平直径，在A、B两点分别固定等量的正点电荷。不计重力，下列说法正确的是( )
A．D、O、C三点的电势大小关系为φD＝φO＝φC
B．一个电子可以在A、B两点电荷的电场中做圆周运动
C．将一个电子从C点静止释放，电子从C点沿直线到D点的过程中所受的电场力一定是先减小后再增大
D．若一电子源从O点以相同的初动能沿圆周平面内向各个方向发射电子，则从D点离开圆周的电子的动能最大
12．在某个电场中，x轴上各点的电场强度E随x坐标变化的图线如图所示，图线关于原点O中心对称。一质量为m、电荷量为q的粒子只在电场力作用下沿x轴做直线运动，x轴上x＝x1和x＝是粒子运动轨迹上的两点，下列说法正确的是( )
A．x轴上x＝x1和x＝－x1两点电场强度和电势都相同
B．粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中，经过x＝x1和x＝－x1两点时速度一定相同
C．粒子运动过程中，经过x＝x1点的加速度与经过x＝－x1点的加速度相同
D．粒子从x＝－x1点到x＝x1点的运动过程中电势能先增大后减小
13．如图(a)所示，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则( )
A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpN
C．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN
14．(2024·1月九省联考甘肃卷改编)用于医学成像的X射线是由电子加速后轰击重金属靶产生的。图(a)中M、N是电子被电场加速过程中一条电场线上的两点。电子在电场力的作用下从M点运动到N点，其运动的v-t图像如图(b)所示，下列说法正确的是( )
A．M点的电场强度小于N点的电场强度
B．M点的电势高于N点的电势
C．电子从M点运动到N点电场力做负功
D．电子在M点的电势能大于N点的电势能
1 / 6 电场能的性质
一、电势能和电势
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功的多少与______无关，只与电荷在电场中的始、末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿__________的距离。
②WAB＝qUAB，适用于__________。
(3)静电力做功与电势能变化的关系
①静电力做的功等于电荷电势能的________，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就______多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就______多少。
②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零势能位置过程中静电力所做的功。
2．电势能
(1)定义：电荷在______中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到________位置时电场力所做的功。
(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的________，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
3．电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的________与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝__。
(3)矢标性：电势是______，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比________高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取__________的不同而不同。
4．等势面
(1)定义：电场中______相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与________垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势____的等势面指向电势____的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度______，反之______。
二、电势差
1．定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，____________与移动电荷的电荷量的比值。
2．定义式：UAB＝。
3．电势差与电势的关系：UAB＝________，UAB＝－UBA。
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿________方向的距离的乘积。即U＝Ed，也可以写作E＝。
2．公式U＝Ed的适用范围：__________。
3．沿电场方向电势降落得最快。
四、静电平衡
1．定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生__________，导体处于静电平衡状态。
2．处于静电平衡状态的导体的特点
(1)导体内部的电场强度__________。
(2)导体表面处的电场强度方向与导体表面______。
(3)导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。
(4)处于静电平衡的导体是一个等势体，导体表面是等势面。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 ( )
(2)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。 ( )
(3)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。 ( )
(4)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。 ( )
(5)等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 ( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 ( )
二、教材习题衍生
1．(电势高低和电势能大小的判断)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒。当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色。下列说法正确的有( )
A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
2．(电势差与电场强度的关系)如图所示，在E＝500 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于( )
A．5 V B．10 V
C．－5 V D．－10 V
3．(静电平衡)接地导体球壳外固定放置着一个点电荷，a、b为过点电荷与球壳球心连线上的两点，a点在点电荷左侧，b点在点电荷右侧，a、b两点到点电荷的距离相等，a、b两点所在位置的电场线如图所示。下列说法正确的是( )
A．该点电荷带负电
B．a点的电场强度比b点的大
C．a点的电势大于b点的电势
D．导体球壳内的电场强度大于零
电势高低和电势能大小的判断
1．电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若UAB>0，则φA>φB；若UAB<0，则φA<φB。
2．电势能大小的判断方法
判断角度 判断方法
做功 判断法 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
电荷 电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值的绝对值越小，电势能越大
能量 守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大
[典例1] (电势高低的判断)(2022·江苏卷)如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O是正方形的中心，将A处的点电荷沿OA方向移至无穷远处，则( )
