4.4数学归纳法（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第二册人教A版（2019）

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预习衔接.夯实基础 数学归纳法
一．选择题（共4小题）
1．（2024 松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
2．（2024 青羊区校级模拟）用数学归纳法证明：（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项 B．2k﹣1项 C．2k+1项 D．2k项
3．（2024春 青浦区校级期末）用数学归纳法证明“对任意偶数n，an﹣bn能被a﹣b整除”时，其第二步论证应该是（　　）
A．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝k+1时命题也成立
B．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立
C．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立
D．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2（k+1）时命题也成立
4．（2024秋 虹口区校级期末）用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 东昌府区期中）对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
（多选）6．（2024秋 斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（　　）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
（多选）7．（2021春 滨湖区校级期中）对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，1+1，不等式成立
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（　　）
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 虹口区校级期末）记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 　 　项．
9．（2024秋 宝山区校级期末）若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 　 　．
10．（2024秋 闵行区校级期末）用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 　 　．
11．（2024秋 普陀区期中）用数学归纳法证明（n∈N，n≥1）的过程中，当n＝k+1时，左端应在n＝k时的左端上加上 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 房山区期中）已知数列{an}中，a1＝0且．
（1）求数列{an}的第2，3，4项；
（2）根据（1）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
13．（2024秋 西城区校级期中）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有．
（1）直接写出a2，a3，a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
14．（2024秋 松江区校级期中）设Sn为数列{an}的前n项和，满足．
（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
15．（2024秋 汉滨区期末）已知数列{an}中，a1＝2，an（n≥2）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
预习衔接.夯实基础 数学归纳法
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】C
【分析】分别求出当n＝k，n＝k+1时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解．
【解答】解：当n＝k时，
不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式的左边为，
故不等式左边增加了，但减少了．
故选：C．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
2．（2024 青羊区校级模拟）用数学归纳法证明：（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项 B．2k﹣1项 C．2k+1项 D．2k项
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；方程思想；综合法；推理和证明；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分析f（k+1）、f（k）的项数，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，证明时，
f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，
则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意归纳分析f（n）的项数，属于基础题．
3．（2024春 青浦区校级期末）用数学归纳法证明“对任意偶数n，an﹣bn能被a﹣b整除”时，其第二步论证应该是（　　）
A．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝k+1时命题也成立
B．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立
C．假设n＝k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2k+1时命题也成立
D．假设n＝2k（k为正整数）时命题成立，再证n＝2（k+1）时命题也成立
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】D
【分析】根据n为正偶数，故第二步的假设应写成：假设n＝2k+2，k∈N*时命题正确，再推n＝2k+2时正确．
【解答】解：根据证明的结论，n为正偶数，
故第二步的假设应写成：假设n＝2k，k∈N*时命题正确，
即当n＝2k，k∈N*时，a2k﹣b2k能被a﹣b整除，再推n＝2k+2时正确．
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法的证题步骤，属于基础题．
4．（2024秋 虹口区校级期末）用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】数学归纳法．
【专题】规律型．
【答案】D
【分析】只须求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为 ，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：
故选：D．
【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n＝1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 东昌府区期中）对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论．
【解答】解：适合命题的第一个自然数n＝1，验证n＝1时过程正确；
假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，该假设正确；
在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k+1的推理不正确，
故D错误，ABC正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题．
（多选）6．（2024秋 斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（　　）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于命题A，可以验证当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝1时，不成立，所以满足条件；
对于命题C，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），假设n＝k时命题成立，当n＝k+1时多了一条边，即多了一个顶点，故多了k个对角线，则可以验证当n＝k+1时不成立，不满足要求．
【解答】解：对于命题A，2n＞2n+1（n≥2），当n＝2的时有4＜5，故当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），
假设n＝k时命题成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，
当n＝k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，
