机械波
一、机械波的形成与传播
1．机械波的形成条件
(1)有发生机械振动的波源。
(2)有传播介质，如空气、水、绳子等。
2．传播特点
(1)传播振动形式、能量和信息。
(2)质点不随波迁移。
(3)介质中各质点振动频率、振幅、起振方向等都与波源相同。
3．机械波的分类
分类 质点振动方向和波的传播方向的关系 形状 举例
横波 垂直 凹凸相间；有波峰、波谷 绳波等
纵波 在同一条直线上 疏密相间；有密部、疏部 弹簧波、声波等
二、描述机械波的物理量
1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，用“λ”表示。
2．频率f：在波动中，介质中各质点的振动频率都是相同的，都等于波源的振动频率。
3．波速：波的传播速度，由介质决定。
4．波速公式：v＝fλ＝或v＝。
三、机械波的图像
1．坐标轴
x轴：各质点平衡位置的连线。
y轴：沿质点振动方向，表示质点的位移。
2．物理意义：表示介质中各质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移。
3．图像形状：简谐波的图像是正弦(或余弦)曲线，如图所示。
四、波的衍射
1．定义：波可以绕过障碍物继续传播的现象。
2．发生明显衍射的条件：只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者小于波长时，才会发生明显的衍射现象。
五、波的干涉
1．波的叠加原理：几列波相遇时能够保持各自的运动特征，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉
(1)定义：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动加强、某些区域的振动减弱，这种现象叫波的干涉。
(2)条件：两列波的频率相同、相位差恒定、振动方向相同。
3．干涉和衍射是波特有的现象，波同时还可以发生反射、折射。
六、多普勒效应
1．定义：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感受到波的频率发生变化的现象。
2．实质：波源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。
3．规律
(1)波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大。
(2)波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小。
(3)波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在机械波的传播过程中，各质点随波的传播而迁移。 (×)
(2)机械波的频率等于振源的振动频率。 (√)
(3)通过波的图像可以找出任一质点在任意时刻的位移。 (×)
(4)机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。 (√)
(5)两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。 (×)
(6)一切波都能发生衍射现象。 (√)
(7)多普勒效应说明波源的频率发生变化。 (×)
二、教材习题衍生
1．(波的形成和传播)如图所示，小鸭A(视为质点)在平静的河内戏水，在水面上形成一列稳定的水波，B为岸边飘落的树叶，已知水波的传播速度与水的深度成正比，下列说法正确的是( )
A．树叶B会被水波推向岸边
B．小鸭A的振动周期大于树叶B的振动周期
C．在深水区，水波的频率变大
D．在深水区，水波更容易发生衍射现象
D [水面上的树叶只会上下振动，不能随波迁移，不会被水波推向岸边，选项A错误；水波传播过程中，各个质点与波源的振动频率和周期均相等，选项B、C错误；根据公式λ＝，结合波的传播速度与水的深度成正比的条件可知，深水区的水波速度更大，波长更长，更容易发生衍射现象，选项D正确。]
2．(波的图像)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t＝0时的波形如图所示。t＝1 s时，x＝1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为( )
A．0 B．0.1 m
C．－0.1 m D．0.2 m
B [由题图可知简谐波的波长为λ＝2 m，所以周期为T＝＝＝2 s，当t＝1 s时，x＝1.5 m处的质点运动半个周期到达波峰处，故相对平衡位置的位移为0.1 m。故选B。]
3．(波的干涉、衍射和多普勒效应)下列说法正确的是( )
A．当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大
B．当波遇到障碍物时，一定会发生明显的衍射现象
C．当两列波发生干涉时，振动加强点的位移始终最大
D．当波源的频率发生变化时，就会发生多普勒效应
A [当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大，A正确；只有当缝、孔或障碍物的尺寸跟波长相差不多或比波长更小时，才能发生明显的衍射现象，B错误；在干涉现象中，振动加强点的位移可以最大，也可以最小，即为零，C错误；多普勒效应是指观察者与波源有相对运动时，接收到的波频率会发生变化，但波源的频率不变，D错误。]
波的形成与传播
波的传播方向与质点的振动方向的判断方法
内容 图像
上下坡法 沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动
同侧法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定
[典例1] (波的传播规律的应用)(2024·江苏卷)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA＝2AB，t＝0时刻在水面上的O点给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B振动的时刻为( )
A．t1 B． C．2t1 D．
B [机械波的波速v不变，设OA＝2AB＝2L，故可得t1＝，可得tAB＝＝t1，故可得B振动的时刻为t＝t1＋tAB＝t1，故选B。]
【典例1 教用·备选题】 (波的传播规律的应用)如图，静止水面同一直线上的A、S、B为三个质点的平衡位置，它们的间距为AS＝SB＝3a。一滴水落在S处，形成一列向四周传播的水波(可视为简谐波)，当水波的同一波峰经过A、B处时，S处的质点刚好经过平衡位置，且S、A(或B)之间只有一个波谷。已知波的周期为T，则( )
A．A、B两处质点的起振方向相反
B．此时S处质点向下振动
C．水波的波长为6a
D．水波的速度为
D [A、B两处质点的起振方向相同，均与S点起振方向相同，选项A错误；由题意可知，此时S处质点正处于平衡位置向上振动，选项B错误；由题意可知3a＝λ，可得水波的波长为λ＝4a，选项C错误；水波的速度为v＝＝，选项D正确。]
[典例2] (根据两个时刻的波的图像分析有关问题)(2025·江苏苏州模拟)一列绳波在水平方向上传播，现对其频闪照相，拍摄频率为 5 Hz。 在同一底片上多次曝光后形成照片如图所示，照片与实物比例为1∶100。照片中A、B、C、D四点为同一水平线上的四点，且AB＝BC＝CD＝2 cm。 以下说法正确的是( )
A．该绳波波长一定为8 m
