3.1.2分段函数
一、选择题
1．函数f (x)＝的定义域为( )
A． B．
C． D．
2．函数f (x)＝x＋的图象是( )
A B C D
3．（2025，陕西三模）函数D(x)＝则D(D(x))等于( )
A．0 B．1
C． D．
4．设函数f (x)＝若f (a)＝a，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．－2或－1 D．±1或－2
5．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域是R
B．f (x)的值域是(－∞，5)
C．若f (x)＝3，则x＝
D．f (x)的图象与直线y＝2有一个交点
6．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f (x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
A B C D
7．某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如下表所示：
年用水量 价格
不超过150 m3的部分 2.4元/m3
超过150 m3但不超过250 m3的部分 3.6元/m3
超过250 m3的部分 7.2元/m3
若小李同学年用水量为200m3，则应交水费为( )
A．720元 B．540元
C．480元 D．560元
8．(多选)已知函数f (x)＝x－[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如＝－2，[－3]＝－3，＝2，则f (x)的值可能是( )
A．0 B．
C．1 D．2
二、填空题
9．已知函数f (x)＝则f ( f (2))＝________．
10．函数f (x)＝的值域是__________．
11．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设总购买费用是f (x)元，则f (x)的解析式是________．
12．若定义运算a⊙b＝则函数f (x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝
(1)求f (－1)，f ；
(2)作出函数y＝f (x)在区间[－2，2)内的图象．
14．已知函数f (x)＝
(1)若f (a)>3，求a的取值范围；
(2)画出函数y＝f (x)的图象，若方程f (x)＝b有三个实数根，求b的取值范围(直接写出答案即可)．
15．给定函数f (x)＝x，g(x)＝x2－2x，对任意的x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2)＝max{f (2)，g(2)}＝max{2，0}＝2．
(1)用分段函数表示M(x)；
(2)求不等式M(x)≤2的解集．
答案解析
1．C [由，得函数f(x)的定义域为{－1，0，1，2}．故选C．]
2．C [函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，
当x<0时，f(x)＝x－1，
根据一次函数图象可知C正确．
故选C．]
3．B [∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1．]
4．B [由题意知，f(a)＝a，当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2(不满足条件，舍去)；当a<0时，有＝a，解得a＝1(不满足条件，舍去)或a＝－1．所以实数a的值是－1．故选B．]
5．BCD [
对于A，f(x)的定义域是(－∞，2)，故A错误；对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1
故选BCD．]
6．C [由题意知f(x)＝即f(x)＝x，x∈R，则f(x)的图象为C中图象所示．]
7．B [根据题意可得小李同学应交水费为150×2.4＋(200－150)×3.6＝360＋180＝540(元)．故选B．]
8．AB [当x∈Z时，f(x)＝x－[x]＝0，
当x Z时，09．5 [由题意，可得f(2)＝2×2－1＝3，
∴f(f(2))＝f(3)＝2×3－1＝5．]
10．[0，2]∪{3} [当0≤x≤1时，0≤f(x)＝2x≤2，
当1当x≥2时，f(x)＝3，
所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{3}．]
11．f(x)＝ [当x≤5，x∈N*时，f(x)＝5 000x；当512．f(x)＝ (－∞，1] [由题意可知，f(x)＝
画出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知函数f(x)的值域为(－∞，1]．
]
[点评] 本题是新定义问题，明白a☉b的含义是解题的关键，其指的是两者之中较小的那个数．
13．解：(1)∵－1≤1，
∴f(－1)＝2×(－1)＋1＝－1，
∵≤1，∴f＋1＝2，
又∵2>1，∴f＝f(2)＝22－3＝1．
(2)函数f(x)＝在区间[－2，2)内的图象如图所示．
14． 解：(1)当a≥0时，由f(a)＝－a2＋4a>3，得a2－4a＋3<0，解得1当a<0时，由f(a)＝－a>3，可得a<－3，此时a<－3．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3)．
(2)作出函数y＝f(x)的图象如图所示，
由图象可知，当0因此，实数b的取值范围是(0，4)．
15．解：(1)当f(x)≥g(x)，即x≥x2－2x时，解得0≤x≤3，
当f(x)解得x<0或x>3，
所以M(x)＝
(2)由已知可得或
解得1－≤x<0，或0≤x≤2，或 ，
所以不等式M(x)≤2的解集为{x|1－≤x≤2}．
[点评] 求解此类问题的关键是读懂新定义M(x)，在此基础上准确借助图象求解．
1 / 73.1.2函数的表示法
一、选择题
1．国内某快递公司快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x/km 0邮资y/元 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在北京用这家快递公司邮寄800 g的包裹到距北京1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．无法确定
2．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，用解析法将y表示成x的函数为( )
A．y＝6x
B．y＝6x(x∈R)
C．y＝6x(x∈{1，2，3，…})
D．y＝6x(x∈{1，2，3，4，5，6})
3．（2025，陕西高考）已知函数f (x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f (g(2))＝( )
x 1 2 3
f (x) 2 3 0
A．3 B．2
C．1 D．0
4．二次函数图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