故对n＝k+1时命题也成立，对于初始值n＝1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件；
对于命题C，凸n边形内角和为f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），
假设n＝k时命题成立，即f（k）＝（k﹣1）π，
当n＝k+1时有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故对n＝k+1时命题也成立，
对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），
假设n＝k时命题成立，即f（k），
当n＝k+1时，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1k﹣1，故不满足条件．
故选：ABC．
【点评】本题考查了数学归纳法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）7．（2021春 滨湖区校级期中）对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，1+1，不等式成立
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（　　）
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】利用数学归纳法的证明步骤，写出正确的证明过程，即可判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：用数学归纳法证明n+1（n∈N*）的过程如下：
①当n＝1时，1+1，即2，不等式成立；
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k+1，两边平方得，k2+k＜k2+2k+1，即0＜k+1，显然成立；
则n＝k+1时，（k+1）+1，
所以当n＝k+1时，不等式也成立．
由此知，原证明过程的说法中，正确的是BD．
故选：BD．
【点评】本题考查了数学归纳法的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 虹口区校级期末）记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 　3　项．
【考点】数学归纳法．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】3．
【分析】根据给定条件，分析从n＝k到n＝k+1时式子的变化即可作答．
【解答】解：因为f（k）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），
所以不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3项．
故答案为：3．
【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
9．（2024秋 宝山区校级期末）若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 　5　．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n＝1，2，3，4，命题是否成立；可得答案．
【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n＝1时，左＝21＝2，右＝1，2n＞n2成立，
n＝2时，左＝22＝4，右＝4，2n＞n2不成立，
n＝3时，左＝23＝8，右＝9，2n＞n2不成立，
n＝4时，左＝24＝16，右＝16，2n＞n2不成立，
n＝5时，左＝25＝32，右＝25，2n＞n2成立，
当n≥5成立，所以2n＞n2恒成立．
所以n的第一个取值应是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．
10．（2024秋 闵行区校级期末）用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 　2k2+2k+1　．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】2k2+2k+1．
【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答．
【解答】解：n＝k时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；
当n＝k+1时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；
观察两式易知增加的项为：（k+1）2+k2＝2k2+2k+1．
故答案为：2k2+2k+1．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
11．（2024秋 普陀区期中）用数学归纳法证明（n∈N，n≥1）的过程中，当n＝k+1时，左端应在n＝k时的左端上加上 　（k+1）2　．
【考点】数学归纳法．
【专题】对应思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（k+1）2．
【分析】由题意，整理n取不同值时的式子，对比可得答案．
【解答】解：由题意，当n＝k时，所得式子为12+22+32+ +k2；
当n＝k+1时，所得式子为12+22+32+ +k2+（k+1）2；
所以当n＝k+1时，左端应在n＝k时的左端上加上（k+1）2．
故答案为：（k+1）2．
【点评】本题考查数学归纳法的步骤，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 房山区期中）已知数列{an}中，a1＝0且．
（1）求数列{an}的第2，3，4项；
（2）根据（1）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】函数思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1），，；
（2）猜想，证明见解析．
【分析】（1）由已知逐个计算即可得答案；
（2）由（1）的计算结果可猜想出数列{an}的通项公式，利用数学归纳法证明即可得．
【解答】解：（1）由a1＝0，且，得，
，；
（2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下：
当n＝1时，，等式成立；
假设当n＝k时等式成立，即有，
则当n＝k+1时，有．
即当n＝k+1时，等式成立．
综上所述，成立．
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明数列的通项公式，是中档题．
13．（2024秋 西城区校级期中）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有．
（1）直接写出a2，a3，a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】（1）．
（2）猜想：，证明详见解析．
【分析】（1）直接结合数列递推式，即可求解；
（2）结合数学归纳法的法则，即可证明．
【解答】解：（1）．
（2）猜想：．（*）
下用数学归纳法证明：
①当n＝1时，（*）成立．
②假设n＝k（k≥1）时（*）成立，即．
则当n＝k+1时，，
故（*）对n＝k+1也成立．
由①②，对任意n∈N*，（*）成立，即．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题．
14．（2024秋 松江区校级期中）设Sn为数列{an}的前n项和，满足．
（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】（1）a1＝3，，，，；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据依次求得a1，a2，a3，a4的值，并由此猜想an．
（2）利用数学归纳法的方法证得．
【解答】解：（1）当n＝1时，，a1＝3，
当n＝2时，，，
当n＝3时，，，
当n＝4时，，，
猜想；
（2）①当n＝1时，a1＝3成立．
②假设n＝k（k∈N*）时，结论成立，即．
那么，当n＝k+1时，ak+1＝Sk+1﹣Sk
即．
∴当n＝k+1时，结论成立．
综上，猜想成立．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
15．（2024秋 汉滨区期末）已知数列{an}中，a1＝2，an（n≥2）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知条件分别令n＝1，2，3，能求出a2、a3、a4的值．
（2）由（1）猜想an．然后用数学归纳法进行证明．
【解答】解：（1）∵数列{an}中，a1＝2，an（n≥2），
∴，
，
．
（2）由（1）猜想an．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n＝1时，2，成立；
②假设n＝k时成立，即ak，
则当n＝k+1时，
ak+1，也成立，
∴an．
【点评】本题考查数列的前4项的求法，考查数列的通项公式的猜想，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．
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