B．该绳波波速可能为40 m/s
C．质点A一定向左运动
D．质点A一定向右运动
A [波长为AB中点到CD中点长度的2倍，λ＝2×100×4 cm＝8 m，故A正确；根据题意知nT＋＝(n＝0，1，2，…)，波速为v＝＝20(2n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝20 m/s，当n＝1时，v＝60 m/s ，故B错误；质点A振动方向与水平传播方向垂直，故C、D错误。]
[典例3] (根据波的图像、波的传播方向判定质点的振动方向)(2024·湖南卷)如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是( )
A．波长为3 m
B．波速为12 m/s
C．t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D．t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
D [由题意可知xAB＝λ，则该波的波长为λ＝4 m，A错误；根据题意可知该波的周期T＝1 s，结合A项分析可得该波的波速为v＝＝4 m/s，B错误；由于t0时刻A点、B点分别位于波谷、波峰位置，则t0时刻A点、B点的速度均为0，从t0时刻到t0＋ 0.25 s时刻，B点振动了个周期，运动至平衡位置，速度最大，C错误；从t0时刻到t0＋0.5 s时刻，A点振动了个周期，运动至波峰位置，速度为0，D正确。]
【典例3 教用·备选题】 (根据波的图像、波的传播方向判定质点的振动方向)(2024·海州高级中学检测)一列简谐横波沿x轴正方向传播，波长为λ，某时刻的波形如图所示，关于质点P的说法正确的是( )
A．该时刻速度沿y轴正方向
B．该时刻加速度沿y轴正方向
C．此后周期内通过的路程为A
D．此后周期内沿x轴正方向迁移λ
A [简谐横波沿x轴正方向传播，根据“微平移法”可知P在该时刻速度沿y轴正方向，故A正确；根据a＝－可知该时刻质点P的加速度沿y轴负方向，故B错误；P不在平衡位置、波峰、波谷处，所以此后周期内通过的路程不为A，故C错误；振动质点不会随波迁移，只能在平衡位置两侧做往复振动，故D错误。]
机械波的传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)质点经过一个周期T完成一次全振动，振动形式恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝＝λf。
波的图像和振动图像的理解及应用
两种图像的比较
图像类型 振动图像 波的图像
图像特点
物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点位移 (4)各时刻质点速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
一段完整曲线占横坐标距离 表示一个周期 表示一个波长
[典例4] (波的图像和振动图像的理解及应用)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点。图乙是质点Q的振动图像。求：
(1)波速及波的传播方向；
(2)质点Q的平衡位置的x坐标。
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)根据波的图像读出波长，根据振动图像读出周期，进而根据v＝计算波速。
(2)根据同侧法、微平移法等判断波的传播方向或质点的振动方向。
(3)根据振动图像写出质点振动的一般方程y＝A sin ωt，判断质点的位置。
[解析] (1)由题图甲可以看出，该波的波长为
λ＝36 cm ①
由题图乙可以看出，周期为T＝2 s ②
波速为v＝＝0.18 m/s ③
由题图乙知，当t＝ s时，Q点向上运动，结合题图甲可得，波沿x轴负方向传播。
(2)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。由题图甲知，x＝0处y＝－＝A sin (－30°)，因此
xP＝λ＝3 cm ④
由题图乙知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝ s，其振动状态沿x轴负方向传播至P点处，由此及③式有
xQ－xP＝vΔt＝6 cm ⑤
由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为
xQ＝9 cm。 ⑥
[答案] (1)0.18 m/s 波沿x轴负方向传播
(2)9 cm
“一分、一看、二找”巧解波的图像与振动图像综合类问题
【典例4 教用·备选题】 (波的图像和振动图像的理解及应用)一列简谐横波沿x轴传播，图(a)是t＝0时刻的波形图；P是介质中位于x＝2 m 处的质点，其振动图像如图(b)所示。下列说法不正确的是( )
A．波速为2 m/s
B．波向左传播
C．x＝3 m处的质点在t＝7 s时位于平衡位置
D．质点P在0～7 s时间内运动的路程为70 cm
C [由题图(a)可知波长为4 m，由题图(b)可知波的周期为2 s，则波速为v＝＝ m/s＝2 m/s，故A正确；由题图(b)可知t＝0时，P点向下运动，根据“上下坡法”可知波向左传播，故B正确；根据题图(a)可知t＝0时x＝3 m处的质点位于波谷处，由于7 s＝3T＋T，可知在t＝7 s时质点位于波峰处，故C错误；质点P在0～7 s时间内运动的路程为s＝3×4A＋×4A＝70 cm，故D正确。]
波的多解性
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
波的双向性形成多解
1．传播方向双向性：波的传播方向不确定。
2．振动方向双向性：质点振动方向不确定。
[典例5] (波的双向性形成多解)如图所示是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s 时刻的波形图。
(1)若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
(2)若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期；
(3)若波速是25 m/s，求t＝0时刻P点的运动方向。
思路点拨：解此题按以下思路：
(1)知道两个时刻波的图像，根据周期性，得出波传播距离的通项关系式。
(2)根据波的传播方向和波形得出传播时间的通项关系式。
(3)再由v＝求出波速的通项关系式。
[解析] (1)由题图知该波的波长为λ＝4 m
波沿x轴负方向传播时，传播的可能距离为Δx＝λ＝(4n＋3) m(n＝0，1，2，…)
传播的速度为
v＝＝(20n＋15) m/s(n＝0，1，2，…)。
(2)波沿x轴正方向传播，传播的时间与周期关系为
Δt＝T(n＝0，1，2，…)
得T＝＝ s(n＝0，1，2，…)
当n＝0时周期最大，即最大周期为0.8 s。
(3)波在0.2 s内传播的距离为
Δx＝vΔt＝25×0.2 m＝5 m
传播的波长数为＝1，可见波形图平移了λ的距离，由题图知波沿x轴正方向传播，所以P点在t＝0时刻沿y轴负方向运动。
[答案] (1)(20n＋15) m/s(n＝0，1，2，…) (2)0.8 s (3)沿y轴负方向
波的周期性形成多解
1．时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
