14.2（第4课时）尺规作图问题 课件(共19张PPT) 人教版（2024）数学八年级上册

(共19张PPT)
人教版 八年级上册
14.2（第4课时）
第十四章 全等三角形
尺规作图问题
复习回顾
FU XI HUI GU
思考
基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，
简写成“边角边”或“SAS”.
前面我们学习过哪些判定三角形全等的方法？
基本事实：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”.
基本事实：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，
简写成“角角边”或“AAS”.
基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．
简记为“边边边”或“SSS”．
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素.我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢
如图，已知：∠AOB．利用直尺和圆规求作：∠A′O′B′ =∠AOB．
O
B
A
解决这个问题的关键是什么？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
圆规的作用是量取相等长度的线段.
圆规
定长度，定端点
这里的直尺指的是无刻度的直尺，也就是说，利用直尺只能用来连线，并不能用来测量线段的长度.
直尺
画直线
O
B
A
解决这个问题的关键就是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
如图，已知：∠AOB．利用直尺和圆规求作：∠A′O′B′ =∠AOB．
能够利用学过的全等三角形的知识来解决这个问题？
对于一个三角形,其三条边、三个角是确定的,如果能将∠AOB“放在”某个三角形中,作为其一个角,而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形,那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB.进而再作出与这个三角形全等的三角形,根据全等三角形的性质,∠AOB的对应角就是要求作的角.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
显然，这样的三角形是容易作出的.如图在∠AOB的边OA,OB上分别取点C,D,连接C,D,得到△COD,
∠AOB就是△COD的一个内角.再作出△C′O′D′,
△C′O′D′≌△COD,∠C′O′D′=∠COD=∠AOB.
由此我们得到作一个角∠A′O'B'等于已知角∠AOB的方法.
为了作图方便，
一般取OC=OD.
你能根据以上分析试着作图吗？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
作法： (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，
分别交OA，OB 于点 C、D；
(2) 画一条射线 O′A′，以点 O′ 为圆心，OC 长为
半径画弧，交 O′A′ 于点 C′；
(3) 以点 C′ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 (2)
步中所画的弧交于点 D′；
(4) 过点 D′ 画射线 O′B′，则∠A′O′B′ =∠AOB．
已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′ =∠AOB．
O
D
B
C
A
O′
C′
A′
B′
D′
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
你能证明以上作图的正确性吗？
DO= D’O’(已知)，
OC = O’C ’(已知)，
DC = D’C ’ (已知)，
∴△DOC≌△D’O’C ’ (SSS).
证明：在△DOC 和△D’O’C ’中，
∴∠O=∠O’ (全等三角形的对应角相等).
O
D
B
C
A
O′
C′
A′
B′
D′
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
探究
已知: ∠AOB. 求作: ∠A′O′B ′, 使∠A′O′B′=2∠AOB.
B
O
A
D
C
D′
C′
B ′
O ′
A′
就是作一个角等于已知角的二倍
可以理解为作一个角等于已知角，作两次！
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
如图,已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线AB的
平行线CD.
解：(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E;
(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB;
(3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD//AB.
F
B
A
C
B
A
C
E
还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图.
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
就是作一个角等于已知角.
如图,已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使AB=a,AC=b,∠A=∠α.
作法：如图.
(1)作∠DAE=∠α;
(2)在射线AD上作AB=a,在射线AE上作AC=b;
(3)连接BC,则△ABC就是所求作的三角形.
C
A
B
b
a
α
b
a
)
D
E
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
作法：
(1) 作∠DAF=∠α；
(2) 在射线AF上截取线段AB=c；
(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，
BE交AD于点C，则△ABC就是所求作的三角形.
c
α
β
已知： ∠α ， ∠β，线段c.
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β ，AB=c
A
F
D
B
C
E
分析：因为未被墨水污染的有两角及其夹边，所以根据“ASA”可以作一个与原三角形全等的三角形.
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
如图所示，果果在作业本上画的三角形被墨水污染，他想画一个与原来完全一样的三角形，请你帮帮他.
A
B
C
课堂小结
QING JING YIN RU
基本类型
尺规作图
作一个角等于已知角
利用“SSS”
证明全等
已知：写出符合题意的已知
求作：写出所要作的三角形及符合的条件
作法：按照尺规作图，作出符合题意的三角形
基本步骤
已知三边
已知两边及其夹角
已知两角及其中一角的对边
拓展类型
已知两角及其夹边
“边边角”不能证明全等，角只能是两边的夹角！
只允许用无刻度直尺和圆规，
不能使用其测量的功能.
当堂练习
QING JING YIN RU
1. 下列属于尺规作图的是（　　）
A. 用刻度尺和圆规作△ABC
B. 用量角器画一个300°的角
C. 用圆规画半径2cm的圆
D. 作一条线段等于已知线段
D
2. 利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A. 已知三边 B. 已知两边及夹角
C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及其中一边的对角
D
实例上是【例1】中利用“内错角相等，两直线平行”作图.
即判断能否利用已知条件判定三角形全等.
当堂练习
QING JING YIN RU
3.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）.
A. ∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4
B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C. AB＝3，BC＝4，CA＝1
D. ∠C＝90°，AB＝6
A
4.如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹MN是（ ）.
A. 以点B为圆心，OD为半径的弧
B. 以点B为圆心，DC为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DC为半径的弧
D
O
C
D
E
M
F
N
B
A
当堂练习
QING JING YIN RU
5. 已知： ∠α，∠β，其中∠α ＞∠β. 求作：∠AOB，使∠AOB= ∠α -∠β.
解：如图所示，作法如下：
(1)作∠AOD，使∠AOD=∠α；
(2)作∠BOD，使∠BOD=∠β，
并且使射线OB落在∠AOD的内部.
则∠AOB就是所要求作的角.
E
F
M
N
D
C
B
A
O
当堂练习
QING JING YIN RU
6.已知线段 a，b，求作△ABC，使AB＝AC＝a，BC＝b.
b
a
解：
第一步：作射线BM，在BM上截取BC＝b.
第二步：分别以B，C为圆心，以 a 为半径画弧，两弧交于点A.
第三步：连接AC，AB. 则△ABC为所求作的三角形.
b
B
M
C
A
a
a
当堂练习
QING JING YIN RU
a
b
7. 已知：直角，线段a，b.
求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b.
C
D
E
B
A
作法：
(1)作∠DCE=90°；
(2)在射线CD、CE上分别
截取CB=a，CA=b ；
(3)连结AB. △ABC就是所求作的三角形.