5．(多选)已知f (2x＋1)＝4x2，则( )
A．f (1)＝4 B．f (－1)＝4
C．f (x)＝x2 D．f (x)＝(x－1)2
6．已知函数f (x)＝x2－1，g(x)＝(x＋1)2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则( )
x f (x) g(x) f (g(x))
m 8 4 n
A．m＝3，n＝15 B．m＝－3，n＝15
C．m＝3，n＝81 D．m＝－3，n＝81
7．若函数y＝f (x)对任意的x∈R，均有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，则下列函数可以为y＝f (x)解析式的是( )
A．f (x)＝x＋1 B．f (x)＝2x－1
C．f (x)＝2x D．f (x)＝x2＋x
8．(多选)已知一次函数f (x)满足f ( f (x))＝81x＋80，则f (x)的解析式可以为( )
A．f (x)＝9x＋8 B．f (x)＝－9x－8
C．f (x)＝9x＋10 D．f (x)＝－9x－10
9．(多选)设函数f (x)的定义域为D，若 x∈D，f ( f (x))＝x，则称f (x)为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有( )
A．f (x)＝5－x B．f (x)＝5＋x
C．f (x)＝－ D．f (x)＝
二、填空题
10．已知函数f (x)＝x－，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
11．已知f (－1)＝2x－8＋11，则函数f (x)的解析式为________．
12．若函数f (x)满足f (x)－3f ＝x－，则f (2)＝________．
三、解答题
13．画出定义域为{x|－3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}的一个函数的图象．如果平面直角坐标系中点P(x，y)的坐标满足－3≤x≤8，－1≤y≤2，那么其中哪些点不能在图象上？
14．已知f (x)是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)的解析式．
15．已知函数f (x)对任意x满足：3f (x)－f (2－x)＝4x，二次函数g(x)满足：g(x＋2)－g(x)＝4x且g(1)＝－4．
(1)求f (x)，g(x)的解析式；
(2)若x∈[m，n]时，恒有f (x)≥g(x)成立，求n－m的最大值．
答案解析
1．C [根据题意，知x＝1 200．因为1 000<1 200<1 500，所以他应付的邮资y＝7.00元．故选C．]
2．D [题中已给出自变量的取值范围为x∈{1，2，3，4，5，6}，结合选项知D正确．]
3．B [由题图可知，g(2)＝1，
由表格可知f(g(2))＝f(1)＝2，
故选B．]
4．B [由题意得，设二次函数解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，将(0，－1)代入解析式，可得c＝－1，故二次函数的解析式为y＝ax2－1(a≠0)，故可以为y＝x2－1，ACD选项均不合要求．故选B．]
5．BD [令t＝2x＋1，则x＝，因为f(2x＋1)＝4x2，所以f(t)＝4(2＝(t－1)2，所以f(x)＝(x－1)2，
所以f(1)＝(1－1)2＝0，f(－1)＝(－1－1)2＝4．故选BD．]
6．B [由表知，f(m)＝m2－1＝8，g(m)＝(m＋1)2＝4，解得m＝－3，又因为f(g(m))＝f(4)＝16－1＝15＝n，所以m＝－3，n＝15．故选B．]
7．C [对于A，f(x＋y)＝x＋y＋1，f(x)＋f(y)＝x＋1＋y＋1＝x＋y＋2，故f(x＋y)≠f(x)＋f(y)，故A错误；
对于B，f(x＋y)＝2(x＋y)－1＝2x＋2y－1，f(x)＋f(y)＝2x－1＋2y－1＝2x＋2y－2，
故f(x＋y)≠f(x)＋f(y)，故B错误；
对于C， f(x＋y)＝2(x＋y)＝2x＋2y，f(x)＋f(y)＝2x＋2y，故f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，故C正确；
对于D，f(x＋y)＝(x＋y)2＋(x＋y)＝x2＋y2＋2xy＋x＋y，f(x)＋f(y)＝x2＋x＋y2＋y，故f(x＋y)≠f(x)＋f(y)，故D错误．故选C．]
8．AD [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝81x＋80，
所以
则f(x)＝9x＋8或f(x)＝－9x－10．
故选AD．]
9．ACD [若f(x)＝5－x，则f(f(x))＝5－(5－x)＝x，得f(x)＝5－x为“循环函数”，故A正确；
若f(x)＝5＋x，则f(f(x))＝5＋(5＋x)＝10＋x≠x，得f(x)＝5＋x不是“循环函数”，故B错误；
若f(x)＝－，则f(f(x))＝－＝x，得f(x)＝－为“循环函数”，故C正确；
若f(x)＝，则f(f(x))＝＝x，得f(x)＝为“循环函数”，故D正确．故选ACD．
10．5 [因为函数f(x)＝x－的图象过点(5，4)，
所以4＝5－，解得m＝5．]
11．f(x)＝2x2－4x＋5(x≥－1) [设t＝－1，则t≥－1，＝t＋1，
所以f(t)＝2(t＋1)2－8(t＋1)＋11＝2t2－4t＋5，
所以f(x)＝2x2－4x＋5(x≥－1)．]
12． [依题意可得解得f(2)＝．]
13．解：由题意可知，满足定义域为{x|－3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}的图象如图所示(答案不唯一)．
结合图象可知，点(5，0)不在图象上．
]
14．解：由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1，
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
所以2ax＋a＋b＝2x，
所以得a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1．
15．解：(1)3f(x)－f(2－x)＝4x，①
用2－x代替上式中的x，
得3f(2－x)－f(x)＝8－4x，②
联立①②，可得f(x)＝x＋1；
设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以g(x＋2)－g(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c－ax2－bx－c＝4x，
即4ax＋4a＋2b＝4x，
所以解得a＝1，b＝－2，
又g(1)＝－4，得c＝－3，
所以g(x)＝x2－2x－3．
(2)令f(x)≥g(x)，
即x＋1≥x2－2x－3，
所以x2－3x－4≤0，
解得－1≤x≤4，
所以当x∈时，f(x)≥g(x)，
若要求x∈[m，n]时，恒有f(x)≥g(x)成立，
可得n－m≤4－(－1)＝5，即n－m的最大值是5．
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