2．空间的周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
[典例6] (波的周期性形成多解)有两列简谐横波a、b在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播。两列波在t＝0时刻的波形曲线如图所示，已知a波的周期Ta＝0.5 s。求：
(1)两列波的传播速度；
(2)从t＝0时刻开始，最短经过多长时间x＝0.5 m的质点偏离平衡位置的位移为0.16 m
[解析] (1)由题图可知a、b两列波的波长分别为λa＝2.5 m ，λb＝4.0 m，两列波在同种介质中的传播速度相同，都为v＝＝5 m/s。
(2)a波的波峰传播到x＝0.5 m的质点经历的时间为ta＝＝
b波的波峰传播到x＝0.5 m的质点经历的时间为
tb＝＝
又ta＝tb＝t
联立解得5m－8n＝3 (式中m、n均为正整数)
分析知，当m＝7 ，n＝4 时，x＝0.5 m的质点偏离平衡位置的位移为0.16 m，经过时间最短
将m＝7代入t＝＝
解得t＝3.6 s。
[答案] (1)见解析 (2)3.6 s
波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点的振动情况，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种可能情况，形成波动问题的多解。
[典例7] (波形的隐含性形成多解)(2024·无锡模拟)如图所示，实线和虚线分别是沿x轴负方向传播的一列简谐横波在t1＝0和t2＝0.6 s 时刻的波形图。则该波( )
A．传播的速度大小可能为25 m/s
B．周期可能为1.0 s
C．在t1到t2时间内，x＝2 m的质点通过的位移可能为1 m
D．在t1到t2时间内，x＝2 m的质点通过的路程可能为50 cm
A [波沿x轴负方向传播，根据波的周期性可得T＝0.6 s(n＝0，1，2，…)，则T＝ s(n＝0，1，2，…)，可知当n＝0时，周期最大为Tmax＝0.8 s，波速为v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝3时，v＝25 m/s，故A正确，B错误；在t1到t2时间内，x＝2 m的质点通过的位移最大为 5 cm，不可能是1 m，故C错误；在t1到t2时间内，x＝2 m的质点通过的路程为s＝3A＋4nA＝(15＋20n) cm(n＝0，1，2，…)，不可能为50 cm，故D错误。]
解答波的多解问题的方法
(1)假设波向x轴正方向或负方向传播。
(2)由题目提供的波形变化等条件列出传播距离或传播时间与波长、周期等相关的通式。
(3)根据v＝、v＝λf或v＝求出速度或其他未知量的关系通式。
(4)分析题目中有没有其他限制条件，判断通过关系通式得到的多解能否变为有限个解或唯一解。
波的干涉、衍射和多普勒效应
[典例8] (波的衍射)(2024·南京模拟)如图所示，挡板M固定，挡板N可以上下移动，现在把M、N两块挡板中的空隙当作一个“小孔”做水波的衍射实验，出现了图示中的图样，P点的水没有振动起来。为使挡板左边的振动传到P点，可以采用的办法是( )
A．挡板N向下平移一段距离
B．增大波源振动频率
C．挡板M和N向右移动一段距离
D．波源向左匀速移动
D [P点的水没有振动起来，说明P点波没有明显衍射过去，原因是MN间的缝太宽或波长太小，因此若使P点的水振动起来，可采用N板上移减小“小孔”的宽度，也可以增大水波的波长，即减小振源的频率，故A、B、C错误；波源向左匀速移动时，根据多普勒效应可知M、N两块挡板中的空隙接收到的水波的频率减小，水波波长增大，可以使P点的水振动起来，故D正确。]
[典例9] (波的干涉)(2024·浙江6月选考)频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m。t＝0时S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则( )
A．两列波的波长为2 m
B．两列波的起振方向均沿x正方向
C．S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D．两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
B [根据题图可知t＝4 s时M点开始向上振动，故此时一列波传播到M点，起振方向向上，t＝7 s时波形开始改变，说明另一列波传播到M点，此时两列波平衡位置都传到M点，第一列波使M点向下振动，之后振幅减小，则此时M点振动减弱，可知第二列波使M点向上振动。S1、S2到M的距离之差为6 m，由题图可知两列波传到M点的时间差为 3 s，根据v＝可得波速为v＝ m/s＝2 m/s，故波长为λ＝vT＝4 m，故A错误；根据前面分析可知两列波刚传到M点时均使M点向上振动，故两列波的起振方向均沿x正方向，故B正确；两列波频率相同、相位差恒定、振动方向相同，在平面内能产生干涉现象，故C错误；由t＝4.5 s和t＝7.5 s时的位移知，第一列波的振幅为3 cm，第二列波的振幅为A2＝3 cm－1 cm＝2 cm，故D错误。故选B。]
【典例9 教用·备选题】 (波的干涉)(2024·江苏南菁高级中学高三期中)如图表示两个相干波源S1、S2产生的波在同一种均匀介质中相遇。图中实线表示某时刻的波峰，虚线表示的是波谷，下列说法正确的是( )
A．a、c两点的振动加强，b、d两点的振动减弱
B．a点位移始终处于最大位置
C．经适当的时间后，加强点和减弱点的位置互换
D．经个周期后，原来位于波峰的点将位于波谷，原来位于波谷的点将位于波峰
A [由题图可知，a点是波谷与波谷相遇，c点是波峰与波峰相遇，而b、d点是波峰与波谷相遇，当波峰与波峰相遇或波谷与波谷相遇时振动加强，当波峰与波谷相遇时振动减弱，故A正确；a点为振动加强点，但并不是始终处于最大位移处，而是在平衡位置附近振动，故B错误；振动加强点和减弱点位置是固定不变的，故C错误；由波动过程可知，经半个周期后，原来位于波峰的点将位于波谷，原来位于波谷的点将位于波峰，故D错误。]
[典例10] (波的干涉的应用)(2025·南通模拟)甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向传播，两列波在t＝0时的部分波形曲线如图所示，已知甲波的波速为2.5 cm/s，则( )
A．x轴上振动加强和减弱的质点的位置是固定的
B．t＝0时，x＝0处的质点向y轴正方向运动
C．t＝0时，x＝－25 cm处的质点偏离平衡位置的位移为8 cm
D．t＝0.1 s时，x＝2.5 cm处的质点的位移为 －8 cm
C [由题图可知，甲波的波长为5 cm，乙波的波长为 6 cm，由于波速相同，所以两列波的频率不同，即两列波是非相干波，不会产生稳定的干涉图样，故A错误；由题图可知，t＝0时，甲波使x＝0处的质点到达正向最大位移处，乙波使该质点向平衡位置处振动，根据波的叠加原理可知，此质点向y轴负方向运动，故B错误；根据空间周期性可知，t＝0时，甲波在x＝－25 cm处波形与x＝0处的波形相同，乙波在x＝－25 cm 处波形与x＝－1 cm处的波形相同，即两列波在x＝－25 cm处均为峰值，所以x＝－25 cm处的质点偏离平衡位置的位移为8 cm，故C正确；由波的叠加原理可知，当两列波的波谷同时到达x＝2.5 cm处，该质点的位移才能为－8 cm，根据平移法可知t＝0.1 s时，甲波在x＝2.5 cm处不是波谷，故该质点的位移不是－8 cm，故D错误。]
