3.2.1函数的单调性
一、选择题
1．函数f (x)＝－的单调递增区间是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)，(2，＋∞)
2．[0，3]是函数f (x)定义域内的一个区间，若f (1)＜f (2)，则函数f (x)在区间[0，3]上( )
A．单调递增
B．单调递减
C．既单调递增又单调递减
D．单调性不确定
3．设f (x)是定义在R上的减函数，则( )
A．f (a)>f (2a)
B．f (a2)
C．f (a2＋a)D．f (a2＋1)4．若f (x)＝在R上是减函数，则a的取值范围为( )
A．[0，3] B．[0，3)
C．[1，3] D．[1，3)
5．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A．>0
B．(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
6．已知函数f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上是单调函数，则实数k的取值范围为( )
A．
B．
C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，2]∪[8，＋∞)
7．已知函数f (x)＝若f (4－a)>f (a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
二、填空题
8．已知函数f (x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f (x)单调递增，当x∈(－∞，－2)时，f (x)单调递减，则m＝________，f (1)＝______．
9．已知函数f (x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________．
10．已知f (x)是定义在区间[－2，2]上的增函数，且f (x－2)11．设函数f (x)＝，g(x)＝x2＋(m－1)x＋1，若函数f (x)与g(x)在(1，＋∞)上均单调递增，则实数m的取值范围为________．
12．已知f (x)＝在区间(－∞，－2)上单调递增，则a的取值范围是________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝x＋，且f (1)＝2．
(1)求a；
(2)根据定义证明函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
(3)在区间(1，＋∞)上，若函数f (x)满足f (a＋2)＞f (2a－1)，求实数a的取值范围．
14．定义在R上的函数f (x)，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，且f (3)＝2，求不等式f (x－1)≤2的解集．
15．若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；
(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集．
答案解析
1．D [函数f(x)＝－的定义域为{x|x≠2}，又f(x)＝－的图象向右平移2个单位长度得到的，且y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)．故选D．]
2．D [由于仅知道f(1)3．D [f(x)是定义在R上的减函数，当a>0时，a<2a，f(a)>f(2a)，
当a≤0时，a≥2a，f(a)≤f(2a)，故A错误；
当a＝0或a＝1时，a2＝a，则f(a2)＝f(a)，故B错误；
当a＝0时，a2＋a＝a，则f(a2＋a)＝f(a)，故C错误；
由a2＋1>a，得f(a2＋1)4．D [根据题意，若f(x)＝在R上是减函数，则有解得1≤a<3．故选D．]
5．ABD [因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中，若x16．D [f(x)＝x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝，
若f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递增，则≤1，解得k≤2，
若f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递减，则≥4，解得k≥8，所以实数k的取值范围为(－∞，2]∪[8，＋∞)．
故选D．]
7．A [画出f(x)的图象(图略)，可判断f(x)在R上单调递增，因为f(4－a)>f(a)，所以4－a>a，解得a<2．故选A．]
8．－8 13 [∵函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间[－2，＋∞)上单调递增，∴＝－2，
∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3．
∴f(1)＝13．]
9．(－∞，1] [因为函数f(x)在(－∞，－a]上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1．]
10．[0， [由题意，得
解得0≤x<，
所以满足题意的不等式的解集为[0，．]
11．[－1，3) [由函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，得m－3<0，解得m<3，
由函数g(x)＝x2＋(m－1)x＋1在(1，＋∞)上单调递增，得－≤1，解得m≥－1，
所以实数m的取值范围为－1≤m<3．]
12．(，＋∞) [f(x)＝，
因为f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，
所以1－2a<0，即a>．]
13．解：(1)∵f(1)＝2， ∴2＝1＋a，∴a＝1．
(2)证明： x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋＝(x1－x2)·，
∵x1∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
f(a＋2)>f(2a－1)，
∴解得1∴实数a的取值范围为(1，3)．
14．解：因为对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，所以f(x)在R上单调递增．
因为f(3)＝2，所以由f(x－1)≤2可得f(x－1)≤f(3)，所以x－1≤3，得x≤4．
则f(x－1)≤2的解集为(－∞，4]．
15．解：(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)＝0，∴f(1)＝0．
(2)∵f(6)＝1，∴f(x＋3)－f(2)<1＝f(6)，
∴f∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得－3故不等式f(x＋3)－f(2)<1的解集为{x|－3[点评] 求解本题把握以下三点：
(1)f＝f(x)－f(y)，x，y>0；
(2)赋值x＝y；
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
1 / 63.2.1第2课时 函数的最大(小)值
一、选择题
1．函数f (x)＝＋2在[0，1]上的最小值为( )
A．2 B．
C．2 D．3
2．某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x2＋12x－10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为( )
A．5元 B．6元
C．7元 D．26元
3．函数f (x)＝的最值情况为( )
A．最小值为0，最大值为1
B．最小值为1，无最大值
C．最小值为0，最大值为5
D．最小值为0，无最大值
4．(多选)若函数f (x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m可以取( )
A． B．
C．3 D．
5．(多选)已知函数f (x)＝，则下列选项正确的是( )
A．若f (x)＝2，则x＝14
B．函数f (x)在定义域内是减函数
C．若x∈[2，8]，则f (x)的值域是[－1，5]
D．若x∈N，则函数f (x)有最小值也有最大值