A．移动过程中，O点电场强度减少
B．移动过程中，C点电荷所受静电力变大
C．移动过程中，移动电荷所受静电力做负功
D．当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点电势
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例2] (电势大小的判断)(2024·北京卷)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP＝QN。下列说法正确的是( )
A．P点电场强度比Q点电场强度大
B．P点电势与Q点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例3] (电势、电场力做功、电势能的综合问题)(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的 M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则( )
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．两个推论
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
3．三点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ-x图像的斜率判断沿x轴方向电场强度Ex随位置的变化规律。在φ-x图像中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[典例4] (公式E＝的理解与应用)如图所示，水平面内有A、B、C、D、M、N六个点，它们均匀分布在半径为R＝2 cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。已知A、C、M三点的电势分别为φA＝(2－)V、φC＝2 V、φM＝(2＋)V，下列判断正确的是( )
A．电场强度的方向由A指向D
B．电场强度的大小为1 V/m
C．该圆周上的点电势最高为4 V
D．沿圆周将电子从D点经M点移到N点，电场力先做负功后做正功
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
应用E＝关系的解题思路
[典例5] (利用E＝在非匀强电场中的定性分析)(2024·江苏苏州一模)如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为xB＝0.06 m，若一α粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15 V，下列说法正确的是( )
A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴正方向
B．该α粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动
C．B点电势是A点电势的2倍
D．图乙中E0应为2.5×102 V·m-1
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例6] (利用E＝公式在匀强电场中的定量计算)如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为 3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
电场线、等势面及运动轨迹问题
[典例7] (电场线与运动轨迹的关系)真空中某静电场电场线的分布如图所示，图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ，电势分别为φP、φQ。一个带电粒子仅在电场力作用下沿虚线轨迹从M运动至N。以下选项正确的是( )
A．φP＜φQ
B．EQ＞EP
C．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小
D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[典例8] (等势面与运动轨迹的关系)如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R点在等势面b上，据此可知( )
A．带电质点动能与电势能之和不变
B．带电质点在P点的电势能比在Q点的小
C．带电质点在R点的加速度方向与等势面不垂直
D．带电质点在P点的加速度比在R点的加速度小
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
电场中“三线”问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
电场中的四类图像问题
E-x图像
1．E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律。
2．E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
[典例9] (E-x图像)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴正方向运动，则点电荷( )
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
φ-x图像
1．电场强度的大小等于φ-x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零。
2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3．在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
[典例10] (φ-x图像)(2024·重庆卷)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量为e、带负电的试探电荷经过x2点时的动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受电场力，则其将( )
A．不能通过x3点
B．在x3点两侧往复运动
C．能通过x0点
D．在x1点两侧往复运动
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ep-x图像
1．反映了电势能随位移变化的规律。
2．图线的切线斜率大小等于电场力大小。
3．进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况。
[典例11] (Ep-x图像)a、b、c是静电场中一直线上的三个点，从a点释放一个初速度为零的电子，电子仅在电场力的作用下，由a点经b点运动到c点，其电势能随该电子位置的变化关系如图所示，则( )
A．该电场可能是孤立的点电荷产生的
B．电子在a点加速度的值小于在b点加速度的值
C．电场中a点的电势大于b点的电势
D．电子从a点到c点的过程中动能先增大后减小
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
v-t图像
1．由v-t图像的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
2．根据牛顿第二定律a＝＝，判断场强E的大小变化。
3．根据v-t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，进而分析场强的方向。
4．进而由场强的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面、电势、电势能的变化等。
[典例12] (v-t图像)一带负电粒子在电场中仅受静电力作用沿x轴正方向做直线运动的v-t图像如图所示，起始点O为坐标原点，下列关于电势φ、粒子的动能Ek、电场强度E、粒子加速度a与位移x的关系图像中可能合理的是( )
A B C D
[听课记录]___________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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