[典例11] (多普勒效应)(2024·扬州中学高三模拟)如图所示，静止的雷达测速仪a发射频率为f0的超声波，该超声波被迎面驶来的汽车b反射后，又被a接收到，则( )
A．a接收到b的反射波频率等于f0
B．a的发射波与b的反射波相遇会发生干涉
C．反射波在空气中的传播速度与b运动速度有关
D．a根据接收到的反射波的频率可确定b的速度
D [多普勒效应是指波源或观察者发生移动而使两者间的位置发生变化，使观察者收到的频率发生变化的现象。当声源和观察者靠近时，频率会变大，所以a接收到b的反射波频率大于f0，由于频率发生变化，a的发射波与b的反射波相遇不会发生干涉，故A、B错误；同一介质中波的传播速度相等，故C错误；设a接收到的反射波的频率为f′，a的发射波的频率为f0，波在空气中的速度为v，车的速度为v0，由f′＝f0可知，a根据接收到的反射波的频率可确定b的速度，故D正确。]
1．波的干涉现象中加强点、减弱点的两种判断方法：
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)图像法：在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝，因而单位时间内通过观察者的完全波的个数，即接收频率。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小；波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。
课时分层作业(三十六) 机械波
题组一 波的形成与传播
1．在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a。t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝T时的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝T时，质点P4的速度最大
C．t＝T 时，质点 P3和 P5相位相同
D．该列绳波的波速为
D [由t＝T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据上下坡法，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源的起振方向也沿y轴正方向，故t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，故A错误；由题图可知，在t＝T时，质点P4处于正的最大位移处，故速度为零，故B错误；由题图可知，在t＝T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，故C错误；由题图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝＝，故D正确。]
2．手持软长绳的一端O点，在竖直平面内连续向上、向下抖动软绳(可视为简谐运动)，带动绳上的其他质点振动形成沿绳水平传播的简谐波，P、Q为绳上的两点。t＝0时O点由平衡位置开始振动，至t1时刻恰好完成次全振动，绳上OQ间形成如图所示的波形(Q点之后未画出)，则( )
A．t1时刻之前Q点始终静止
B．t1时刻P点刚好完成一次全振动
C．t＝0时O点运动方向向上
D．若手上下振动加快，该波的波长将变大
B [由题意可知该简谐波的周期为T＝＝，由题图可知质点P的平衡位置到波源平衡位置的距离为四分之三个波长，质点Q的平衡位置到波源平衡位置的距离为四分之五个波长，所以质点P、Q起振的时刻分别为tP＝T＝t1，tQ＝T＝t1，所以t1时刻前Q点已经开始振动，且t1时刻P点刚好完成一次全振动，故A错误，B正确；由题图及上面分析可知P点的起振方向为向下，由于绳子上所有质点的起振方向都和波源的起振方向相同，所以t＝0时O点运动方向向下，故C错误；手上下振动加快后，简谐波的频率增大，但波速不变，所以波长变小，故D错误。故选B。]
题组二 波的图像和振动图像的理解及应用
3．(2025·南京模拟)图(a)表示一列简谐横波沿直线传播，图(b)画出了两质点A、B的振动图像，已知A、B平衡位置之间的距离为四分之一波长，波的传播方向为B→A。可以表示质点A的振动图线的是( )
A．只有第1条曲线
B．只有第2条曲线
C．两条曲线中的任意一条都可以
D．两条曲线都不可以
A [A、B平衡位置之间的距离为四分之一波长，根据振动图像可知，在t＝0时刻两质点分别位于平衡位置与波峰，作出可能的波形如图甲、乙所示。
波的传播方向为B→A，若为图甲，根据同侧法可知，质点B沿y轴向下运动，与题图(b)一致，此时质点A的振动图线是第1条曲线，若为图乙，根据同侧法可知，质点A沿y轴向上运动，与题图(b)不一致，即质点A的振动图线只能是第1条曲线。故选A。]
4．图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，a、b两质点的横坐标分别为xa＝2 m和xb＝6 m，图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确的是( )
A．该波沿＋x方向传播，波速为1 m/s
B．质点b经8 s振动的路程为2 m
C．此时刻质点a的速度沿＋y方向
D．质点a在t＝2 s时速度最大
B [由题图乙可知，质点b在平衡位置向上振动，结合题图甲可知，波沿x轴负方向传播，故A错误；由题图乙可知，周期T＝8 s，振幅A＝0.5 m，故质点b经8 s＝T振动的路程为4A＝2 m，故B正确；波沿x轴负方向传播，故题图甲所示时刻质点a沿－y方向向下振动，故C错误；题图甲所示时刻质点a在平衡位置，t＝2 s＝T时刻质点a到达最低点，速度为零，故D错误。]
题组三 波的多解性
5．(2024·江苏徐州一模)一列简谐横波沿x轴正向传播，振幅为4 cm，周期为T＝6 s。已知在t＝0时刻，质点a坐标为(5 cm，－2 cm)，沿y轴正向运动，质点b坐标为(15 cm，2 cm)，沿y轴负向运动，如图所示。下列说法正确的是( )
A．a、b两质点可以同时在波峰
B．该列简谐横波波长可能为10 cm
C．在t＝0.5 s时，质点a的位移为0
D．当质点b在波谷时，质点a不一定在波峰
C [质点a、b振动刚好相反，故两质点振动总是相反，那么两质点中一个在波峰时，另一质点必在波谷，故A、D错误；根据两质点振动总是相反可得两质点平衡位置间的距离10 cm＝λ，(n＝0，1，2，…)，故波长λ＝ cm，(n＝0，1，2，…)，那么波长不可能为10 cm，故B错误；根据质点a的振动和周期可得质点a的振动方程为y＝A sin (ωt＋φ0)＝4sin cm，当t＝0.5 s时，则有y＝0，即当t＝0.5 s时，质点a的位移为0，故C正确。故选C。]
6．(2024·江苏七市高三第三次调研测试)两列简谐横波P、Q在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P、Q两列波在t＝0时刻的波形分别如图甲中实线、虚线所示，x＝1.5L处质点的振动图像如图乙所示。简谐波P的周期为TP，图中A1、A2已知，T0未知。求：
(1)两列波在介质中的传播速度v及简谐波Q的周期TQ；
(2)求T0及x＝1.5L处质点从t＝0时刻到T0时间内通过的路程s。
[解析] (1)由题图甲可知简谐波P、Q的波长
λP＝L，λQ＝2L
根据v＝，解得v＝
波在同种介质中传播速度相等，则v＝