6．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润L(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中x为销售量，单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
7．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．10
8．(多选)下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x2＋2x＋3
B．y＝x＋
C．y＝
D．y＝x－(x∈[－1，0))
二、填空题
9．若函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
10．如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m．
11．若函数f (x)满足f (x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则f (x)的最小值为________．
12．已知函数f (x)＝，函数g(x)＝－(x－1)2＋a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
13．已知f (x)＝，x∈(－2，2)．
(1)求证：函数f (x)在区间(－2，2)上单调递增；
(2)求函数f (x)在区间(－2，2)上的值域．
14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x/元 45 50
y/件 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f (x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
15．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－．
(1)求证：f (x)是R上的减函数；
(2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
答案解析
1．B [因为f(x)＝＋2在[0，1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝．故选B．]
2．B [y＝－x2＋12x－10＝－(x－6)2＋26，所以当x＝6时，y取最大值26．故选B．]
3．D [当x∈[－1，0]时，f(x)的最大值为1，最小值为0；当x∈(0，1]时，f(x)的最小值为1，无最大值．所以f(x)的最小值为0，无最大值．故选D．]
4．ABC [f(x)＝x2－3x－4图象的对称轴为直线x＝．
当x∈[0，m]时，f(x)的值域为[－，－4]，
由于f(，所以m≥．
当y＝－4时，x＝0或x＝3，因此m≤3，
综上可得，m的取值范围是[，3]．
结合选项知，m可取，3．]
5．AD [对于A，由f(x)＝2，可得＝2，解得x＝14，故A正确；
对于B，f(x)＝的定义域为(－∞，6)∪(6，＋∞)，
所以f(x)在(－∞，6)上单调递减，且f(x)<1，
f(x)在(6，＋∞)上单调递减，且f(x)>1，
故f(x)在(－∞，6)∪(6，＋∞)上不是单调函数，故B错误；
对于C，由B可得，当x∈[2，6)时，f(x)≤f(2)＝－1，
当x∈(6，8]时，f(x)≥f(8)＝5，所以f(x)的值域是(－∞，－1]∪[5，＋∞)，
当x＝6时，f(x)无意义，故C错误；
对于D，当x∈N且x∈[0，6)时，－7＝f(5)≤f(x)≤f(0)＝－，
当x∈N且x∈(6，＋∞)时，1所以若x∈N，函数f(x)有最小值也有最大值，故D正确．故选AD．]
6．C [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－(x－，
∴当x＝9或x＝10时，L取最大值120万元．]
7．
C [在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6．]
8．AD [对于A， y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以函数最小值为2，故A正确；
对于B，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取得等号，
当x<0时，y＝－(－x＋，
因为－x＋＝2，
所以y＝－(－x＋≤－2，当且仅当－x＝，
即x＝－1时取得等号，所以y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故B错误；
对于C，y＝上单调递减，
所以当x＝9时函数有最小值为，故C错误；
对于D，y＝x－在x∈[－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时函数有最小值为－1－＝2，故D正确．
故选AD．]
9．4 [因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝，
所以b＝4．]
10． [由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋，x∈，故当x＝1时，函数有最大值h(x)max＝(m)．于是水流喷出的最高高度是 m．]
11．－ [由f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得f(x)＝x2＋x－2＝，所以f(x)的最小值是－．]
12．[0，2] [f(x)＝，则函数f(x)在[0，2]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(2)，即0≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域是A＝[0，1]．又g(x)＝－(x－1)2＋a在[0，2]上的值域是B＝[a－1，a]，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠ ．若A∩B＝ ，则a<0或a－1>1，即a<0或a>2，所以实数a的取值范围是[0，2]．]
13．解：(1)证明： x1，x2∈(－2，2)且x1f(x2)－f(x1)＝
＝，
又x1x2－4<0，x1－x2<0，(＋4)(＋4)>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增，又f(－2)＝－，f(2)＝，
所以函数f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－．
14．解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组
解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162．
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432(元)，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
15．解：(1)证明：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)中令x＝y＝0得f(0)＝0，
令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
x1，x2∈R且x1∵x>0时，f(x)<0，且x2－x1>0，
∴f(x2－x1)<0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是R上的减函数．
(2)由(1)知f(x)min＝f(3)，f(x)max＝f(－3)，且f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－2，
∴f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(x)min＝－2，f(x)max＝2．
即f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2．
[点评] 立足减函数的定义，以x>0时，f(x)<0为切入点，充分利用f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，把x2表示成x2＝(x2－x1)＋x1求解即可．
1 / 7