3.1.1函数的概念(一)
一、选择题
1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是( )
A．y是x的函数 B．w是y的函数
C．w是z的函数 D．w是x的函数
2．对于函数f ：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是( )
A．f (a)∈B
B．f (a)有且只有一个
C．若f (a)＝f (b)，则a＝b
D．若a＝b，则f (a)＝f (b)
3．下列函数的值域为R的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x2
C．y＝－x2＋1 D．y＝
4．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝3x2＋ D．y2＝x2
5．(多选)已知集合M＝，集合N＝，下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B
C D
66．已知集合A＝{1，2，k}，B＝{4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
7．(多选)设f ：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
8．(多选)某加油站地下圆柱体储油罐如图所示，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v(h，w，v为变量)，则下列说法正确的有( )
A．w是v的函数 B．v是w的函数
C．h是w的函数 D．w是h的函数
二、填空题
9．如图，表示函数关系的是________．(填序号)
10．如果函数f ：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．
11．函数y＝x2－2x＋3(0≤x≤3)的值域为________．
12．已知函数y＝f (x)的定义域为{a，b，c}，值域为{－1，0，1，2}的子集，则满足f (a)＋f (b)＋f (c)＝0的函数y＝f (x)的个数为________．
三、解答题
13．对于三角形，你可能想到哪些量？如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系？如果是函数关系，请写出函数关系式．你还能举出其他的函数例子吗？
14．某中学2024级高一同学选科走班情况，选择人数较多的6个组合分别是：
组合代码 组合 组合人数
1 物化生 500
2 政史地 300
3 化生地 300
4 物历地 200
5 物化地 200
6 化生历 150
你会怎样表示这次选科走班人数的情况？用x，y分别表示组合代码和对应的组合人数，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
15．探究是否存在函数f (x)，g(x)满足条件：
(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同．
答案解析
1．B [对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误．故选B．]
2．C [由函数的定义，得ABD正确，函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个函数值，故C错误．]
3．A [选项A中，y＝x＋1的定义域为R，值域为R，故A正确；显然其余选项的值域均不为R．]
4．D [对于A，x∈R，对于每一个x，按照y＝x－1，有唯一的y值与之对应，A是函数关系；
对于B，对于每一个x(x≠－1)，按照y＝，有唯一的y值与之对应，B是函数关系；
对于C，对于每一个x(x≥0)，按照y＝3x2＋，有唯一的y值与之对应，C是函数关系；
对于D，x，y∈R，当x＝1时，y＝±1，当y＝1时，x＝±1，变量x，y不具有函数关系，D不是函数关系．故选D．]
5．BD [对于A，显然当0
对于B，当－2≤x≤2时，任意一个x，在集合N中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项符合题意；
对于C，显然当x＝0时，在集合N中有两个数与之对应，故不表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于D，当－2≤x≤2时，任意一个x，在集合N中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合M到集合N的函数关系，所以本选项符合题意．故选BD．]
6．C [根据对应关系为y＝3x＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3．]
7．ABC [选项D中，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应，其余选项均符合题意．故选ABC．]
8．AD [根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v．对于A，若v确定，则h确定，w就确定，故A正确；
对于B，若w确定，则h有两个值，所以v有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误； 对于C，若w确定，h有两个值，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故C错误；
对于D，若h确定，则w确定，故D正确．故选
9．①②④
10．{1，2，3，4} [由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}．]
11．{y|2≤y≤6} [由函数y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
根据二次函数的性质，当x＝1时，得到ymin＝2；当x＝3时，得到ymax＝6，
所以函数y＝x2－2x＋3(0≤x≤3)的值域为{y|2≤y≤6}．]
12．10 [因为0＋0＋0＝0，所以f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，此时有一个函数；
因为0＋1＋(－1)＝0，所以f(a)，f(b)，f(c)的值为0，1，－1其中一个，这样的函数共有3×2＝6(个)；
因为－1＋(－1)＋2＝0，所以f(a)，f(b)，f(c)的值为2，－1，－1其中一个，这样的函数共有3个，所以符合条件的函数共有1＋6＋3＝10(个)．]
13．解：能想到三角形的边长和三个角的度数；
内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则S＝(a＋b＋c)r，设三角形周长为l，则l＝a＋b＋c，故S＝lr．