解得TQ＝2TP。
(2)t＝0时刻起到x＝1.5L处质点再次出现波谷与波谷叠加经历的时间为T0，则
vT0＝n1λP＝n2λQ
当n1＝2，n2＝1时，对应时间T0，则T0＝2TP
由题图乙可知，路程s＝2×2A1＋4A2＝4A1＋4A2。
[答案] (1) 2TP (2)2TP 4A1＋4A2
题组四 波的干涉、衍射和多普勒效应
7．(2024·江西卷)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是( )
A．振动减弱；d＝4.725 mm
B．振动加强；d＝4.725 mm
C．振动减弱；d＝9.45 mm
D．振动加强；d＝9.45 mm
A [根据反射信号图像可知，超声波的传播周期T＝2×10-7 s，又波速v＝6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ＝vT＝1.26×10-3 m，结合题图(b)和题图(c)可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10-6 s，故两个反射信号的路程差2d＝vΔt＝9.45×10-3 m＝λ，解得d＝4.725×10-3 m，且两个反射信号在探头处振动减弱，A正确。]
8．下列选项与多普勒效应有关的是( )
A．科学家用激光测量月球与地球间的距离
B．外科医生对结石病人的超声排石
C．技术人员用超声波探测金属、陶瓷、混凝土中是否有气泡
D．交通警察向车辆发射超声波并通过测量反射波的频率确定车辆行进的速度
D [选项A中科学家用激光测量月球与地球间的距离是利用了波的反射原理，故选项A错误；选项B是利用超声波能传递能量的特点，故选项B错误；选项C利用了超声波波长短，穿透能力强的特点，故选项C错误；选项D利用了超声波的多普勒效应，故选项D正确。]
9．(2024·南京师大附中模拟)图甲为超声波悬浮仪，上方圆柱体发出超声波，下方圆柱体将接收到的超声波信号反射回去。两列超声波信号叠加后，会出现振幅几乎为零的点——节点，小水珠能在节点附近保持悬浮状态，图乙为某时刻两列超声波的波形图，P、Q为波源，点M(－1.5，0)、点N(0.5，0)分别为两列波的波前，已知声波传播的速度为340 m/s。则下列说法正确的是( )
A．该超声波悬浮仪所发出的超声波信号频率为340 Hz
B．小水珠悬浮时，受到的声波压力为零
C．两列波充分叠加后，小水珠不可以悬浮在点M(－1.5，0)附近
D．经过t＝1×10-4 s，点M沿x轴正方向移动 3.4 cm
C [由题图可知，超声波波长为1 cm，而声波的传播速度为340 m/s，所以超声波信号频率为f＝＝ Hz＝34 000 Hz，故A错误；小水珠悬浮时，受到的声波压力与重力平衡，所以声波压力竖直向上，故B错误；由于P、Q为两个波源，可知波源振动步调相反，M点与两个波源的波程差为 2.5 cm，即2.5个波长，为振动加强点，不是节点，小水珠不能悬浮在此处，故C正确；介质中的各质点在平衡位置附近振动，而不会随波迁移，故D错误。]
10．某横波在介质中沿x轴传播，左图为t＝0.25 s时的波形图，右图为P点(x＝1.5 m处的质点)的振动图像，那么下列说法不正确的是( )
A．该波向右传播，波速为2 m/s
B．质点L与质点N的运动方向总相反
C．t＝0.75 s时，质点M处于平衡位置，并正在往正方向运动
D．t＝1.25 s时，质点K向右运动了2 m
D [从振动图像可知，在t＝0.25 s时，P点振动方向向上，所以波向右传播，由题图知λ＝4 m，T＝2 s，则波速v＝＝ m/s＝2 m/s，故A正确，不符合题意；由波形图可知，质点L与质点N平衡间距为半个波长，因此振动情况总是相反，则运动方向总是相反，故B正确，不符合题意；题中左图为t＝0.25 s时的波形图，再经过t′＝0.5 s＝T，即当t＝0.75 s时，质点M处于平衡位置，并正在往正方向运动，故C正确，不符合题意；质点K在平衡位置来回振动，并不随着波迁移，故D错误，符合题意。本题选不正确的，故选D。]
11．一列波长大于1 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x1＝1 m和x2＝2 m的两质点A、B的振动图像如图所示。由此可知( )
A．波长为 m
B．波速为1 m/s
C．3 s末A、B两质点的位移相同
D．1 s末A质点的振动速度大于B质点的振动速度
A [波从A向B传播，A、B间的距离Δx＝λ(n＝0，1，2，…)，由题可知波长大于1 m，则n只能取0，即有Δx＝λ，波长λ＝ m，波速为v＝＝ m/s，故A正确，B错误；3 s末A、B两质点的位移分别为yA＝－2 cm，yB＝0，位移不同，故C错误；由振动图像读出，1 s末A质点的位移y′A＝2 cm，处于波峰，速度最小，B质点的位移y′B＝0，处于平衡位置，速度最大，所以1 s末A质点的速度小于B质点的速度，故D错误。]
12．(2024·江苏泰州一模)如图所示，波源O1、O2以相同频率垂直纸面振动，激发出横波在纸面内沿着各个方向传播，A、B、C三点在O1、O2连线的中垂线上，t＝0时刻O1、O2同时沿相同方向开始振动，经过4 s的时间，与O1相距8 m的A点开始振动，此后A点每分钟上下振动20次，且当A位于波峰时，B点同时位于离A点最近的波谷，O1、C相距20 m。则下列说法正确的是( )
A．波源O1激发的横波波速为 m/s
B．波源O2激发的横波波长为8 m
C．O1与B之间的距离为11 m
D．振动稳定后A、C两点间共有5个振动加强点(含A、C两点)
C [波的传播速度v＝＝＝2 m/s，由题意得，振动的周期T＝＝3 s，波长λ＝vT＝6 m，故A、B错误；当A位于波峰时，B点同时位于离A点最近的波谷，所以O1与B之间的距离sB＝sA＋＝11 m，故C正确；A、C两点间各点到两波源距离相等，波程差均为0，所以A、C两点间各点均为振动加强点，故D错误。故选C。]
13．一列简谐横波的波形如图所示，实线表示t1＝0时刻的波形图，虚线表示t2＝0.05 s 时刻的波形图，求：
(1)该简谐横波的振幅与波长各为多少？
(2)若2T＞t2－t1＞T，波速可能为多大？(T为周期)
[解析] (1)根据振动图像可知
振幅A＝5 cm，波长λ＝8 m。
(2)若波向右传播，从t1＝0到t2＝0.05 s，传播了
(2＋nλ) m，即λ
所以t2－t1＝T＋nT
解得周期T＝ s
因为2T＞t2－t1＞T
所以n＝1，T＝ s＝0.04 s
波速v＝＝200 m/s；
若波向左传播，从t1＝0到t2＝0.05 s，传播了(6＋nλ) m，即λ
所以t2－t1＝T＋nT
解得周期T＝ s
因为2T＞t2－t1＞T
所以n＝1，T＝ s＝ s
波速v＝＝280 m/s。
[答案] (1)5 cm 8 m (2)200 m/s或280 m/s
14．如图所示，实线是某时刻的波形图线，虚线是0.2 s后的波形图线。
(1)若波向左传播，求它传播的距离及最小传播距离；
(2)若波向右传播，求它的周期及最大周期；
(3)若波速为35 m/s，求波的传播方向。
[解析] (1)由题图知，λ＝4 m
若波向左传播，传播的距离的可能值为Δx＝nλ＋λ＝(4n＋3) m(n＝0，1，2，…)
最小距离为当n＝0时，Δxmin＝3 m。
(2)若波向右传播，Δx＝ m(n＝0，1，2，…)
所用时间为Δt＝T＝0.2 s
故T＝ s(n＝0，1，2，…)
所以最大周期为当n＝0时，Tmax＝0.8 s。
(3)Δx＝v·Δt＝35×0.2 m＝7 m＝(λ＋3) m
由以上分析易知，波向左传播。
[答案] (1)(4n＋3) m(n＝0，1，2，…) 3 m
(2) s(n＝0，1，2，…) 0.8 s (3)向左
1 / 26 机械波
一、机械波的形成与传播
1．机械波的形成条件
(1)有发生机械振动的________。
(2)有传播________，如空气、水、绳子等。
2．传播特点
(1)传播振动形式、________和信息。
(2)质点不____________。
(3)介质中各质点振动频率、振幅、起振方向等都与波源________。
3．机械波的分类
分类 质点振动方向和波 的传播方向的关系 形状 举例
横波 ________ 凹凸相间；有__________、__________ 绳波等
纵波 在同一条直线上 疏密相间；有__________、__________ 弹簧波、 声波等
二、描述机械波的物理量
1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是________的两个相邻质点间的距离，用“λ”表示。
2．频率f：在波动中，介质中各质点的振动频率都是相同的，都等于________的振动频率。
3．波速：波的传播速度，由________决定。
4．波速公式：v＝________＝或v＝。
三、机械波的图像
1．坐标轴
x轴：各质点____________的连线。
y轴：沿质点振动方向，表示质点的________。
2．物理意义：表示介质中各质点在某一时刻相对各自____________的位移。
3．图像形状：简谐波的图像是________(或余弦)曲线，如图所示。
四、波的衍射
1．定义：波可以绕过障碍物继续传播的现象。
2．发生明显衍射的条件：只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长____________，或者____________时，才会发生明显的衍射现象。
五、波的干涉
1．波的叠加原理：几列波相遇时能够保持各自的运动特征，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉
(1)定义：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动________、某些区域的振动________，这种现象叫波的干涉。
(2)条件：两列波的频率相同、相位差恒定、振动方向相同。
3．干涉和衍射是波特有的现象，波同时还可以发生反射、折射。
六、多普勒效应
1．定义：由于波源和观察者之间有____________，使观察者感受到波的频率__________的现象。
2．实质：波源频率________，观察者接收到的频率____________。
3．规律
(1)波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的____________。
(2)波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的____________。
(3)波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率________波源的频率。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在机械波的传播过程中，各质点随波的传播而迁移。 ( )
(2)机械波的频率等于振源的振动频率。 ( )
(3)通过波的图像可以找出任一质点在任意时刻的位移。 ( )
(4)机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。 ( )
(5)两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。 ( )
(6)一切波都能发生衍射现象。 ( )
(7)多普勒效应说明波源的频率发生变化。 ( )
二、教材习题衍生
1．(波的形成和传播)如图所示，小鸭A(视为质点)在平静的河内戏水，在水面上形成一列稳定的水波，B为岸边飘落的树叶，已知水波的传播速度与水的深度成正比，下列说法正确的是( )
A．树叶B会被水波推向岸边
B．小鸭A的振动周期大于树叶B的振动周期
C．在深水区，水波的频率变大
D．在深水区，水波更容易发生明显衍射现象
2．(波的图像)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t＝0时的波形如图所示。t＝1 s时，x＝1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为( )
A．0 B．0.1 m
C．－0.1 m D．0.2 m
3．(波的干涉、衍射和多普勒效应)下列说法正确的是( )
A．当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大
B．当波遇到障碍物时，一定会发生明显的衍射现象
C．当两列波发生干涉时，振动加强点的位移始终最大
D．当波源的频率发生变化时，就会发生多普勒效应
波的形成与传播
波的传播方向与质点的振动方向的判断方法
内容 图像
上下坡法 沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动
同侧法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定
[典例1] (波的传播规律的应用)(2024·江苏卷)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA＝2AB，t＝0时刻在水面上的O点给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B振动的时刻为( )
A．t1 B．
C．2t1 D．
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[典例2] (根据两个时刻的波的图像分析有关问题)(2025·江苏苏州模拟)一列绳波在水平方向上传播，现对其频闪照相，拍摄频率为5 Hz。在同一底片上多次曝光后形成照片如图所示，照片与实物比例为1∶100。照片中A、B、C、D四点为同一水平线上的四点，且AB＝BC＝CD＝2 cm。以下说法正确的是( )
A．该绳波波长一定为8 m
B．该绳波波速可能为40 m/s
C．质点A一定向左运动
D．质点A一定向右运动
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[典例3] (根据波的图像、波的传播方向判定质点的振动方向)(2024·湖南卷)如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是( )
A．波长为3 m
B．波速为12 m/s
C．t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D．t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
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机械波的传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)质点经过一个周期T完成一次全振动，振动形式恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝＝λf。