另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式为l＝．
AD．]
14．解：y是x的函数，定义域为{1，2，3，4，5，6}，值域为{150，200，300，500}，对应关系如图．
15．解：(1)存在，例如f(x)＝x，g(x)＝2x＋1，定义域和值域都是R，但对应关系不同．
(2)存在，例如f(x)＝x2(x≥0)，g(x)＝x2(x≤0)，值域都是{y|y≥0}，但定义域不同．
1 / 63.1.1第2课时函数的概念(二)
一、选择题
1．已知函数f (x)＝，则f ＝( )
A．0 B．
C．a D．3a
2．函数f (x)＝的定义域为( )
A．
B．[1，＋∞)
C．∪(1，＋∞)
D．∪(1，＋∞)
3．函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 024的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．以上答案都不对
4．设函数f (x)＝，则当f (x)＝2时，x的取值为( )
A．－4 B．4
C．－10 D．10
5．下列函数与f (x)＝是同一个函数的是( )
A．g(x)＝x B．g(x)＝
C．g(x)＝ D．g(x)＝x0·
6．已知f (x)＝ax5＋1，且f (－2)＝10，则f (2)＝( )
A．－8 B．10
C．－9 D．11
7．已知函数f (x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f ＋f (x－2)的定义域为( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，3) D．(－1，1)
8．(多选)若函数f (x)与g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f (x)和g(x)是同族函数．已知函数f (x)＝x2，x∈，则下列函数中与f (x)是同族函数的有( )
A．g(x)＝x2，x∈[－1，0]
B．g(x)＝x2，x∈[－1，1]
C．g(x)＝，x∈(0，1]
D．g(x)＝x＋1，x∈[0，1]
二、填空题
9．请写出一个定义域和值域都为[0，1]的函数(要注明定义域)________．
10．若区间[a＋1，2a－1]满足[a＋1，2a－1] [－2，5]，则实数a的取值范围为________．
11．已知g(x)＝1－2x，f (g(x))＝(x≠0)，则f ＝________．
12．已知函数f (x)的定义域为[－2，3]，则函数y＝的定义域是________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝＋．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－2)，f (6)；
(3)已知f (2a＋1)＝＋3，求a的值．
14．(教材P100复习参考题3T2、T3改编)设f (x)＝，求证：
(1)f (－x)＝(x≠±1)；
(2)f ＝－f (x)(x≠－1，且x≠0)．
15．已知函数f (x)对任意实数x，y都有f (xy)＝f (x)＋f (y)成立．
(1)求f (0)和f (1)的值；
(2)若f (2)＝a，f (3)＝b(a，b均为常数)，求f (36)的值．
答案解析
1．D [函数f(x)＝，所以f(＝3a．故选D．]
2．D [函数f(x)＝的定义域满足：且x≠1．故选D．]
3．C
4．C [令＝2，则x＝－10．]
5．D [函数f(x)＝＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝x 的定义域为R，两函数定义域不同，A不符合；
g(x)＝＝|x|，两函数解析式不同，B不符合；
g(x)＝＝x，其定义域为(0，＋∞)，两函数定义域不同，C不符合；
g(x)＝x0·＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两函数是同一个函数，D符合．故选D．]
6．A [因为f(x)＝ax5＋1，且f(－2)＝10，
所以a·(－2)5＋1＝10，得a＝－，
所以f(x)＝－x5＋1，
所以f(2)＝－×25＋1＝－9＋1＝－8．故选A．]
7．B [由题意知解得18．AB [f(x)＝x2，x∈，则f(x)∈．
对于A，g(x)＝x2，x∈，则g(x)∈，满足同族函数的定义，故A正确；
对于B，g(x)＝x2，x∈，则g(x)∈，满足同族函数的定义，故B正确；
对于C，g(x)＝，x∈(0，1]，则g(x)∈[1，＋∞)，不满足同族函数的定义，故C错误；
对于D，g(x)＝x＋1，x∈，则g(x)∈，不满足同族函数的定义，故D错误．故选AB．]
9．y＝x，x∈[0，1]或y＝x2，x∈[0，1](答案不唯一)．
10．(2，3] [根据题意可知解得211．15 [令g(x)＝，即1－2x＝，则x＝，
代入f(g(x))＝(x≠0)，可得f(＝15．]
12．[－，－1)∪(－1，1] [依题意
∴－≤x≤1且x≠－1，
故函数y＝，－1)∪(－1，1]．]
[点评] 抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域，则g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．
13．解：(1)由解析式知可得x≥－3且x≠1，
故函数f(x)的定义域为[－3，1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－2)＝，
f(6)＝．
(3)由f(2a＋1)＝＋3，则＝3，
所以2a＋4＝9，即a＝，显然2a＋1＝6在f(x)定义域内，所以a＝．
14．证明：(1)∵f(x)＝(x≠±1)，
∴f(－x)＝(x≠±1)．
(2)∵f(x)＝(x≠－1，且x≠0)，
∴f(＝－f(x)(x≠－1，且x≠0)．
15．解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0，
令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0．
(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，
令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，
∴f(36)＝2(a＋b)．
[点评] 对于此类抽象函数求值问题，常用赋值法求解．其中灵活应用题设“f(xy)＝f(x)＋f(y)”是解题关键．
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