波的图像和振动图像的理解及应用
两种图像的比较
图像类型 振动图像 波的图像
图像特点
物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点位移 (4)各时刻质点速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
一段完整 曲线占横 坐标距离 表示一个周期 表示一个波长
[典例4] (波的图像和振动图像的理解及应用)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点。图乙是质点Q的振动图像。求：
(1)波速及波的传播方向；
(2)质点Q的平衡位置的x坐标。
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)根据波的图像读出波长，根据振动图像读出周期，进而根据v＝计算波速。
(2)根据同侧法、微平移法等判断波的传播方向或质点的振动方向。
(3)根据振动图像写出质点振动的一般方程y＝A sin ωt，判断质点的位置。
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“一分、一看、二找”巧解波的图像与振动图像综合类问题
波的多解性
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
波的双向性形成多解
1．传播方向双向性：波的传播方向不确定。
2．振动方向双向性：质点振动方向不确定。
[典例5] (波的双向性形成多解)如图所示是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s 时刻的波形图。
(1)若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
(2)若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期；
(3)若波速是25 m/s，求t＝0时刻P点的运动方向。
思路点拨：解此题按以下思路：
(1)知道两个时刻波的图像，根据周期性，得出波传播距离的通项关系式。
(2)根据波的传播方向和波形得出传播时间的通项关系式。
(3)再由v＝求出波速的通项关系式。
[听课记录] _________________________________________________________
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波的周期性形成多解
1．时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
2．空间的周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
[典例6] (波的周期性形成多解)有两列简谐横波a、b在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播。两列波在t＝0时刻的波形曲线如图所示，已知a波的周期Ta＝0.5 s。求：
(1)两列波的传播速度；
(2)从t＝0时刻开始，最短经过多长时间x＝0.5 m的质点偏离平衡位置的位移为0.16 m
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波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点的振动情况，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种可能情况，形成波动问题的多解。
[典例7] (波形的隐含性形成多解)(2024·无锡模拟)如图所示，实线和虚线分别是沿x轴负方向传播的一列简谐横波在t1＝0和t2＝0.6 s 时刻的波形图。则该波( )
A．传播的速度大小可能为25 m/s
B．周期可能为1.0 s
C．在t1到t2时间内，x＝2 m的质点通过的位移可能为1 m
D．在t1到t2时间内，x＝2 m的质点通过的路程可能为50 cm
[听课记录] _________________________________________________________
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解答波的多解问题的方法
(1)假设波向x轴正方向或负方向传播。
(2)由题目提供的波形变化等条件列出传播距离或传播时间与波长、周期等相关的通式。
(3)根据v＝、v＝λf或v＝求出速度或其他未知量的关系通式。
(4)分析题目中有没有其他限制条件，判断通过关系通式得到的多解能否变为有限个解或唯一解。
波的干涉、衍射和多普勒效应
[典例8] (波的衍射)(2024·南京模拟)如图所示，挡板M固定，挡板N可以上下移动，现在把M、N两块挡板中的空隙当作一个“小孔”做水波的衍射实验，出现了图示中的图样，P点的水没有振动起来。为使挡板左边的振动传到P点，可以采用的办法是( )
A．挡板N向下平移一段距离
B．增大波源振动频率
C．挡板M和N向右移动一段距离
D．波源向左匀速移动
[听课记录] _________________________________________________________
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[典例9] (波的干涉)(2024·浙江6月选考)频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m。t＝0时S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则( )
A．两列波的波长为2 m
B．两列波的起振方向均沿x正方向
C．S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D．两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
[听课记录] _________________________________________________________
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[典例10] (波的干涉的应用)(2025·南通模拟)甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向传播，两列波在t＝0时的部分波形曲线如图所示，已知甲波的波速为2.5 cm/s，则( )
A．x轴上振动加强和减弱的质点的位置是固定的
B．t＝0时，x＝0处的质点向y轴正方向运动
C．t＝0时，x＝－25 cm处的质点偏离平衡位置的位移为8 cm
D．t＝0.1 s时，x＝2.5 cm处的质点的位移为 －8 cm
[听课记录] _________________________________________________________
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[典例11] (多普勒效应)(2024·扬州中学高三模拟)如图所示，静止的雷达测速仪a发射频率为f0的超声波，该超声波被迎面驶来的汽车b反射后，又被a接收到，则( )
A．a接收到b的反射波频率等于f0
B．a的发射波与b的反射波相遇会发生干涉
C．反射波在空气中的传播速度与b运动速度有关
D．a根据接收到的反射波的频率可确定b的速度
[听课记录] _________________________________________________________
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1．波的干涉现象中加强点、减弱点的两种判断方法：
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)图像法：在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝，因而单位时间内通过观察者的完全波的个数，即接收频率。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小；波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。
1 / 14课时分层作业(三十六) 机械波
说明：选择题每小题4分；本试卷共72分。
题组一 波的形成与传播
1．在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a。t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝T时的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝T时，质点P4的速度最大
C．t＝T 时，质点 P3和 P5相位相同
D．该列绳波的波速为
2．手持软长绳的一端O点，在竖直平面内连续向上、向下抖动软绳(可视为简谐运动)，带动绳上的其他质点振动形成沿绳水平传播的简谐波，P、Q为绳上的两点。t＝0时O点由平衡位置开始振动，至t1时刻恰好完成次全振动，绳上OQ间形成如图所示的波形(Q点之后未画出)，则( )
A．t1时刻之前Q点始终静止
B．t1时刻P点刚好完成一次全振动
C．t＝0时O点运动方向向上
D．若手上下振动加快，该波的波长将变大
题组二 波的图像和振动图像的理解及应用
3．(2025·南京模拟)图(a)表示一列简谐横波沿直线传播，图(b)画出了两质点A、B的振动图像，已知A、B平衡位置之间的距离为四分之一波长，波的传播方向为B→A。可以表示质点A的振动图线的是( )
A．只有第1条曲线
B．只有第2条曲线
C．两条曲线中的任意一条都可以
D．两条曲线都不可以
4．图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，a、b两质点的横坐标分别为xa＝2 m和xb＝6 m，图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确的是( )
A．该波沿＋x方向传播，波速为1 m/s
B．质点b经8 s振动的路程为2 m
C．此时刻质点a的速度沿＋y方向
D．质点a在t＝2 s时速度最大
题组三 波的多解性
5．(2024·江苏徐州一模)一列简谐横波沿x轴正向传播，振幅为4 cm，周期为T＝6 s。已知在t＝0时刻，质点a坐标为(5 cm，－2 cm)，沿y轴正向运动，质点b坐标为(15 cm，2 cm)，沿y轴负向运动，如图所示。下列说法正确的是( )
A．a、b两质点可以同时在波峰
B．该列简谐横波波长可能为10 cm
C．在t＝0.5 s时，质点a的位移为0
D．当质点b在波谷时，质点a不一定在波峰
6．(8分)(2024·江苏七市高三第三次调研测试)两列简谐横波P、Q在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P、Q两列波在t＝0时刻的波形分别如图甲中实线、虚线所示，x＝1.5L处质点的振动图像如图乙所示。简谐波P的周期为TP，图中A1、A2已知，T0未知。求：
(1)两列波在介质中的传播速度v及简谐波Q的周期TQ；
(2)求T0及x＝1.5L处质点从t＝0时刻到T0时间内通过的路程s。
题组四 波的干涉、衍射和多普勒效应
7．(2024·江西卷)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是( )
A．振动减弱；d＝4.725 mm
B．振动加强；d＝4.725 mm
C．振动减弱；d＝9.45 mm
D．振动加强；d＝9.45 mm
8．下列选项与多普勒效应有关的是( )
A．科学家用激光测量月球与地球间的距离
B．外科医生对结石病人的超声排石
C．技术人员用超声波探测金属、陶瓷、混凝土中是否有气泡
D．交通警察向车辆发射超声波并通过测量反射波的频率确定车辆行进的速度
9．(2024·南京师大附中模拟)图甲为超声波悬浮仪，上方圆柱体发出超声波，下方圆柱体将接收到的超声波信号反射回去。两列超声波信号叠加后，会出现振幅几乎为零的点——节点，小水珠能在节点附近保持悬浮状态，图乙为某时刻两列超声波的波形图，P、Q为波源，点M(－1.5，0)、点N(0.5，0)分别为两列波的波前，已知声波传播的速度为 340 m/s。 则下列说法正确的是( )
A．该超声波悬浮仪所发出的超声波信号频率为340 Hz
B．小水珠悬浮时，受到的声波压力为零
C．两列波充分叠加后，小水珠不可以悬浮在点M(－1.5，0)附近
D．经过t＝1×10-4 s，点M沿x轴正方向移动 3.4 cm
10．某横波在介质中沿x轴传播，左图为t＝0.25 s时的波形图，右图为P点(x＝1.5 m处的质点)的振动图像，那么下列说法不正确的是( )
A．该波向右传播，波速为2 m/s
B．质点L与质点N的运动方向总相反
C．t＝0.75 s时，质点M处于平衡位置，并正在往正方向运动
D．t＝1.25 s时，质点K向右运动了2 m
11．一列波长大于1 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x1＝1 m和x2＝2 m的两质点A、B的振动图像如图所示。由此可知( )
A．波长为 m
B．波速为1 m/s
C．3 s末A、B两质点的位移相同
D．1 s末A质点的振动速度大于B质点的振动速度
12．(2024·江苏泰州一模)如图所示，波源O1、O2以相同频率垂直纸面振动，激发出横波在纸面内沿着各个方向传播，A、B、C三点在O1、O2连线的中垂线上，t＝0时刻O1、O2同时沿相同方向开始振动，经过4 s的时间，与O1相距8 m的A点开始振动，此后A点每分钟上下振动20次，且当A位于波峰时，B点同时位于离A点最近的波谷，O1、C相距20 m。则下列说法正确的是( )
A．波源O1激发的横波波速为 m/s
B．波源O2激发的横波波长为8 m
C．O1与B之间的距离为11 m
D．振动稳定后A、C两点间共有5个振动加强点(含A、C两点)
13．(8分)一列简谐横波的波形如图所示，实线表示t1＝0时刻的波形图，虚线表示t2＝0.05 s 时刻的波形图，求：
(1)该简谐横波的振幅与波长各为多少？
(2)若2T＞t2－t1＞T，波速可能为多大？(T为周期)
14．(12分)如图所示，实线是某时刻的波形图线，虚线是0.2 s后的波形图线。
(1)若波向左传播，求它传播的距离及最小传播距离；
(2)若波向右传播，求它的周期及最大周期；
(3)若波速为35 m/s，求波的传播方向。
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